Análise Davi e Transmissibilidade - Vibrações

Queremos aqui expressar as variáveis z e ψ em função de x e y para poder aplicar na Lagrangeana Determinação de z Usando a semelhança de triângulos temos zyxy lbla Logo achamos que z y lblaxy Determinação de ψ e das suas derivadas senψ zylb xyla Derivadas ẋẏ la dsenψdt la dsenψdψ dψdt ψ la cosψ de onde podemos aproximar para pequenos ângulos que ψ ẋẏla E derivando de novo considerando os termos quadráticos ou de maior ordem desprezíveis ẍÿ ψ la cosψ ψ² la senψ ψ la cosψ Ou seja para pequenos ângulos ψ ẍÿla Velocidade da massa mis Com a figura acima usando x como referência e considerando a velocidade horizontal muito pequena 𝐯p ẋ 𝐣 lb laψsenψ 𝐢 cosψ 𝐣 ẋ 𝐣 lb la ẋÿla 𝐣 Energia cinética total da massa mis Com as considerações feitas acima podemos considerar que ECm mẋ²2 Jψ²2 Onde ψ ẋÿla ẋ 𝐯p ẋ 𝐣 lb la ẋÿla 𝐣 ẋ lblaẋÿ ẋÿ ẋ lblaẋÿ ẏ e J é o momento de inércia do massa mis em torno do próprio eixo Como consideramos essa massa pontual essa inércia é nula Logo ECm mẋ²2 Seguem os passos para resolução deste trabalho 1 Equação do movimento Usando a equação de Lagrange considerando massas pontuais e pequenos deslocamentos mostre que a equação do movimento é dada por M mlbla² ẍt cẋt kxt m lbla lbla 1 ÿt cẏt kyt 2 Relação de transmissibilidade Resposta de transmissibilidade em deslocamento de um sistema massa mola amortecedor com e sem DAVI Isolador Antiressonante Dinâmico de Vibrações Problema a ser resolvido DAVI com alavanca de tipo II httpsmundoeducacaouolcombrfisicaalavancashtm Objetivo O objetivo do trabalho é estudar a transmissibilidade em deslocamento do sistema mostrado acima onde um Isolador de Vibrações Dinâmico Antiresoante DAVI é adicionado ao sitema clássico visto em aula de isolamento por uma massa e uma mola em paralelo Um pouco de geometria O movimento da barra pode ser estudado a partir das coordenadas repetidas abaixo Usando a equação do movimento considerando yt YeiΩt mostre que a relação de transmissibilidade entre a base e a massa suspensa é dada por XY sqrtkΩ2 m lbla lbla 12 cΩ2 kΩ2 M m lbla22 cΩ2 3 Discussão sobre as qualidades e defeitos em isolamento Use os parâmetros a seguir k 80 Nm M 50 kg m 10 kg la 1 m lb 15 m c 5 Nsm 1 Com as equações acima considerando c 0 Nsm para facilitar o cálculo determine a frequência natural do sistema com DAVI compare com a frequência natural sem DAVI o que acontece quando o numerador da função de transmissibilidade tende a 0 Explique o porque do sistema ser chamado antiresonante Usando o programa abaixo como base represente a transmissibilidade em deslocamento como função da frequência da base com e sem o DAVI variando o valor de c Discute o resultado imaginando ou citando exemplos de aplicações mais adequada com cada tipo de dispositivo Inicialização do programa Importação das bibliotecas matplotlib inline import numpy as np from scipy import linalg as alg from numpy import matlib import matplotlibpyplot as plt from IPythondisplay import Markdown as md from matplotlib import rc import matplotlib as mpl printpltstyleavailable Definição dos parâmetros das figuras pltstyleuseseabornnotebook pltrcParamsfigurefigsize 208 largura e altura das figuras mplrcParamslineslinewidth 15 mplrcParamslinesmarkersize 10 mplrcParamsaxeslinewidth 1 mplrcParamsaxestitlesize 15 mplrcParamsaxeslabelsize 12 mplrcParamsxticklabelsize 12 mplrcParamsyticklabelsize 12 mplrcParamsaxesgrid True Definição dos parâmetros do oscilador Definição dos parâmetros do sistema m 1 kg k 1000 Nm1 c 10 Nsm1 usar 2npsqrtkm para verificar o caso amortecimento crítico Frequência natural sem DAVI wn npsqrtkm printFrequência de ressonância wn2nppi Hz Frequência natural com DAVI wn npsqrtkm printFrequência de ressonância wn2nppi Hz Frequência de ressonância 5032921210448704 Hz Frequência de ressonância 5032921210448704 Hz Construção do vetor frequência da exitação OMEGAfinal 10wn Faixa de frequência de simulação em rads OMEGApasso 5 Intervalo de discretização em rads vecOMEGA nparange0OMEGAfinalOMEGApasso Definição da transmissibilidade em deslocamento em função da frequência Sem DAVI vecXYSDnpsqrtk2cvecOMEGA2kmvecOMEGA22cvecOMEGA2 Com DAVI vecXYCDnpsqrtcvecOMEGA2kmvecOMEGA22cvecOMEGA2 Gráficos A seguir dependendo do fator de amortecimento e com pltplotvecOMEGA2nppinpabsvecXYSDlabelSem DAVI pltplotvecOMEGA2nppinpabsvecXYCDlabelCom DAVI pltyscalelog plttitleOscilador forçadofontsize18 fontweightbold pltylabelAmplitude XYlogfontsize18 ax2 pltsubplot212 pltplotvecOMEGA2nppi60npabsvecX2 pltyscalelog pltylabelAmplitude X2 logfontsize18 pltxlabelFrequência Hzfontsize18 pltxlim0 OMEGAfinal2nppi pltylim000001 10 pltgridTrue pltlegend matplotliblegendLegend at 0x7f76d8056910 Oscilador forçado Sem DAVI Com DAVI Amplitude XYlog Frequência Hz Comece a programar ou gere código com IA Tf3DDGmGBWCn7VEiDTD5Nt78NRfihKrj4J PATH TO FAST AND ROBUST dAND CLUSTERS NO ADDITIONAL POIS SON ERRORS NEEDED JUST CLUSTERING WITH GMM TEXARO WHAT IS IT PATH IN INPUT SPACE CLUSTERING IN SPECTRAL SPACE Clustering dataset C Longitudinal study on MRI 182 subjects Path subgroup detected 3 covariates found significant A GE D age R sex F handedness Imaging dataset DFA GCTA of a big MRI datset 618 subjects F PATH sub group detected 3 covariates found significant GE D age R sex F handedness 1 Objetivos O objetivo deste trabalho é analisar os seguintes pontos a Considerando o amortecimento nulo i determinar as frequências naturais do sistema com e sem o DAVI ii analisar o comportamento do sistema quando o numerador da função de transmissibilidade tende a 0 e explicar o porque do sistema ser denominado antiresonante b Avaliar o comportamento da função de transmissibilidade variando o amortecimento do sistema 2 Modelo dinâmico do sistema Considerando o sistema exposto na figura abaixo uma das possíveis formas de obtenção das equações de movimento do sistema é através da utilização das equações de Lagrange Desta forma temos que a energia cinética do sistema pode ser calculada como 𝑇1 2 𝑚𝑖𝑠 𝑧 2 1 2 𝑚 𝑥 2 1 2 𝐽 𝜓 2 De forma análoga a energia potencial do sistema pode ser expressa como 𝑉 𝑚𝑔𝑥𝑚𝑖𝑠𝑔𝑧1 2 𝑘𝑥 𝑦 2 Já a energia dissipada no amortecedor é expressa como 𝐷1 2 𝑐 𝑥 𝑦 2 Analisando as equações acima percebese que estão sendo utilizadas 3 coordenadas para modelar o sistema porém as mesmas podem ser relacionadas com o auxílio da análise da figura abaixo Com base na geometria da figura acima podese afirmar que 𝑠𝑒𝑛𝜓 𝑧 𝑦 𝑙𝑏 𝑥 𝑦 𝑙𝑎 𝜓 𝑧 𝑦 𝑙𝑏 𝑥 𝑦 𝑙𝑎 já levando em consideração que os deslocamentos angulares permanecerão pequenos Desprezandose a inércia J da barra e os efeitos devido a variação de energia potencial gravitacional temos que a energia cinética e potencial do sistema poderão ser descritas como 𝑇1 2𝑚𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 𝑙𝑎 2 𝑥 2 1 2 𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑙𝑎 1 𝑦 2 𝑉 1 2 𝑘 𝑥 𝑦 2 Com base nas equações acima e na Equação de Lagrange exposta abaixo pode se afirmar que a equação de movimento do sistema seja dada por 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 𝑇 𝑉 𝑥 𝑇 𝑉 𝐷 𝑥 0 𝑚𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 𝑙𝑎 2 𝑥𝑐 𝑥𝑘𝑥𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑙𝑎 1 𝑦𝑐 𝑦𝑘𝑦 3 Determinação das frequências naturais do sistema Partindo da equação de movimento do sistema obtida na seção anterior temos que a frequência natural do sistema será dada por 𝜔 𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 2 𝑙𝑎 2 Portanto adotandose a massa do equipamento como 50kg a massa do absorvedor 10kg a rigidez da mola 80Nm e os comprimentos a e b dados por 1 e 15 m respectivamente podese concluir que a frequência natural do sistema sem o absorvedor será de 𝜔𝑆𝐷 𝑘 𝑚 80 5012649 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Já a frequência natural com o amortecedor 𝜔𝐶𝐷 80 5010 𝑥15 210505 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Desta forma percebese que há uma redução na frequência natural do sistema com a introdução do absorvedor Resposta do objetivo ai 4 Análise da Transmissibilidade Admitindose que a perturbação de base yt é um sinal da forma 𝑦 𝑡𝑌 𝑒 𝑖Ω𝑡 Podese afirmar que a transmissibilidade pode ser calculada como 𝑋 𝑌 𝑘Ω 2𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑙𝑎 1 2 𝑐 Ω 2 𝑘Ω 2𝑚𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 𝑙𝑎 2 2 𝑐 Ω 2 Analisandose o pedido no objetivo aii desconsiderandose o efeito do amortecimento temos que o numerador será 0 quando Ω 𝑘 𝑚𝑖𝑠 𝑙𝑏 𝑙𝑎 𝑙𝑏 𝑙𝑎 1 Nesse caso não há movimento pois a amplitude X do movimento será nula Além disso percebese que a frequência de excitação calculada se assimila a uma frequência natural associada a perturbação de base Como nesse caso há uma atenuação grande da amplitude do movimento do sistema para essa frequência podemos classificar o sistema como antiresonante que são caracterizados pela existência desta frequência com interferência destrutiva Analisandose agora a influência do amortecimento na transmissibilidade do sistema com base no código disponibilizado e adaptado o amortecimento foi analisado dentro do intervalo de 0 a 50Nsm com passo de 5Nsm Os gráficos abaixo apresentam o resultado obtido com o código Conforme esperado os picos de ressonância são atenuados reduzindo de mais de 15 para abaixo de 10 Além disso o sistema amortecido atenua de forma destrutiva as perturbações para frequências logo próximas a 3 rads conforme esperado o que condiz com a equação deduzida nesta mesma seção Já para o sistema sem amortecedor essa anulação ocorre somente para frequências acima de 4 rads Assim podese perceber a eficiência do absorvedor de vibrações não só na atenuação mas na interferência destrutiva anulando a perturbação de base Código utilizado import numpy as np from scipy import linalg as alg from numpy import matlib import matplotlibpyplot as plt from IPythondisplay import Markdown as md from matplotlib import rc import matplotlib as mpl Definição parâmetros figuras pltstyleuseseabornv08notebook pltrcParamsfigurefigsize208 mplrcParamslineslinewidth15 mplrcParamslinesmarkersize 10 mplrcParamsaxeslinewidth 1 mplrcParamsaxestitlesize 15 mplrcParamsaxeslabelsize 12 Definição parãmetros oscilador m 50 mis 10 la 1 lb 15 K 80 Frequência natural sem DAVI wnsd npsqrtKm2nppi printFrequência de ressonância sem DAVIwnsdHz Frequência natural com DAVI wncd npsqrtKmmislbla22nppi printFrequência de ressonância com DAVIwncdHz Construção do vetor de frequências OMEGAfinal 10 OMEGApasso 1 vecOMEGA nparange0OMEGAfinalOMEGApasso Construção do vetor de amortecimentos Cfinal 50 Cpasso 5 vecC nparange0CfinalCpasso Cálculo das transmissibilidades em função de C sem e com DAVI ax1 pltsubplot221 for c in vecC mis 0 vecSD npsqrtKvecOMEGA2mislblalbla12c2vecOMEGA2KvecOMEGA2mmislbla22c2vecOMEGA2 pltplotvecOMEGAnpabsvecSDlabel c plttitleOscilador forçado sem amortecedor fontsize12 fontweight bold pltylabelXYfontsize 12 pltxlim010 pltgridTrue pltlegendlocupper left bboxtoanchor1 1 pltshow ax2 pltsubplot212 for c in vecC mis 10 1 vecCD npsqrtKvecOMEGA2mislblalbla12c2vecOMEGA2KvecOMEGA2mmislbla22c2vecOMEGA2 pltplotvecOMEGAnpabsvecCDlabel c plttitleOscilador forçado com amortecedor fontsize12 fontweight bold pltylabelXYfontsize 12 pltxlabelFrequência rads pltxlim010 pltgridTrue pltlegendlocupper left bboxtoanchor1 1 pltshow 2