Cinemática da Partícula- Conceitos e Sistemas de Referência

Cinemática de Partícula Prof Bruno Cesar Cayres DSc brunocayrescefetrjbr Departamento de Engenharia Mecânica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí Dinâmica Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos Introdução Neste primeiro momento trabalhamos com conceitos relacionados aos sistemas de referência SR inercial ou móvel matrizes de transformação de coordenadas são apresentados grandezas físicas como de posição r de velocidade v e de aceleração a descritos no SR inercial ou móvel são analisados Cinemática após a análise dessas grandezas vetoriais apresentamse as Leis de Newton para que as forças sejam computadas Cinética Cinemática Cinética Dinâmica BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 1 33 Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos O que é Partícula Resposta Partícula é um ponto material onde se concentra toda a massa de um corpo Com essa particularização as dimensões do corpo são desprezíveis e não influenciam no posicionamento eou das forças aplicada sobre ele 2 httpspixabaycomptvectorsfelizstickmanstickfigure151793 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 3 33 O que é Cinemática Cinemática é parte da Dinâmica que estuda o movimento tendo em vista a geometria não se preocupando com suas causas e respeitando as condições de restrições httpsarpinterestcompin123356477279656704nicv21a5DVpmgq httpsptwikipediaorgwikiEquilC3ADbriodemotoresdecombustC3A3ointerna BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 4 33 O que é Cinética A Cinética é a parte da mecânica responsável pelo estudo dos movimentos observando suas causas e origens esforços Para atender a dinâmica nós nos baseamos das três Leis de Newton 1º Inércia Se nenhuma força externa for aplicada sobre uma partícula este manterá sua quantidade de movimento linear ou seja F G m F vA cte 2º Variação da Quant de Movimento Linear QML A QML de uma partícula só poderá ser alterada mediante a forças externas tal que ni1 F dFGdt dmFvAdt m F vA mF aA 21 3º Ação e Reação Esta lei relaciona as forças de interação entre dois corpos e torna possível a construção do Diagrama de Corpo Livre Estudo da Dinâmica Então Após o estudo da Cinemática com a análise do DCL 3º lei e juntamente com a variação da QML 2º lei podemos encontrar o conjunto de equações que descrevem o comportamento dinâmico da partícula ao longo do tempo e as forças envolvidas Estas equações que regem o movimento da partícula são eqs diferenciais de 2ª ordem podendo ser lineares ou não lineares e são funções das condições iniciais de movimento BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 6 33 Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos Sistemas de Referência SR São sistemas com os quais podemos descrever as grandezas vetoriais como posi ções velocidades acelerações e esforços forças e momentos Tratase do primeiro passo para descrever o movimento de um corpo Todas as representações matemáticas dos movimentos são baseadas em vetores unitários Este sistema de referência ou base vetorial com origem predefinida pode ser inercial fixo ou móvel BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 7 33 SR inercial Vetor posição A representação matemática do vetor posição é FrOA x0 y0 z0 31 ou FrOA x0i y0j z0k O SR no qual o vetor posição da partícula A está representado está definido pelos vetores unitários i j e k com origem em O BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 8 33 SR inercial Vetor velocidade O vetor velocidade absoluta é definido pela derivada temporal do vetor posição F vA ddt F rOA ẋ0 ẏ0 ż0 32 ou F vOA ẋ0 i ẏ0 j ż0 k Importante Ressaltamos que a derivada do vetor posição deve ser realizada quando este vetor está no SR inercial para obtenção das velocidades absolutas SR inercial Vetor aceleração O vetor aceleração absoluta é definido pela derivada do vetor velocidade F aA d2dt2 F rOA ddt F vA ẍ0 ÿ0 z0 33 ou F aOA ẍ0 i ÿ0 j z0 k Importante Novamente ressaltamos que a derivada do vetor velocidade deve ser realizada quando este vetor está no SR inercial para obtenção das acelerações absolutas Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos SR móvel Em muito casos a descrição do movimento de um sistema se torna mais simples se um ou mais sistemas de referência móveis são definidos Objetivamos a facilitação da representação do sistema de equações de movimentos complexos Assim subdividimos o movimento complexo em movimentos mais simples que se somam para obtenção do movimento absoluto Com isso temos dois tipos de sistemas móveis a Translação pura b Rotação pura Todos os demais movimentos poderão ser representação com uma combinação de translação e rotação BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 11 33 SR móvel É um fundamental estabelecer uma relação entre os vários Sistemas de Referência assim podemos passar de um SR inercial ou fixo para o móvel ou viceversa Para isso usamos o conceito de Matriz de Transformação de Coordenadas Com essa matriz é possível transformar um vetor que está descrito em um SR para outro SR F R X Y Z FTR X1 Y1 Z1 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 12 33 SR móvel Translação Figura 1 Relação entre os vetores unitários i j e k do sistema inercial e i1 j1 e k1 do sistema móvel 4 Temos o SR inercial I X Y Z com o cursores i j e k e origem em O O SR móvel R X1 Y1 Z1 é representado pelos cursores i1 j1 e k1 com origem em A Agora precisamos estabelecer a re lação entre os cursores de cada sis tema definido a Matriz de Trans formação de Coordenadas Para um sistema transladando os cursores estarão sempre paralelos tal que i j k i1 j1 k1 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 13 33 SR móvel Translação Vetor posição Então podemos escrever que i j k 1 0 0 0 1 0 0 0 1 i1 j1 k1 41 Percebemos que quando um SR móvel apenas translada a Matriz de Transforma ção de Coordenadas é a matriz identidade sendo constante e invariante no tempo FrOB FrOA FTR RrAB 42 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 14 33 SR móvel Translação Vetor posição Onde a matriz transformação de coordenadas ᶠTᴿ é ᶠTᴿ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 43 SR móvel Translação Vetor velocidade Partindo da definição de velocidade absoluta que é a derivada do vetor posição em relação ao tempo no SR inercial ᶠvB ddt ᶠrOB ddt ᶠrOA ᶠTᴿRᵣAB 44 ᶠvB ddt ᶠrOA ddt ᶠTᴿ RᵣAB ᶠTᴿ ddt RᵣAB 0 ᶠvB ᶠvA ᶠTᴿvrel ᶠvA ᶠvrel 45 SR móvel Translação Vetor aceleração Da mesma forma a aceleração absoluta é a derivada da velocidade em relação ao tempo quando este está no SR inercial tal que ᶠaB ddt ᶠvB ddt ᶠvA ᶠTᴿvrel 46 ᶠaB ᶠaA ᶠTᴿarel ᶠaA ᶠarel 47 SR móvel Rotação Figura 2 Sistema inercial F e sistema móvel de referência R com cursores i j k e i1 j1 k1 4 O sistema móvel R gira com veloci dade angular θt em torno do eixo Z do sistema inercial Uma vez que o SR móvel está girando os cursores de ambos os SR não permanecerão paralelos Agora estes SRs dependem do ângulo θt entre os cursores da base inercial e da base móvel BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 18 33 SR móvel Rotação Matriz de Transformação de Coordenadas Figura 3 Projeção dos vetores unitários do sistema móvel sobre o sistema inercial 4 Supomos que a rotação em torno de Z seja positiva de acordo com a regra da mão direita Precisamos projetar os cursores da base móvel sobre a base inercial tal que i1 cos θi sin θj 0k j1 sin θi cos θj 0k k1 0i 0j 1k 48 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 19 33 i1 cos θ i sin θ j 0 k j1 sin θ i cos θ j 0 k k1 0 i 0 j 1 k Podemos reescrever da seguinte forma i1 j1 k1 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 i j k Rr RT Fr Fr RT F1 Rr Agora qualquer vetor descrito no SR F ou R pode ser reescrito em outro R ou F apenas utilizando a Matriz de Transformação de Coordenadas RT F ou RT F1 As Matrizes de Transformação de Coordenadas guardam propriedades importantes seu determinante é sempre unitário e sua inversa é igual a sua transposta RT F1 RT FT Fr RT FT Rr Tratase de uma matriz dependente do tempo SR móvel Rotação Matriz de Transformação de Coordenadas Com a rotação entorno do eixo Z saindo do SR F para o SR R podemos dizer que os vetores velocidade e aceleração angulares são Fω 0 0 θt rads e F ω 0 0 θt rads2 49 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 22 33 Como vimos anteriormente FrOB FrOA FT RR rAB FrOA FrAB SR móvel Rotação Vetor velocidade O vetor velocidade pode ser obtido derivando o vetor posição em relação ao tempo quando este último está no SR inercial F vB ddt F rOB ddt F rOA F TR R rAB F vB ddt F rOA ddt F TR R rAB F TR ddt R rAB 0 F vB F vA F Ṫ R R R rAB F rAB F TR R vrel 410 1 Fazer o produto CEFETRJ campus Itaguaí BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 2433 SR móvel Rotação Vetor velocidade FvB FvA F ωR x F rAB F TR R vrel F vrel ou F vB F vA F ωR x F rAB F vrel 411 F vA é a velocidade absoluta do ponto A origem do SR representado no sistema inercial F FωR x F rAB é o produto vetorial da velocidade angular absoluta do sistema de referência móvel girando entre F e R pelo vetor posição F rAB ambos no SR inercial Este produto é também nomeada como velocidade tangencial F vrel é a velocidade relativa do ponto B em relação ao ponto A CEFETRJ campus Itaguaí BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 2533 SR móvel Rotação Vetor aceleração F aB d2dt2 F rOB ddt F vA F ωR x F TR R rAB F TR R vrel 412 F aB ddt F vA ddt F ωR x F TR R rAB ddt F TR R vrel 1 2 3 1 F aA 2 ddt F ωR x F TR R rAB F ωR x ddt F TR R rAB F ωR x F rAB F TR R vrel F vrel 3 F ωR x F vrel F TR R arel CEFETRJ campus Itaguaí BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 2633 SR móvel Rotação Vetor aceleração Somando todos os termos da derivação temos FaB FaA F F ωR FrAB F FωR F FωR FrAB 2 F FωR Fvrel Farel 413 FaA é a aceleração absoluta do ponto A origem do SR móvel descrita no SR inercial F F ωR FrAB é o produto vetorial da aceleração angular absoluta pelo vetor posição FrAB ambos em F Termo este relacionado à aceleração tangencial F FωR F FωR FrAB é produto vetorial da velocidade angular absoluta do sistema móvel pelo vetor posição FrAB O vetor F FωRFrAB gira com velocidade angular F FωR e está relacionado a aceleração normal ou aceleração centrípeta 2 F FωR Fvrel é produto vetorial da velocidade angular absoluta pela velocidade relativa Este termo é conhecido como aceleração de Coriolis e resulta da variação da direção do vetor velocidade relativa Fvrel Farel é a aceleração relativa do ponto B em relação ao ponto A BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 27 33 Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos Vetor velocidade angular Segundo Weber 5 a pior maneira de definir a velocidade angular é relacionando a com variação de algum ângulo na rotação plana um vez que não é possível generalização para o espaço Temos dois SR um inercial F e outro móvel R o SR F é descrito pelos eixos x y e SR R pelos eixos x y Ambos os SRs têm origem em O e seu eixo z z que é perpendicular ao plano da apresentação BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 28 33 Vetor velocidade angular Seja a partícula P com o vetor posição RrP descrito no SR móvel R RrP L 0 0 A Matriz de Transformação de Coorde nadas é FTR cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 Podemos representar o vetor posição no SR F tal que FrP FTR RrP BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 29 33 Vetor velocidade angular Partindo da definição de velocidade absoluta podemos derivar o vetor posição em relação ao tempo desde que este esteja no SR inercial tal que FvP ddt FrP ddt F TR RrP FvP ddt F TR R TF FrP F TR ddt RrP 0 FvP ddt FrP F TR R TF FrP Vetor velocidade angular F TR R TF θ sin θ θ cos θ 0 θ cos θ θ sin θ 0 0 0 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 FF ωR F TR R TF 0 θ 0 θ 0 0 0 0 0 51 Esta matriz antissimétrica do vetor velocidade angular descrito na Eq 49 Esta é a melhor definição de velocidade angular FvP ddt FrP FF ωR FvP FF ωR FvP FrP Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos Bibliografia 1 R C Hibbeler Dinâmica Mecânica para Engenharia 10ª Edição Pearson 2005 2 R C Hibbeler Estática mecânica para engenharia Pearson Education do Brasil 2005 3 J L Meriam and L G Kraige Mecânica para engenharia Dinâmica LTC 2009 4 I F Santos Dinâmica de sistemas mecânicos modelagem simulação visualização verificação Makron 2001 5 H I Weber Raciocinando Dinâmica de Rotação Kindle Direct Publishing 2019 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 32 33 Sumário 1 Introdução 2 Conceitos 3 Sistemas de referência inercial 4 Sistema de referência móvel 5 Vetor velocidade angular 6 Bibliografia 7 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Dinâmica de Sistemas Mecânicos Cinemática de Par tícula Notas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí 2021 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Partícula 33 33 Rotações Elementares Prof Bruno Cesar Cayres DSc brunocayrescefetrjbr Departamento de Engenharia Mecânica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí Dinâmica Sumário 1 Introdução 2 Rotações elementares 3 Aceleração angular 4 Considerações finais 5 Bibliografia 6 Créditos Sumário 1 Introdução 2 Rotações elementares 3 Aceleração angular 4 Considerações finais 5 Bibliografia 6 Créditos Introdução Há muitas formas de descrever a posição e movimento de um corpo no espaço Como vimos separamos o movimento em translação e rotação Ao observar um corpo podemos identificar nele um eixo ou linha especial Um ponto sobre esta linha será chamado de notável e a translação será o acompanhamento deste ponto no tempo Ex um eixo de simetria uma linha no corpo ou qualquer outro ponto do corpo BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 1 21 Sumário 1 Introdução 2 Rotações elementares 3 Aceleração angular 4 Considerações finais 5 Bibliografia 6 Créditos Seja uma simples vareta Figura 1 Uma vareta encostada em duas paredes 2 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 2 21 Primeira rotação F Q Definindo um sistema de referência SR fixo com origem em P1 como FP1 x y z O ângulo α é a primeira coorde nada angular para o posiciona mento da vareta Esta operação gerou um novo sistema de referência SR que é definido como QP1 x y z De forma sucinta temos F αx Q BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 3 21 Primeira rotação F Q A representação informa que passamos do SR F para SR Q Essa passagem se dá girando de α em torno do eixo x Este eixo x permanece indiferente a esta operação tal que x x Temos que o vetor posição é FrP2 x2 y2 z2 21 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 4 21 Primeira rotação F Q Podemos representar o mesmo vetor da Eq 21 no SR Q Para isso temos de encontrar a matriz de transformação de coordenadas Temos então QrP2 QTF FrP2 22 onde a matriz de transformação de coordenadas é definida como QTF 1 0 0 0 cos α sin α 0 sin α cos α 23 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 5 21 Primeira rotação F Q Já sabemos que o determinante da matriz de transformação de coordenadas é unitário Sabemos também que são matrizes ortogonais ou seja sua inversa é igual à sua transposta Q TF1 Q TFT F TQ 1 0 0 0 cos α sin α 0 sin α cos α 24 De modo que FrP2 F TQ QrP2 25 Velocidade angular associada F Q Sendo então FrP2 x2 y2 z2 QrP2 x2 y2 cos α z2 sin α y2 sin α z2 cos α 26 Para encontrarmos a velocidade angular associada à rotação αt podemos derivar a Eq 25 tal que d FrP2 dt FTQ QTF FrP2 0 0 0 0 0 α 0 α 0 FrP2 F F ωQ FrP2 27 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 7 21 Velocidade angular associada F Q Esta matriz antissimétrica está associada ao vetor velocidade angular desta primeira rotação F Q Podemos escrever então F F ωQ 0 0 0 0 0 α 0 α 0 F FωQ α 0 0 Q FωQ 28 Este vetor é invariante à mudação de SR entre F e Q1 Tratase da velocidade angular do SR Q em relação ao F 1Fazer a transformação usando a matriz de transformação de coordenadas BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 8 21 Segunda rotação Q R Agora vamos fazer uma segunda rotação Posicionando o polegar no sen tido positivo de y rotacionamos o SR Q Agora o eixo z ficará sobre a linha P1P2 O novo SR R é definido por RP1 x y z O ângulo β é a segunda coordenada de posição angular tal que Q βy R BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 9 21 Velocidade angular associada Q R Podemos estabelecer a matriz de transformação de coordenadas e a vel angular associadas como QTR cos β 0 sin β 0 1 0 sin β 0 cos β e Q QωR 0 β 0 R QωR 29 Sabendo o comprimento da vareta l podemos escrever RrP2 0 0 l e QrP2 QTR RrP2 l sin β 0 l cos β 210 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 10 21 Matriz transformação de coordenadas F Q R Importante ressaltar que estas rotações estão sendo efetuadas de forma se quencial tal que F αx Q βy R Podemos descrever o vetor posição da vareta no SR F como FrP2 FTQ QTR RrP2 FTR RrP2 211 Observamos que a matriz de transformação FTR é obtida pelo produto das anteriores na sequências As rotações efetuadas em torno de eixos coordenados são caracterizadas como rotações elementares 2 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 11 21 Velocidade angular associada F Q R A vantagem deste método fica evidente quando precisamos encontrar a velo cidade angular resultante F F ωR FTR RTF FTQ QTF FTQ Q Q ωR QTF F F ωQ F Q ωR 212 O resultado mostra que as velocidades angulares resultantes de rotações elementares sequenciais se somam Podemos representar estas matrizes antissimétricas em seus vetores correspon dentes tal que F FωR F FωQ FTQ Q QωR α β cos α β sin α 213 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 12 21 Velocidade angular associada F Q R F FωR F FωQ FTQ Q QωR α β cos α β sin α No SR Q esta velocidade angular pode ser escrita como Q FωR Q FωQ Q QωR α β 0 214 Da mesma forma podemos representar o vetor velocidade angular no SR R R FωR RTQ Q FωQ Q QωR 215 Encontrar o resultado da Eq 215 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 13 21 Terceira rotação R S A posição angular de um corpo no espaço exige três ângulos A última rotação se dará em torno da linha P1P2 ou seja z Esta última rotação segue o mesmo procedimento das anteriores tal que F αx Q βy R γz S com FTS FTQ QTR RTS Em casos de sistemas com rotações próprias Ex turbinas ventiladores etc este será o eixo a ser utilizado na análise BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 14 21 Velocidade angular associada F Q R S Temos então RTS cos γ sin γ 0 sin γ cos γ 0 0 0 1 e R RωS 0 0 γ 216 Então a velocidade angular associada será FωS FωQ QωR RωS 217 podendo ser representado em qualquer SR BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 15 21 Sumário 1 Introdução 2 Rotações elementares 3 Aceleração angular 4 Considerações finais 5 Bibliografia 6 Créditos Aceleração angular Obteremos a aceleração angular derivando o vetor velocidade angular Lembrando que as componentes da variação são SR F ζS SR F ωSR SR F ωS ddt SR F ωS 31 mud de direção mud de magnitude Imaginando que seja de interesse utilizar o SR F ou S F F ζS F F ωS F F ωS ddt F F ωS ou S F ζS S F ωS S F ωS ddt S F ωS 32 Aceleração angular Exemplificando usando o SR Q Q F ζS Q F ωQ Q F ωS ddt Q F ωS 33 Observamos então que A propriedade associativa das velocidades angulares oriunda das rotações elementares não se aplica para aceleração angular 2 Sumário 1 Introdução 2 Rotações elementares 3 Aceleração angular 4 Considerações finais 5 Bibliografia 6 Créditos Considerações finais Normalmente translação e rotação são melhores estudados em sistemas de referência distintos Muitas vezes a translação é mais convenientemente vista a partir de coorde nadas em um referencial fixo A rotação possui diversas alternativas de SR todos eles com origem no ponto notável escolhido Estas alternativas têm a ver com a forma como as coordenadas angulares são definidas BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 18 21 Rotações e tipos de ângulos A rotações na sequencia 323 isto é z y z temos ângulos de Euler São mais adequados para o estudo de giroscópios problemas da mecânica celeste A sequência 123 isto é x y z corresponde a ângulos de Cardan Tem muitas aplicações em veículos e máquinas levando aos ângulos de roll yaw pitch Em português a tradução muda um pouco dependendo da área de aplicação na área naval dizse balanço guinagem e arfagem BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 19 21 Sumário 1 Introdução 2 Rotações elementares 3 Aceleração angular 4 Considerações finais 5 Bibliografia 6 Créditos Bibliografia 1 I F Santos Dinâmica de sistemas mecânicos modelagem simulação visualização verificação Makron 2001 2 H I Weber Raciocinando Dinâmica de Rotação Kindle Direct Publishing 2019 BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 20 21 Sumário 1 Introdução 2 Rotações elementares 3 Aceleração angular 4 Considerações finais 5 Bibliografia 6 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Cinemática de Partícula Rotações Elementares No tas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí 2021 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Rotações Elementares 21 21 Cinemática e Cinética de Partícula Cinética de Partículas Prof Bruno Cesar Cayres DSc brunocayrescefetrjbr Departamento de Engenharia Mecânica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí Dinâmica Sumário 1 Introdução 2 Leis de Newton 3 Bibliografia 4 Créditos Sumário 1 Introdução 2 Leis de Newton 3 Bibliografia 4 Créditos Sumário 1 Introdução 2 Leis de Newton 3 Bibliografia 4 Créditos 1ª lei de Newton ou lei da inércia Enunciado da 1ª lei Se a resultante das forças externas aplicada sobre uma partícula for nula esta manterá sua quantidade de movimento linear constante ou seja FG m Fv cte 21 ou Em outras palavras Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 2 11 1ª lei de Newton httpswwwfacebookcomAutoLinsMecanicaphotosquemnuncaajudouaempurrarumcarrocomabateriaarriadaessaC3 A9umaprC3A1ticae1875451142498630 BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 3 11 1ª lei de Newton Exemplos da 1ª lei Estando dentro de um veículo se movendo com velocidade constante ao arre messarmos uma bolinha para cima a bolinha cairá de volta em nossas mãos Novamente em veículo com velocidade constante quando este veículo freia ou acelera sentimos que somos lançados para frente ou para trás respectiva mente Em uma curva fechada sentimos que somos empurrados contra a lateral interna do veículo Importante O ponto onde se encontra o observador dos movimentos não pode ser acelerado portanto ele deve moverse com velocidade constante ou estar parado Ou seja a lei da inércia só é válida para referenciais inerciais BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 4 11 2ª lei de Newton Segundo Nussenzveig 4 uma das implicações diretas da 1ª lei é que para qualquer variação da velocidade v aceleração seja em magnitude ou em direção em relação a um SR inercial é necessário que haja alguma força atuando Newton começou definindo a quantidade de movimento ou momento linear como A quantidade de movimento é a medida do mesmo que se origina conjuntamente da velocidade e da massa G mv Enunciado da 2ª lei A variação da quantidade de movimento é proporcional à força imposta e tem a direção desta força BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 5 11 2ª lei de Newton Matematicamente podemos escrever que dFdt G ddt mF v F F 22 Ou seja a força é a taxa de variação da quantidade de movimento 4 5 6 Exemplos da 2ª lei A própria relação da massa com a aceleração da gravidade é denominada forçapeso P mg Imaginemos uma pedra amarrada na ponta de uma corda Ao colocarmos a pedra na ponta da corda em movimento circular uniforme existe uma força que muda a direção da pedra e mantém a trajetória circular Figura retirada da referência 4 3ª lei de Newton Princípio da Ação e Reação Enunciado da 3ª lei A toda ação corresponde uma reação igual e contrário ou seja ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos Vale ressaltar que a ação e reação estão sempre atuando em corpos diferentes Exemplos 3ª lei Uma leve pressão na parede gera uma força na parede e a parede reage com uma força de mesma magnitude mas em sentido oposto A forçapeso é o efeito da Terra atraindo um corpo Este corpo atrai a Terra com mesma magnitude BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 7 11 Em outras palavras Passada a Análise Cinemática utilizando o DCL 3º lei juntamente com a variação da QML 2º lei podemos encontrar o conjunto de equações que descrevem o comportamento dinâmico da partícula ao longo do tempo e as forças envolvidas Estas equações que regem o movimento da partícula são eqs diferenciais de 2ª ordem podendo ser lineares ou não lineares e são funções das condições iniciais de movimento BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 9 11 Sumário 1 Introdução 2 Leis de Newton 3 Bibliografia 4 Créditos Bibliografia 1 R C Hibbeler Dinâmica Mecânica para Engenharia 10ª Edição Pearson 2005 2 R C Hibbeler Estática Mecânica para Engenharia Pearson Education do Brasil 2005 3 J L Meriam and L G Kraige Mecânica para Engenharia Dinâmica LTC 2009 4 H M Nussenzveig Curso de física básica Mecânica vol 1 Editora Blucher 2013 5 I F Santos Dinâmica de sistemas mecânicos modelagem simulação visualização verificação Makron 2001 6 H I Weber Raciocinando Dinâmica de Rotação Kindle Direct Publishing 2019 BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 10 11 Sumário 1 Introdução 2 Leis de Newton 3 Bibliografia 4 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Cinemática e Cinética de Partícula Cinética de Par tículas Notas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí 2020 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 11 11 Sumário 1 Exercício 2 Bibliografia 3 Créditos Sumário 1 Exercício 2 Bibliografia 3 Créditos Questão 4 Lista 2 Observe o pêndulo simples na figura Desconsidere o atrito do pêndulo com o ar a Calcule a aceleração linear b Faça o DCL analisando as forças em seus respectivos referenciais e c Determine a equação de movimento do pêndulo BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 1 8 Solução Cinemática a Calcule a aceleração linear absoluta Primeiramente definimos os sistemas de referência e a relação entre eles matriz de transformação de coordenadas FTR cos θ sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 11 Agora vamos definir o vetor posição que vai até a partícula A RrA l 0 0 FrA FTR RrA l cos θ l sin θ 0 12 BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 2 8 Solução Cinemática Definindo os vetores velocidade angular e aceleração angular FωR 0 0 θ e FωR 0 0 θ 13 Encontrando a velocidade linear absoluta 𝑅vA 𝑅vO 𝑅FωR 𝑅rA 𝑅vrelAO 𝑅vA 0 θ 0 θ 0 0 0 0 0 l 0 0 0 liθ 0 14 Solução Cinemática Aceleração linear absoluta 𝑅aA 𝑅aO 𝑅FωR 𝑅rA 𝑅FωR 𝑅FωR 𝑅rA 2𝑅FωR 𝑅vrelAO 𝑅arelAO 𝑅aA 0 θ 0 θ 0 0 0 0 0 l 0 0 0 θ 0 θ 0 0 0 0 0 0 0 0 l 0 0 θ²l liθ 0 15 Solução Cinética b Análise cinética Definindo as forças FP mg 0 0 e RFT T 0 0 16 Vamos representar a força peso no sistema móvel tal que RP RTF FP mg cos θ mg sin θ 0 17 BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 5 8 Solução Cinética Para encontrar a equação de movimento usamos a Variação da QML 𝑅F m 𝑅aA 𝑅P 𝑅FT m 𝑅aA mg cos θ mg sin θ 0 T 0 0 m θ²l θl 0 18 Da segunda linha temos a Equação de Movimento θ gl sin θ 0 19 Da primeira linha temos uma equação de reação T mθ² l mg cos θ 110 Sumário 1 Exercício 2 Bibliografia 3 Créditos Bibliografia 1 R C Hibbeler Dinâmica Mecânica para Engenharia 10ª Edição Pearson 2005 2 R C Hibbeler Estática Mecânica para Engenharia Pearson Education do Brasil 2005 3 J L Meriam and L G Kraige Mecânica para Engenharia Dinâmica LTC 2009 4 H M Nussenzveig Curso de física básica Mecânica vol 1 Editora Blucher 2013 5 I F Santos Dinâmica de sistemas mecânicos modelagem simulação visualização verificação Makron 2001 6 H I Weber Raciocinando Dinâmica de Rotação Kindle Direct Publishing 2019 BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 7 8 Sumário 1 Exercício 2 Bibliografia 3 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Cinética de Partículas Exercício Pêndulo Simples Notas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecno lógica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí 2020 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Cinética de Partícula 8 8 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Pêndulo duplo O pêndulo duplo ilustrado é composto por duas massas concentradas m1 e m2 Olhando este problema apenas do SR fixo F o movimento da m2 parece ser bem complicado Mas podemos posicionar um SR móvel na massa m1 Percebemos que o movimento do pêndulo duplo é uma combinação de dois movimentos 1º A massa m1 gira em torno do ponto O origem do SR inercial F 2º A massa m2 gira em torno da massa m1 Podemos observar nitidamente a vantagem da utilização de SR móveis BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 1 16 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Sistemas de referência Para descrever o movimento das massas vamos utilizar três sistemas de referência 1 o sistema inercial F com origem em O e com os cursores i j e k 2 um sistema móvel R representado pelos cursores i1 j1 e k1 com origem em O solidário à massa m1 3 e um outro sistema móvel S representado pelos cursores i2 j2 e k2 com origem em B solidário à massa m2 O SR R posicionado em O gira com velocidade angular θ1 em torno do eixo Z do SR F O SR S posicionado em B gira com velocidade angular θ2 em torno do eixo Z1 do SR R BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 2 16 Matrizes de transformação de coordenadas Precisamos definir as matrizes que passa de um SR para outro tal que i1 cos θ1i sin θ1j 0k j1 sin θ1j cos θ1i 0k k1 0i 0j 1k Temos que a matriz RTF será RTF cos θ1 sin θ1 0 sin θ1 cos θ1 0 0 0 1 21 BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 3 16 Matrizes de transformação de coordenadas A matriz STR será STR cos θ2 sin θ2 0 sin θ2 cos θ2 0 0 0 1 22 BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 4 16 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Vetores de posição O vetor posição da massa m1 é localizada no ponto B RrB 0 l1 0 FrB FTR RrB l1 sin θ1 l1 cos θ1 0 31 O vetor posição da massa m2 é localizada em A SrA 0 l2 0 Rr2 RTS Sr2 l2 sin θ2 l2 cos θ2 0 32 Podemos se necessário representar o vetor RrA em F FrA FTR RrA l2 sin θ1 θ2 l2 cos θ1 θ2 0 33 BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 5 16 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Vetores velocidades angulares A velocidade angular no primeiro SR é F FωR 0 0 θ1 R FωR 41 A velocidade R RωS será R RωS 0 0 θ2 S RωS 42 A velocidade absoluta no SR S será R FωS RTF F FωR RTS S RωS 0 0 θ1 θ2 43 BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 6 16 A aceleração angular absoluta RF ζS RF ωR RF ωS ddt RF ωS 0 0 θ1 θ2 44 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Velocidades lineares A velocidade da massa m1 FvB Fv0 F FωR FrB Fvrel θ1l1 cos θ1 θ1l1 sin θ1 0 51 Podemos representar a velocidade da massa m1 no SR R RvB RTF Fv θ1l1 0 0 52 BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 8 16 A velocidade linear da massa m2 localizada em A é R vA R vB RF ωS R rA R TS ddt s rA θ1 l1 θ1 θ2 l2 cos θ2 θ1 θ2 l2 sin θ2 0 53 Podemos escrever R vA no SR inercial F tal que F vA θ1 l1 cos θ1 θ1 θ2 l2 cosθ1 θ2 θ1 l1 sin θ1 θ1 θ2 l2 sinθ1 θ2 0 54 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos A aceleração da massa m1 será F aB F ωR F ωR F rB F ζR F rB θ12 l1 sin θ1 θ1 l1 cos θ1 θ12 l1 cos θ1 θ1 l1 sin θ1 0 61 Com isso a aceleração linear da massa m2 será F aA F aB F ωS F ωS R rA F ζS R rA 2 F ωS F vrel F arel 62 A aceleração então será F aA θ12 l1 sin θ1 θ1 l1 cos θ1 θ1 θ22 l2 sinθ1 θ2 θ1 θ2 l2 cosθ1 θ2 θ12 l1 cos θ1 θ1 l1 sin θ1 θ1 θ22 l2 cosθ1 θ2 θ1 θ2 l2 sinθ1 θ2 0 63 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Equações de movimento Partícula B As forças de traças na partícula B massa m1 s T2 0 T2 0 R T1 0 T1 0 e F P1 0 m1 g 0 71 Precisamos descrever as forças no mesmo referencial F T2 F T S S T2 T2 sinθ1 θ2 T2 cosθ1 θ2 0 e F T1 F T R R T1 T1 sin θ1 T1 cos θ1 0 72 CEFETRJ campus Itaguaí Equação de movimento Partícula B Aplicando a Variação da QML temos F F B m1 F a B F P1 F T1 F T2 m1 F a B 73 0 m1 g 0 T1 cos θ1 T1 sin θ1 0 T2 sinθ1 θ2 T2 cosθ1 θ2 0 m1 a Bx a By 0 CEFETRJ campus Itaguaí Equação de movimento Partícula A As forças que atuam na massa m2 F P2 0 m2 g 0 e F T2 T2 sinθ1 θ2 T2 cosθ1 θ2 0 74 Aplicando a Variação da QML temos F F A m2 F a A F P2 F T2 m2 F a A 75 0 m2 g 0 T2 sinθ1 θ2 T2 cosθ1 θ2 0 m1 a Ax a Ay 0 CEFETRJ campus Itaguaí Equações de movimento Resolvendo as Eqs 73 e 75 teremos as equações para as forças dinâmicas T1 e T2 Além disso teremos as equações de movimentos em θ1 e θ2 não lineares e dependentes do tempo e das condições iniciais de movimento BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 14 16 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Bibliografia I 1 R C Hibbeler Dinâmica Mecânica para Engenharia 10ª Edição Pearson 2005 2 R C Hibbeler Estática Mecânica para Engenharia Pearson Education do Brasil 2005 3 J L Meriam and L G Kraige Mecânica para Engenharia Dinâmica LTC 2009 4 H M Nussenzveig Curso de física básica Mecânica vol 1 Editora Blucher 2013 5 I F Santos Dinâmica de sistemas mecânicos modelagem simulação visualização verificação Makron 2001 6 H I Weber Raciocinando Dinâmica de Rotação Kindle Direct Publishing 2019 BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 15 16 Sumário 1 Pêndulo Duplo 2 Sistemas de referência 3 Vetores de posição 4 Vetores velocidades e acelerações angulares 5 Vetores velocidades lineares 6 Vetores acelerações lineares 7 Equações de movimento 8 Bibliografia 9 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Dinâmica de Sistemas Mecânicos Cinemática e Ci nética de Sistemas de Partículas Notas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí 2022 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Sistema de Partículas 16 16 Equações de movimento no Espaço de Estado Prof Bruno Cesar Cayres DSc brunocayrescefetrjbr Departamento de Engenharia Mecânica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí Dinâmica Sumário 1 Conceito de estado 2 Representação por variáveis de estado 3 Mais exemplos 4 Bibliografia 5 Créditos Sumário 1 Conceito de estado 2 Representação por variáveis de estado 3 Mais exemplos 4 Bibliografia 5 Créditos Conceito de estado Para conhecermos a saída de um sistema dada uma entrada precisamos co nhecer as condições iniciais Este conjunto de cond iniciais é denominado estado inicial do sistema O estado de um sistema no tempo t0 é o conjunto de informações em t0 que junto com a entrada ut t t determina univocamente o comportamento estado do sistema para t t0 2 Fonte 5 BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 1 17 Conceito de estado A escolha do estado não é única O estado pode ser constituído por um conjunto finito ou infinito de valores As variáveis serão representadas em um vetor qt chamado de vetor de estado Cada elemento do vetor de estado é uma variável de estado E o espaço de dimensão n em que qt pode variar é chamado de espaço de estados Com as variáveis de estado podemos construir um sistema de equações de 1ª ordem que são chamadas Equações de Estado BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 2 17 Sumário 1 Conceito de estado 2 Representação por variáveis de estado 3 Mais exemplos 4 Bibliografia 5 Créditos Representação por variáveis de estado Um sistema de m equações diferenciais de ordem n pode ser reescrito como um sistema de m n equações de 1ª ordem PEx um sistema de m 2 ED de ordem n 2 dado por wt 5wt 3yt u1t yt 2yt 3wt u2t 21 teremos com isso m n 4 ED de 1ª ordem Vamos primeiramente definir as variáveis de estado no vetor qt q1 wt q2 wt q3 yt e q4 yt 22 Representação por variáveis de estado O vetor de estado fica então q q1 q2 q3 q4 wt wt yt yt 23 Notamos que a derivada do vetor qt é q q1 q2 q3 q4 wt wt yt yt 24 Observamos que q1 q2 e q3 q4 BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 4 17 Representação por variáveis de estado Isolamos os termos de 2ª ordem Eq 21 e substituímos pelas variáveis de estado tal que wt 5wt 3yt u1t yt 3wt 2yt u2t q2 5q1 3q4 u1 q4 3q2 2q4 u2 25 Representação por variáveis de estado O sistema de ED de 1ª ordem então passa a ser q1 q2 q2 5q1 3q4 u1 q3 q4 q4 3q2 2q4 u2 BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 6 17 Representação por variáveis de estado Podemos ainda reescrever na forma matricial tal que q1 q2 q3 q4 0 1 0 0 5 0 0 3 0 0 0 1 0 3 0 2 q1 q2 q3 q4 0 0 1 0 0 0 0 1 u1 u2 26 Assim obtemos o modelo no espaço de estado q Aq Bu 27 A representação obtida Eq 27 é bastante utilizada em Teoria de Controle Representação por variáveis de estado Como comentado a escolha do estado não é única Podemos pex organizar o vetor de estado como q1 wt q2 yt q3 wt e q4 yt 28 tal que q wt yt wt yt BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 8 17 Com isso o sistema de ED de 1ª ordem será 𝑞₁ 𝑞₃ 𝑞₂ 𝑞₄ 𝑞₃ 5𝑞₁ 3𝑞₄ 𝑢₁ 𝑞₄ 3𝑞₃ 2𝑞₄ 𝑢₂ 29 Temos agora 𝑞₁ 𝑞₂ 𝑞₃ 𝑞₄ 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 3 0 0 3 2 𝑞₁ 𝑞₂ 𝑞₃ 𝑞₄ 0 0 0 0 1 0 0 1 𝑢₁ 𝑢₂ 210 Como o sistema é linear conseguimos escrever como descrito na Eq 27 ou 210 Nem sempre será possível escrever desta forma Pex seja a equação do pêndulo simples 𝜃 𝑔𝑙 sin𝜃 0 211 Definindo o vetor de estado como q 𝜃 𝜃T teremos 𝑞₁ 𝑞₂ 𝑞₂ 𝑔𝑙 sin𝑞₁ 212 Sumário 1 Conceito de estado 2 Representação por variáveis de estado 3 Mais exemplos 4 Bibliografia 5 Créditos Sistema massamolaamortecedor linear O sistema acima é descrito pela equação md2x dt2 µdx dt kx ut 31 fonte da figura 5 BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 11 17 Vamos definir o vetor de estado como q 𝑞₁ 𝑞₂ 𝑥 𝑥 32 sendo 𝑞₁ 𝑥𝑡 posição 𝑞₂ 𝑥𝑡 velocidade Agora podemos reescrever o sistema 𝑞₁ 𝑞₂ 𝑞₂ 𝑘𝑚 𝑞₁ 𝜇𝑚 𝑞₂ 1𝑚 𝑢 33 Sistema massamolaamortecedor linear Logo ẋ₁ ẋ₂ 0 1 km μm q₁ q₂ 0 1m u 34 Ou ainda ẋ Aq Bu Sistema massamolaamortecedor não linear O sistema ao lado é um sistema massamola amortecedor com fk ky 3 O sistema também está sujeito à ação da gravi dade A equação de movimento é dada por my c y ky 3 mg 0 35 fonte da figura 3 BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 14 17 Sistema massamolaamortecedor não linear y c m y k my 3 g Escolhendo o vetor de estado como q y yT q1 q2T temos q1 q2 q2 c mq2 k mq3 1 g 36 BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 15 17 Sumário 1 Conceito de estado 2 Representação por variáveis de estado 3 Mais exemplos 4 Bibliografia 5 Créditos Bibliografia 1 Representação no espaço de estados Dinâmica de processos biológicos e fisiológicos acessada 11012022 2 Representação no espaço de estado httpwww2peqcoppeufrjbr PessoalProfessoresArgeCOQ790Cap8pdf Accessed 11012022 3 J F Camino Em707 Controle de sistemas mecânicos acessada 11012022 4 J F Camino Apostila para a disciplina es601 Análise linear de sis temas httpwwwfemunicampbrcaminoCourseNotesApostila ES601Caminopdf 2021 acessada 11012022 5 J A M F de Souza Equações de estado httpwww2peq coppeufrjbrPessoalProfessoresArgeCOQ790Cap8pdf Acces sed 11012022 BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 16 17 Sumário 1 Conceito de estado 2 Representação por variáveis de estado 3 Mais exemplos 4 Bibliografia 5 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Dinâmica de Sistemas Mecânicos Equações de movi mento no Espaço de Estado Notas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Cam pus Itaguaí 2022 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Equações de Estado 17 17 Cinemática de Corpos Prof Bruno Cesar Cayres DSc brunocayrescefetrjbr Departamento de Engenharia Mecânica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí Dinâmica Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Introdução Em muitas situação as dimensões de um corpo não podem ser desprezadas As forças externas atuantes podem não está atuando sobre o mesmo ponto Com isso estas forças vão gerar uma rotação no corpo rígido em relação a algum ponto Este ponto centro de rotação pode ou não fazer parte do corpo Vamos então precisar de mais informações sobre a rotação e a distribuição de massa ao longo de eixos de referência BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 1 7 Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Cinemática Como as dimensões do corpo não poderão mais ser desprezadas vamos precisar de seis equações 3 equações relacionadas com os movimentos de translação e 3 equações relacionadas com os movimentos de rotação do corpo Na imagem ao lado colocamos um SR móvel solidário ao corpo Com isso as quantidades angulares do corpo e do SR móvel serão iguais Figura retirada da referência 5 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 2 7 Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Vetor velocidade linear As velocidades podem ser obtidas por diferenciação direta F vB ddt F rOB 31 Utilizando os conceitos de sistemas móveis podemos também escrever pex com mais um SR móvel R R vB R vA RF ωR R rAB R vrel 32 Ou ainda R vB R vA RF ωR R rAB ddt R rAB 33 Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Vetores de posição As acelerações podem ser obtidas por diferenciação direta F aB d²dt² F rOB 41 Utilizando os conceitos de sistemas móveis podemos também escrever pex com mais um SR móvel R R aB R aA RF ζR R rAB RF ωR RF ωR R rAB 2 RF ωR R vrel R arel 42 Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Vetores velocidade e aceleração angulares A velocidade angular no primeiro SR é FF ildeomegaR Fcdot TR R mathbfTF longrightarrow FF omegaR leftbeginarrayc0 0 dot heta1endarrayright RF omegaR 51 A aceleração angular absoluta RF veczetaS RF omegaR imes RF omegaS fracddtleftRF omegaSright 52 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 57 Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Bibliografia I 1 R C Hibbeler Dinâmica Mecânica para Engenharia 10ª Edição Pearson 2005 2 R C Hibbeler Estática Mecânica para Engenharia Pearson Education do Brasil 2005 3 J L Meriam and L G Kraige Mecânica para Engenharia Dinâmica LTC 2009 4 H M Nussenzveig Curso de física básica Mecânica vol 1 Editora Blucher 2013 5 I F Santos Dinâmica de sistemas mecânicos modelagem simulação visualização verificação Makron 2001 6 H I Weber Raciocinando Dinâmica de Rotação Kindle Direct Publishing 2019 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 6 7 Sumário 1 Introdução 2 Cinemática de corpos 3 Vetor de velocidade linear 4 Vetor aceleração linear 5 Vetores velocidades e acelerações angulares 6 Bibliografia 7 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Dinâmica de Sistemas Mecânicos Cinemática de Cor pos Notas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí 2021 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 7 7 Cinemática de Corpos Prof Bruno Cesar Cayres DSc brunocayrescefetrjbr Departamento de Engenharia Mecânica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí Dinâmica Cinética de Corpos Rígidos Prof Bruno Cesar Cayres DSc brunocayrescefetrjbr Departamento de Engenharia Mecânica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí Dinâmica Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Introdução Já sabemos que um corpo rígido pode ser idealizado com um conjunto de partículas A distância entre as partículas que compõem o corpo permanecem constantes Vimos como a cinemática se aplica para estes sistemas de partículas Agora precisamos encontrar as equações para as forças e momentos resultantes sobre um corpo rígido Para isso vamos utilizar os conceitos de Quantidade de Movimento Linear e Angular BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 1 30 Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos QML de um corpo rígido Para um sistema de partículas composto por n partículas de massa mi i 1 2 n Usando a definição de centro de massa Fr sumi1n mi F ri sumi1n mi F r 21 F r fracsumi1n mi F risumi1n mi 22 O símbolo será referente ao centro de massa do sistema de partículas Figura retirada da referência 5 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 230 QML de um corpo rígido Derivando a Eq 21 teremos F mathbfG fracddt leftsumi1n mi F ri right fracddt leftsumi1n mi F rright F mathbfG sumi1n mi F mathbfvi m F mathbfv 23 A Eq 23 nos informa que a QML de um sistema de partículas é igual à QML de seu centro de massa BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 330 Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Variação da QML De acordo 2ª Lei de Newton podemos escrever que a QML de um corpo ou um sistema de partículas só poderá ser alterado mediante aplicação de forças externa sobre o mesmo tal que j1s F Fj fracddtleftmF mathbfvright 31 Expandindo j1s F Fj fracddt mF mathbfv m fracddtleftFmathbfvright dotmF mathbfv mF mathbfa onde s é o número total de forças externas atuando sobre o corpo Variação da QML Podemos escrever que j1s F Fj m leftF mathbfaA F boldsymbolzeta imes F mathbfrAB F boldsymbolomega imes F boldsymbolomega imes F mathbfrAB 2 F boldsymbolomega imes F mathbfvrel F mathbfarelright 32 onde o ponto A é a origem do SR móvel e B é o centro de massa do corpo Fazendo F mathbfrAB F mathbfr j1s F Fj m left F mathbfaA F boldsymbolzeta imes F mathbfr F boldsymbolomega imes F boldsymbolomega imes F mathbfr 2 F boldsymbolomega imes F mathbfvrel F mathbfarel right 33 0 0 Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos QMA de um corpo rígido Agora precisamos encontrar a relação entre o movimentos angulares e os momentos externos aplicados sobre um corpo rígido Para isso vamos partir da QMA de uma partícula para chegar na QMA de um corpo rígido Figura retirada da referência 5 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 6 30 QMA de um corpo Definimos o vetor QMA de uma partícula i em relação a um ponto A qualquer como F mathbfHA F boldsymbolrhoi imes F mathbfGi F boldsymbolrhoi imes leftmi F mathbfvi right Para um sistema de n partículas teremos F mathbfHA sumi1n left F boldsymbolrhoi imes leftmi F mathbfvi right right Posicionamos um SR móvel com origem em A que gira solidário ao corpo rígido e translada com F mathbfvA F mathbfvi F mathbfvA F boldsymbolomega imes F boldsymbolrhoi F mathbfvrel 0 Figura retirada da referência 5 QMA de um corpo rígido A QMA fica sendo representada por F HA Σi1n F ρi mi F vA F ω F ρi Podemos expandir F HA Σi1n F ρi mi F vA Σi1n F ρi mi F ω F ρi ou F HA m F ρCM F vA Σi1n F ρi mi F ω F ρi CEFETRJ campus Itaguaí QMA de um corpo rígido Se posicionarmos a origem do sistema móvel sobre o centro de massa do corpo rígido F ρCM 0 F HA m F ρCM F vA Σi1n F ρi mi F ω F ρi 0 Com isso a QMA do conjunto será F HA Σi1n F ρi F ω F ρi mi 41 Este vetor QMA pode ser representado em qualquer outro sistema de referencia S HA Σi1n S ρi S ω S ρi mi CEFETRJ campus Itaguaí QMA de um corpo rígido Descrevendo ρ no SR F Fρ e no SR móvel Sρ temos Fρ Fr xt yt zt e Sρ Sr x y z 42 O que percebemos BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 10 30 QMA de um corpo rígido Descrevendo ρ no SR F Fρ e no SR móvel Sρ temos Fρ Fr xt yt zt e Sρ Sr x y z 42 Percebemos que o vetor Fr no SR F é dependente do tempo o vetor Sr no SR S é constante e independente do tempo Podemos descrever o vetor velocidade angular também Fω ωx ωy ωz e Sω ωx ωy ωz 43 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 10 30 QMA de um corpo rígido Considerando um corpo como um sistema de infinitas partículas de massas infinitesimais F HA F r F ω F r dm e S HA S r S ω S r dm 44 A partir daqui vamos continuar utilizando a base móvel S por esta ser independente do tempo Sendo dm μ dV e dV dx dy dz onde μ é a densidade do material temos dm μ dV μ dx dy dz 45 CEFETRJ campus Itaguaí QMA de um corpo rígido Com o auxílio das Eqs 42 43 e 45 temos que a QMA sHA y2 z2μ dx dy dz xyμ dx dy dz xzμ dx dy dz yxμ dx dy dz x2 z2μ dx dy dz yzμ dx dy dz zxμ dx dy dz zyμ dx dy dz x2 y2μ dx dy dz ωx ωy ωz CEFETRJ campus Itaguaí QMA de um corpo rígido Efetuando as integrais teremos sHA Ixx Ixy Ixz Iyx Iyy Iyz Izx Izy Izz ωx ωy ωz sHA sIA sω 46 onde Ixx y2 z2μ dx dy dz Ixy xyμ dx dy dz Ixz xzμ dx dy dz Iyx yxμ dx dy dz Iyy x2 z2μ dx dy dz Iyz yzμ dx dy dz Izx zxμ dx dy dz Izy zyμ dx dy dz Izz x2 y2μ dx dy dz CEFETRJ campus Itaguaí QMA de um corpo rígido Os termos Ixx Iyy e Izz são chamados de momentos de inércia de massa em relação aos eixo do SR móvel com origem no centro de massa do corpo Os termos Ixy Ixz e Izy são chamados de produtos de inércia de massa Ixy Iyx Ixz Izx e Izy Iyz fazendo com que SIA seja simétrica A matriz SIA é chamada de tensor de inércia em relação ao ponto A Esta matriz está associada com a distribuição de partículas que compõem o corpo em relação aos eixos de referência Quanto maior for o valor de Ixx Iyy e Izz maior será a distância das partículas em relação ao ponto de rotação A Quando Ixy Ixz e Izy forem diferentes de zero significa que não há simetria de distribuição de massa em relação aos eixos adotados BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 14 30 QMA de um corpo rígido Estas integrais quando resolvidas no SR móvel solidário ao corpo tornamse independentes do tempo e dependem apenas da geometria do corpo Ressaltase que se o ponto A não coincidir com o centro de massa do corpo rígido temos de adicionar o termo m SρCM SvA no cálculo da QMA Esta velocidade SvA é a velocidade de translação do ponto A o qual não coincide com o centro de massa e em torno do qual se realiza do cálculo da QMA BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 15 30 QMA de um corpo rígido De maneira geral temos SHA SIA S FωS m Sρ CM SvA 47 SIA é o tensor de inércia do corpo calculado em relação ao ponto A e descrito em um SR móvel S solidário ao corpo S FωS é o vetor velocidade angular absoluta do corpo no SR móvel S m é a massa total do corpo SρCM é o vetor com origem em torno do ponto que se calcula a QMA no caso A e fim no centro de massa do corpo representado no SR S SvA é a velocidade linear absoluta do ponto A em torno do qual se calcula a QMA do corpo representado no SR móvel S BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 16 30 Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Teorema dos eixos paralelos Às vezes temos informações sobre os momentos e produtos de inércia do corpo em relação a um determinado ponto e desejase obter em relação a um outro ponto qualquer D O ponto D está distante de DX DY e DZ Então podemos usar o Teorema dos Eixos Paralelos ou Teorema de Steiner Ixx Ixx mDY2 DZ2 Iyy Iyy mDZ2 DX2 Izz Izz mDX2 DY2 Ixy Ixy mDXDY Ixz Ixz mDXDZ Iyz Ixy mDYDZ Assim sID Ixx Ixy Ixz Iyx Iyy Iyz Izx Izy Izz CEFETRJ campus Itaguaí Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Direções principais de inércia Ao escolher um SR solidário ao corpo que guarda simetria em relação à distri buição de massa temos tensores diagonais SIO Ixx 0 0 0 Iyy 0 0 0 Izz Dizemos que o SR escolhido coincide com os eixos principais de inércia do corpo Se o SR não coincidir com os eixos principais de inércia produtos de inércia serão diferentes de zero No entanto é possível encontrar as direções principais e os novos momentos de inércia mudando o SR BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 18 30 Direções principais de inércia Para encontrar o novo SR usamos a teoria de Autovalores e Autovetores para o tensor de inércia tal que Ixx λ Ixy Ixz Ixy Iyy λ Iyz Ixz Iyz Izz λ 0 Obtemos a equação característica de terceira ordem em λ C3λ3 C2λ2 C1λ C0 0 As raízes deste polinômio λ1 λ2 e λ3 serão os três momentos de inércia principais sendo λ1 λ2 λ3 PIO λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 19 30 Direções principais de inércia Estas inércias estão descritas em uma nova base móvel solidária ao corpo SR P Para transformar do SR S para o SR P precisamos calcular os autovetores 1 Para isso por exemplo Ixx λ1 Ixy Ixz Ixy Iyy λ1 Iyz Ixz Iyz Izz λ1 a1 b1 c1 0 0 0 2 Em seguida normalizamos o autovetor ss1 a1 sqrta12 b12 c12 b1 sqrta12 b12 c12 c1 sqrta12 b12 c12 Direções principais de inércia Repetimos o processo para obter Ss2 e Ss3 e obtemos a PTS PTS a1 a2 1b2 1c2 1 b1 a2 1b2 1c2 1 c1 a2 1b2 1c2 1 a2 a2 2b2 2c2 2 b2 a2 2b2 2c2 2 c2 a2 2b2 2c2 2 a3 a2 3b2 3c2 3 b3 a2 3b2 3c2 3 c3 a2 3b2 3c2 3 Por exemplo um vetor Sr poderá ser descrito no SR P da seguinte forma Pr PTS Sr BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 21 30 Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Variação da QMA Assim como a QML só pode variar na presença de forças externas a QMA só poderá ser alterada mediante a aplicação de momentos externos Se derivarmos a equação da QMA no SR F precisaríamos derivar o tensor de inércia também Para nós é mais prático utilizar o SR solidário ao corpo onde o tensor de inércia permanecerá independente do tempo Temos de ter cuidado para não perdermos informações relacionadas a variação de direção do vetor QMA Assim temos Sumi1s s MA ddt s HA s Omega s HA Variação da QMA Sumi1s s MA ddt s HA s Omega s HA Vale ressaltar que s Omega é a velocidade angular no sistema de referência escolhido Por exemplo F Q R S Supondo que o SR R guarde a simetria de distribuição de partículas Com isso a velocidade angular absoluta do corpo RF ωs será diferente da velocidade angular do SR que escolhemos trabalhar RF ΩR Sumi1s R MA ddt R HA RF ΩR R HA Variação da QMA Então seguindo na variação da QMA i1s R𝑴A ddtR𝑯A RFΩR R𝑯A ddtR𝑰ARF ωS mR ρ R𝒗A RFΩR R𝑰ARF ωS mR ρ R𝒗A ddt R𝑰ARF ωS0 R𝑰A ddt RF ωS ddt mR ρ R𝒗A0 m ddt R ρ R𝒗A 0 mR ρ ddt R𝒗A RFΩR R𝑰ARF ωS mR ρ R𝒗A CEFETRJ campus Itaguaí BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 24 30 Variação da QMA ddt R𝑰ARF ωS0 R𝑰A ddt RF ωS ddt mR ρ R𝒗A0 m ddt R ρ R𝒗A 0 mR ρ ddt R𝒗A RFΩR R𝑰ARF ωS mR ρ R𝒗A Então temos i1s R𝑴A R𝑰A ddt RF ωS RFΩR R𝑰ARF ωS mR ρ ddt R𝒗A RFΩR R𝒗A R aA CEFETRJ campus Itaguaí BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 25 30 Variação da QMA Com isso chegamos a equação da Variação Quantidade de Movimento Angular i1s R𝑴A R𝑰A ddt RF ωS RFΩR R𝑰ARF ωS mR ρ R aA 71 i1s R𝑴A é o somatório de todos os momentos provocados por forças externas em relação ao ponto A R𝑰A é o tensor de inércia do corpo calculado em relação ao ponto A ddt RF ωS é a derivada dos termos do vetor velocidade angular absoluta do corpo RFΩR é o vetor velocidade angular da base escolhida por exemplo SR R m é a massa total do corpo R ρ é o vetor com o origem em A e com o fim no centro de massa do corpo R aA é a aceleração linear absoluta do ponto A CEFETRJ campus Itaguaí BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 26 30 Variação da QMA Um observação Σ i1 até s R MA R IA ddt RF ωS RF ΩR RF ωS mR ρ R aA Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Método de NewtonEuler O Método de NewtonEuler se baseia nas equações de Variação da Quantidade de Movimento Linear e Angular Σ i1 até s R F ddt R G e Σ i1 até s R MA ddt R HA R Ω R HA Teremos com isso 3 equações de translação e 3 equações para rotação do corpo Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Bibliografia I 1 R C Hibbeler Dinâmica Mecânica para Engenharia 10ª Edição Pearson 2005 2 R C Hibbeler Estática Mecânica para Engenharia Pearson Education do Brasil 2005 3 J L Meriam and L G Kraige Mecânica para Engenharia Dinâmica LTC 2009 4 H M Nussenzveig Curso de física básica Mecânica vol 1 Editora Blucher 2013 5 I F Santos Dinâmica de sistemas mecânicos modelagem simulação visualização verificação Makron 2001 6 H I Weber Raciocinando Dinâmica de Rotação Kindle Direct Publishing 2019 BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 29 30 Sumário 1 Introdução 2 Quantidade de movimento linear de um corpo rígido 3 Variaçao da quantidade de movimento linear 4 Quantidade de movimento angular de um corpo rígido 5 Teorema dos eixos paralelos 6 Direções principais de inércia 7 Variação da quantidade de movimento angular 8 Método de NewtonEuler 9 Bibliografia 10 Créditos Créditos Como citar este material BC Cayres Dinâmica de Sistemas Mecânicos Cinética de Corpos Rígidos Notas de Aula em Dinâmica Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Campus Itaguaí 2021 Esse material pode ser compartilhado nos termos da licença Creative Commons BYNCND 30 com propósitos exclusivamente educacionais BC Cayres CEFETRJ Cinemática de Corpos Rígidos 30 30