Vibrações Mecânicas - Graduação Engenharia Mecânica

Resposta de transmissibilidade em deslocamento de um sistema massa mola amortecedor com e sem DAVI Isolador Antiressonante Dinâmico de Vibrações Problema a ser resolvido DAVI com alavanca de tipo I httpsmundoeducacaouolcombrfisicaalavancashtm Objetivo O objetivo do trabalho é estudar a transmissibilidade em deslocamento do sistema mostrado acima onde um Isolador de Vibrações Dinâmico Antiresoante DAVI é adicionado ao sitema clássico visto em aula de isolamento por uma massa e uma mola em paralelo Um pouco de geometria O movimento da barra pode ser estudado a partir das coordenadas repetidas abaixo Queremos aqui expressar as variáveis x₀ e ψ em função de x e y para poder aplicar na Lagrangeana Determinação de x₀ Usando a semelhança de triângulos temos x₀ xy x lb la Logo achamos que x₀ x lb lay x Determinação de ψ e das suas derivadas senψ x₀ x lb y x la Derivadas ẏ x la d senψ dt la d senψ dψ dψ dt ψ la cosψ de onde podemos aproximar para pequenos ângulos que ψ ẏ x la E derivando de novo considerando os termos quadráticos ou de maior ordem desprezíveis ÿ x ψ la cosψ ψ² la senψ ψ la cosψ Ou seja para pequenos ângulos ψ ÿ x la Velocidade da massa m Com a figura acima usando x como referência e considerando a velocidade horizontal muito pequena vP x ĵ lb ψ senψ î cosψ ĵ x ĵ lb ẏ x la ĵ Energia cinética total da massa m Com as considerações feitas acima podemos considerar que ECm m x₀² 2 J ψ² 2 Onde ψ ẏ x la x₀ vP x ĵ lb ẏ x la ĵ x lb la ẏ x x₀ lb la ẏ x x e J é o momento de inércia do massa m em torno do próprio eixo Como consideramos essa massa pontual essa inércia é nula Logo ECm m x₀² 2 Seguem os passos para resolução deste trabalho 1 Equação do movimento Usando a equação de Lagrange considerando massas pontuais e pequenos deslocamentos mostre que a equação do movimento é dada por M mlb la 1² xt c xt k xt m lb la lb la 1 ÿt c ẏt k yt plttitleOscilador forçadofontsize18 fontweightbold pltylabelAmplitude XYlogfontsize18 ax2 pltsubplot212 pltplotvecOMEGA2nppi60npabsvecX2 pltyscalelog pltylabelAmplitude X2 logfontsize18 pltxlabelFrequência Hzfontsize18 pltxlim0 OMEGAfinal2nppi pltylim000001 10 pltgridTrue pltlegend matplotliblegendLegend at 0x7fee88a19ac0 Oscilador forçado 40 35 30 25 20 15 10 05 00 00 25 50 75 100 125 150 175 200 Frequência Hz Amplitude XYlog Com DAVI Sem DAVI 2 Relação de transmissibilidade Usando a equação do movimento considerando ytY ei Ω t mostre que a relação de transmissibilidade entre a base e a massa suspensa é dada por XY sqrtk Ω2 m lbla lbla 12 c Ω2 k Ω2 M m lbla 122 c Ω2 3 Discussão sobre as qualidades e defeitos em isolamento Use os parâmetros a seguir k80 Nm M50 kg m10 kg la1 m lb15 m c5 Nsm 1 Com as equações acima considerando c0 Nsm para facilitar o cálculo determine a frequência natural do sistema com DAVI compare com a frequência natural sem DAVI o que acontece quando o numerador da função de transmissibilidade tende a 0 Explique o porque do sistema ser chamado antiresonante Usando o programa abaixo como base represente a transmissibilidade em deslocamento como função da frequência da base com e sem o DAVI variando o valor de c Discute o resultado imaginando ou citando exemplos de aplicações mais adequada com cada tipo de dispositivo Inicialização do programa Importação das bibliotecas matplotlib inline import numpy as np from scipy import linalg as alg from numpy import matlib import matplotlibpyplot as plt from IPythondisplay import Markdown as md from matplotlib import rc import matplotlib as mpl printpltstyleavailable Definição dos parâmetros das figuras pltstyleuseseabornnotebook pltrcParamsfigurefigsize 208 largura e altura das figuras mplrcParamslineslinewidth 15 mplrcParamslinesmarkersize 10 mplrcParamsaxeslinewidth 1 mplrcParamsaxestitlesize 15 mplrcParamsaxeslabelsize 12 mplrcParamsxticklabelsize 12 mplrcParamsyticklabelsize 12 mplrcParamsaxesgrid True Definição dos parâmetros do oscilador Definição dos parâmetros do sistema m 1 kg k 1000 Nm1 c 10 Nsm1 usar 2npsqrtkm para verificar o caso amorteicimento crítico Frequência natural wn npsqrtkm printFrequência de ressonância wn2nppi Hz Frequência de ressonância 5032921210448704 Hz Construção do vetor frequência OMEGAfinal 10wn Faixa de frequência de simulação em rads OMEGApasso 5 Intervalo de discretização em rads vecOMEGA nparange0OMEGAfinalOMEGApasso Definição da transmissibilidade em deslocamento em função da frequência vecXYnpsqrtk2cvecOMEGA2kmvecOMEGA22cvecOMEGA2 VecXYDAVI Gráficos A seguir dependendo do fator de amortecimento e com ax1 pltsubplot211 pltplotvecOMEGA2nppinpabsvecXYDAVIlabelCom DAVI pltplotvecOMEGA2nppi12npabsvecXYlabelSem DAVI pltyscalelog