Avaliação a Distancia

Fundacao Centro de Ciˆencias e Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educacao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Analıtica I 2a Avaliacao a Distˆancia 1o Semestre de 2024 Codigo da disciplina Matematica Engenharia de Producao e Engenharia Mete reologica EAD 01052 Fısica EAD 01078 Questao 1 30 pontos O lugar geometrico C esta determinado pelos pontos P x y os quais a distˆancia ao ponto 2 2 e a metade da distˆancia a reta r x 5 0 Use esses dados para responder as seguintes questoes a 10 ponto Identifique o lugar geometrico C e determine a equacao que a descreve b 10 ponto Determine todos os elementos de C c 10 ponto Usando um sistema de eixos coordenados faca um esboco detalhado de C indicando todos os elementos achados no item anterior Questao 2 30 pontos Dados uma hiperbole de focos F1 e F2 uma circunferˆencia de raio 5 e o retˆangulo ABCD de lado AB 6 as quais se encontram localizados no plano cartesiano e centrados em O 0 0 como mostra a figura Use esses dados para responder as seguintes questoes a 15 ponto Encontre a equacao da hiperbole b 09 ponto Encontre os vertices focais e os vertices imaginarios c 06 ponto Encontre as equacoes das suas assıntotas Questao 3 40 pontos Considere H a hiperbole de focos F1 9 4 e F2 11 4 e uma das assıntotas paralela ao vetor v 3 4 Use esses dados para responder as seguintes questoes Geometria Analıtica I AD2 12024 a 20 ponto Encontre a equacao da hiperbole e a equacao das assıntotas b 10 ponto Determine o centro o eixo focal o eixo imaginario os vertices focais os vertices imaginarios e a excentricidade da hiperbole c 10 ponto Num sistema de eixos coordenados faca um esboco da hiperbole indicando todos os seus elementos Fundacao CECIERJ Consorcio CEDERJ Geometria Analítica Questão 1 a O lugar geométrico C é uma elipse De fato sejam Q22 e r X50 ou seja r x5 A distância de Pxy à r é dada por X5 enquanto a distância de P a Q é dPQx2² y2² Assim a equação que descreve C é x2² y2² X5 2 Desenvolvendo a equação obtemos x2² y2²² X5 2² x2² y2² x5² 4 x² 4x 4 y2² x² 10x 25 4 4x² 16x 16 4y2² x² 10x 25 3x² 6x 9 4y2² 0 3x² 2x 3 4y2² 0 3x² 2x 1 1 3 4y2² 0 Soma 0 3x1² 4y2² 12 x1² 4 y2² 3 1 x1² a² y2² 3² 1 Equação da Elipse b Os elementos da elipse são Centro 12 Vértices são os pontos da elipse em que x1 ou y2 Se x1 então y2² 3 1 y2² 3 y2 3 y 2 3 Se y2 então x1² 4 1 x1² 4 x1 2 x 3 ou x 1 Logo os vértices são 1 23 1 23 1 2 e 3 2 Focos os focos ficam no eixo maior então têm coordenada y igual a 2 Para encontrar as coordenadas x precisamos resolver a equação x² a² b² 4 3 x 1 C 1 1 Logo os focos são 0 2 e 2 2 Eixos o eixo maior terá comprimento 31 4 e o eixo menor terá comprimento 2323 23 Excentricidade e 1 2 c a 3 173 c Questão 2 a Os focos tem coordenadas F1 0 5 e F2 0 5 Para encontrar o valor do α e consequentemente a equação da hipérbole vamos determinar as coordenadas do ponto B Temos que XB 3 pois AB 6 Além disso yB² 3² 5² yB 259 4 B 3 4 Como B está na elipse dB F1 dB F2 2a 3² 45² 3² 45² 2a 9 1 9 36 2a 2a 45 10 a 35 10 2 a² 45 23510 10 2 55 302 4 b² c² a² 25 55 302 4 45 302 4 Logo a equação da hipérbole é y² 55 302 4 x² 45 302 4 1 b Como a hipérbole é centrada na origem os vértices focais serão 0a e 0a ou seja 0 35 10 2 e 0 35 10 2 Já os eixos imaginários serão b0 e b0 onde b 45 302 4 e 45 302 2 Logo os eixos imaginários são 45 302 2 0 e 45 302 2 0 c As assíntotas de uma hipérbole centrada na origem serão y² a² x² b² 0 y² a² x² b² y a b x Temos que a b 35 10 2 45 302 2 35 10 45 302 45 302 45 302 35 10 45 302 15 3 22 33 3 22 150 3 22 3 15 3 22 3 22 3 22 33 3 22 6 3 223 22 3 9 8 ab sqrt32sqrt2 sqrt3sqrt3 sqrt6 32sqrt2 sqrt32sqrt2 sqrt3 sqrt6 6sqrt233 sqrt3 sqrt6 sqrt2 sqrt32sqrt2 Observe que sqrt32sqrt2 sqrt21 pois sqrt212 32sqrt2 Assim ab sqrt3 sqrt6 sqrt2 sqrt21 sqrt6 sqrt3 sqrt12 sqrt6 sqrt4 sqrt2 sqrt3 2sqrt3 2 sqrt2 2 sqrt2 sqrt3 Portanto as assíntotas são y 2 sqrt2 sqrt3 x Questão 3 a Temos o centro da hipérbole H é o ponto médio dos focos logo xc 91112 e yc 442 4 C 14 Uma assíntota é paralela à vetor 34 e passa por 14 então sua equação é 4x 3y K1 Vamos descobrir o valor de k1 41 34 K1 K1 8 4x 3y 8 A primeira assíntota será y 8 4x3 Por outro lado as assíntotas são x12a2 y42b2 0 y42 b2a2 x12 y ba x1 4 Logo ba 43 b 4a3 Além disso temos que c 11 92 10 Como c2 a2 b2 temos 100 a2 16a29 900 9a2 16a2 900 25a2 a2 36 a 6 b 43 6 8 Logo a equação da hipérbole é x1236 y4264 1 e a segunda assíntota é y 43x1 4 4x 43 4 4x 163 Ou seja y 4x 163 b O centro da hipérbole é C 14 o eixo focal é yf 4 e o eixo imaginário é x 1 Os vértices focais são A1 54 e A2 74 enquanto os vértices imaginários são B1 14 e B2 18 Por fim a excentricidade é e ca 106 53 c Diagrama com pontos e gráfico eixo imaginário y 4x 83 eixo focal y 4x 163