Vibrações - Equação de Lagrange e Isolamento na Vibração Forçada

Vibrações Mecânicas 20242 Tarefa 1 Lagrange Isolação 1 Usando a formulação de Lagrange determine a equação do movimento dos sistemas abaixo Resolva os exercícios atribuídos conforme tabela abaixo Nº1 Alberto Fernando Isabela Mateus Nº2 Anderson Gabriel João Pedro Paulo Nº3 André Guilherme Juliana Pedro Wesley Nº4 Alberto Gabriel Juliana Isabela Wesley Nº5 Fernando Anderson André Mateus Nº6 João Pedro Paulo Guilherme Pedro Os elementos de inércia elasticidade e dissipação do sistema massa mola amortecedor equivalente serão informados para cada sistema estudado O programa mostrado em sala de aula pode ser usado para encontrar a equação de Lagrange a partir das energias Premissas Todos os sólidos são perfeitamente rígidos e com distribuição de massa homogênea Não há atrito nas junções pinadas Para elementos rolando em cima de uma superfície considerar que não há deslizamento Nº1 Zt é um movimento prescrito como no caso da excitação pela base por exemplo Inércia da barra em torno do centro de gravidade 𝐼𝐺 𝑚𝐿2 12 Nº2 Polia de momento de inércia 𝐼𝑂 e massa 𝑀 em torno do ponto 𝑂 A corda não desliza sobre a polia 𝐼𝑂 𝑀𝑅2 2 Nº3 Disco de massa 𝑚 e momento de inércia em torno do centro de gravidade 𝐼𝐶 𝑚𝑅2 2 Nº4 Disco de massa 4𝑚1 e inércia de rotação 𝐼𝐺 𝑚𝑙2 2 Massa pontual de massa 𝑚1 e outra de massa 𝑚2 A massa da barra de comprimento 2𝑙 e da corda não são consideradas No equilíbrio a barra está horizontal Nº5 Disco de massa 2𝑚 momento de inércia 𝐼𝐺 2𝑚𝑙2 12 Massas pontuais de massa 𝑚 A massa das barras e da corda não são consideradas Em repouso a barra de comprimento 4𝑙 está horizontal e a barra de comprimento 2𝑙 vertical Nº6 Disco de massa 𝑚1 e momento de inércia 𝐼𝐺 𝑚1𝑟2 12 Barra EC sem massa e barra AD de massa 𝑚2 Pode ser considero que a barra EC se mantem horizontal 2 Isolação em vibrações Mediuse que quando uma máquina de 𝑚 100 𝑘𝑔 girando a Ω 1200 𝑟𝑝𝑚 é montada diretamente sobre o chão uma força 𝐹𝑇 180 𝑁 é transmitida no chão Foi decidido que a máquina deve ser isolada do chão tal que a magnitude do movimento da máquina seja menor ou igual a 2 mm e que a transmissão de força seja de 10 ou menos Determine a rigidez da mola do sistema de isolamento 𝑘 e a constante de amortecimento 𝑐 I Esboce uma representação do sistema estudado informando as variáveis e constantes do problema II Escreva sem demostrar nem provar as expressões matemáticas que devem ser usadas para determinar a amplitude de oscilação da máquina 𝑋𝑚r e da taxa de transmição de forças 𝑇𝑟𝑟 onde 𝑟 Ω 𝜔0 e 𝜔0 é a frequência angular natural de oscilação do sistema III Usando a respresentação gráfica da taxa de transmissão em função de 𝑟 Ω 𝜔0 escolhe um valor de 𝜉 003 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 e identifique o valor de 𝑟 para que 𝑇𝑅 10 Aplicação gráfica 𝜉 𝐸 httpswwwdesmoscomcalculatoror6xxctvxh IV Calcule então a partir do valor de 𝑟 associado a 𝑇𝑅 10 a frequência natural máxima que o sistema deve ter Deduza o valor de 𝑘 associado Finalmente calcule o valor do coeficiente de amortecimento 𝑐 V Determine então a magnitude de oscilação 𝑋𝑚𝑟 da máquina quando Ω 1200 𝑟𝑝𝑚 O objetivo foi alcançado Comente os resultados em função por exemplo do impacto no valor de 𝑟 nas amplitudes na ressonância na resposta de 𝑋𝑚𝑟 Momentos de inércia httpsptwikipediaorgwikiListademomentosdeinC3A9 rcia Trabalho Vibrações Mecânicas 1 Usando a formulação de Lagrange determine a equação do movimento do sistema abaixo Por meio do sistema acima podemos descrever o sistema por meio de 2 graus de liberdade v t e zt O apoio em C permite apenas o deslocamento angular da barra em torno do apoio C O deslocamento angular mostrado na figura acima pode ser escrito em função de v t como v t l senθ Para pequenos ângulos senθθ logo v t lθθv l Em termos de velocidade θ v l Em relação ao deslocamento do centro de massa da barra temos que yCG l 2 sen θ yCG l 2 θv 2 A energia cinética total do sistema será dada por T1 2 I G θ 2 1 2 M yCG 2 1 2 M L 2 12 v L 2 1 2 M v 2 2 T 7 24 M v 2 E a energia potencial do sistema será θ V1 2 k2 yCG 2 1 2 k1 zv 2mg yCG1 2 k2 v 2 2 1 2 k1zv 2mg v 2 Vv 2 k2 4 k 1 2 vk1z mg 2 1 2 k1 z 2 E a função de dissipação de Rayleigh será R1 2 c yCG 2 1 2 c v 2 2 1 4 c v 2 Logo o lagrangiano será dado por LTV 7 24 M v 2v 2 k2 4 k1 2 vk1 z mg 2 1 2 k1z 2 Para a coordenada generalizada qv L v 14 24 M v d dt L v 14 24 M v L v 2v k 2 4 k1 2 k1z mg 2 R v 1 2 c vQ0não háforçaexterna Assim a equação do movimento será dada por 14 24 M v k2 2 k1 vk1 z mg 2 0 Para a coordenada generalizada qz L v d dt L v0 L v k 1vk1 z R v 0Q0 Com isso a equação do movimento será vz 1 Usando a formulação de Lagrange determine a equação do movimento do sistema abaixo Por meio do sistema acima podemos descrever o sistema por meio de 2 graus de liberdade φ t eθt Com base na figura acima podemos afirmar que x12l senφ x22l senθ x34l senθ Para pequenos ângulos sen θφθφ logo x12lφ x22lθ x34lθ Em termos de velocidade x12l φ x22l θ x34l θ Lembrando que as massas da corda e da barra são desconsideradas a energia cinética total do sistema será dada por T1 2 m x1 2 1 2 2m x2 2 1 2 I G φ 2 1 2 m x3 2 T1 2 m 2l φ 2 1 2 2m2l θ 2 1 2 1 6 ml 2 φ 21 2 m4l θ 2 T25 12 m l 2 φ 212ml 2 θ 2 E a energia potencial do sistema será V2mgl cos φ 12mg 2lsen θmg 4 lsenθ 1 2 k 4lsenθ 2 Para pequenos ângulos sen θφθφ e cos θ 1θ 2 2 assim V2mgl1φ 2 2 12mg 2lθ mg 4lθ 1 2 k 4 lθ 2 Vmglφ 28mglθ8k l 2θ 2 E a função de dissipação de Rayleigh será R1 2 c x3 21 2 c 4l θ 28cl 2 θ 2 Logo o lagrangiano será dado por LTV 25 12 ml 2 φ 212ml 2 θ 2mglφ 28mglθ8k l 2θ 2 Para a coordenada generalizada qφ L φ25 6 ml 2 φ d dt L φ25 6 ml 2 φ L φ2mglφ R φ 0 QF r f φ F 2lφ φ 2lF Assim a equação do movimento será dada por 25 6 m l 2 φ2mglφ2lF Para a coordenada generalizada qθ L θ 24 ml 2 θ d dt L θ24m l 2 θ L θ 8mgl16k l 2θ R v 16cl 2 θ QF r f θ 0 Com isso a equação do movimento será 3ml 2 θ2cl 2 θ2k l 2θmgl0 2 Isolação em Vibrações I e II Um esboço do sistema estudado se encontra na figura abaixo No qual uma máquina de massa m100kg operando a Ω1200rpm12566 rad s transmite uma força ao chão de FT180 N Com o intuito de se isolar o sistema a máquina deve apresentar uma magnitude de deslocamento X menor ou igual a 2 mm e gerar uma transmissão de força T f menor ou igual a 10 para o chão Para descrever a amplitude de oscilação da máquina temse que X F0 km Ω 2 2Ωc 2 1 2 F0 k 1r 2 22ξr 2 1 2 No qual k é a rigidez do isolamento c é a constante de amortecimento do isolamento F0 é a força gerada pela máquina r Ω ω0 ω0k m é a frequência natural e ξ é o fator de amortecimento sendo neste caso adotado como ξ0 03 de tal forma que c2ξm ω0 A magnitude da força transmitida pode ser estimada por FTX k 2Ω c 2 E a transmissibilidade da força pode ser obtida por T fFT F0 12ξr 2 1r 2 22ξr 2 12 III Para o fator de amortecimento de 003 e utilizando o software desmos um gráfico da transmissibilidade de força em relação ao r foi plotado com o intuito de identificar o valor de r no qual T r10 Isolamento Máquina m Conforme visto no gráfico acima a partir de r334628 a transmissibilidade é menor que 10 IV Da de definição do r r Ω ω0 ω0Ω r 12566 33462837 55 rad s Assim ω0 k m km ω0 210037 55 2141 kN m E c2ξm ω02003100375522532 N s m V Agora vamos verificar a magnitude de oscilação da máquina para isso utilizaremos a relação entre X e FT FTX k 2Ω c 2 X FT k 2Ω c 2 180 14110 3 212566225 32 2 X125210 3m1252mm Portanto o objetivo foi alcançado e selecionamos um conjunto de rigidez e amortecimento necessários para uma transmissão de força de 10 e uma amplitude de deslocamento da máquina menor que 10