Vibrações Mecânicas

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA COORDENAÇÃO DO CURSO DE GRADUÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA TRABALHO DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS 2o Período2024 Prof Fernando Ribeiro da Silva Entrega 27 01 2025 Modelagem e análise dinâmica de um veículo de passeio modelado como um sistema de três graus de liberdade movimento vertical rolagem e arfagem passando por um quebramolas a um ângulo relativamente à direção do fluxo da pista A ser apresentado na forma de relatório Caracterização física do problema e definição dos parâmetros Equacionamento Simulação das equações no domínio do tempo Resultados a serem apresentados gráficos em função da posição do veículo Deslocamento vibratório do CG do veículo Velocidade vibratória do CG do veículo Aceleração vibratória do CG do veículo Deslocamento angular de rolagem veículo Deslocamento angular de arfagem do veículo Força transmitida em cada mola da suspensão em um único gráfico Utilizar rigidez equivalente para suspensão Utilizar como excitação de base um quebramolas padronização CONTRAN Considerar uma velocidade constante para o veículo entre 10 e 30 kmh Faça as hipóteses ou considerações que julgar necessárias Observações 1 Os trabalhos deverão ser realizados por grupos de no máximo 2 alunos 2 Todos os grupos devem apresentar um relatório onde serão destacados os seguintes tópicos Introdução Equacionamento Resultados da Simulação Comentários Finais e Anexos 3 Os relatórios em arquivo pdf deverão ser encaminhados para o email fernandosilvacefetrjbr SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 3 11 Objetivo 4 2 MODELAGEM MATEMÁTICA 5 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA 7 31 Parâmetros 7 32 Resultados 7 33 Análise do resultados 7 4 CONCLUSÃO 12 REFERÊNCIAS 13 ANEXOS 15 ANEXO A CÓDIGOS IMPLEMENTADOS NO MATLAB 16 A1 Código Principal 16 2 MODELAGEM MATEMÁTICA De acordo com JAZAR 2017 e GILLESPIE 1992 a forma mais simples de se obter as equações de movimento de um veículo é através da utilização da Equação de Lagrange Dentro deste contexto é possível obter as equações de movimento através da construção da energia cinética potencial e da energia dissipada nos amortecedores Assumindo a hipótese de pequenos deslocamentos angulares serão pequenos essas energias estão expostos nas Equações 21 22 e 23 T 12 mv ẋv2 12 Iy θ2 12 Ix φ2 21 v 12 Kf xv a1θ b1φ y12 12 Kf xv b2φ a1θ y22 12 Kr xv b1φ a2θ y32 12 Kr xv b2φ a2 y4θ2 22 D 12 Cf ẋv a1θ b1 φ y12 12 Cf ẋv a1θ b2φ y22 12 Cr ẋv b1φ a2θ y32 12 Cr ẋv b2φ a2θ y42 23 Aplicando esses funcionais na equação para cada coordenada generalizada do sistema nas Equações 24 e 25 são obtidas as equações de movimento que podem ser expressas na forma matricial conforme as Equações 26 27 28 29 e 210 L T V 24 ddt q L q L q D 0 25 M ẍ φ θT K x φ θT C ẋ φ θT F y1 y1 y2 y2 y3 y3 y4 y4T 26 M mv 0 0 0 Ix 0 0 0 Iy 27 K 2Kf 2Kr b1Kf b2Kf b1Kr b2Kr 2a2Kr 2a1Kf b1Kf b2Kf b1Kr b2Kr b2 1 Kf b2 2 Kf b2 1 Kr b2 2 Kr a1 b2 Kf a1 b1 Kr a2 b1 Kr a2 b2 Kr 2a2 Kr 2a1 Kf a1 b2 Kf a1 b1 Kr a2 b1 Kr a2 b2 Kr 2Kf a21 2Cr a22 28 3 1 INTRODUÇÃO O projeto da suspensão de um veículo é de fundamental importância para o conforto dos passageiros que utilizarão Além do conforto esse subsistema é o responsável principalmente no caso dos veículos pesados na estabilidade da carga a ser transportada ou da execução de uma tarefa Portanto uma suspensão eficiente deve ser capaz de atenuar as perturbações de base provenientes da pista por onde o veículo irá trafegar de tal forma que o veículo se desloque e rotacione ao redor do seu centro de massa de modo a não causar desconforto aos passageiros e a carga Analisandose a geometria de uma suspensão e seu acoplamento com o chassi do veículo percebese que o problema alcança um grau de complexidade elevado e também um número alto de graus de liberdade Em JAZAR 2017 podese encontrar um modelo esquemático de um veículo levando em consideração 7 graus de liberdade conforme exposto na Figura 1 através da qual se verifica a complexidade do mesmo o que pode ser desvantajoso em termos computacionais gerando soluções custosas e complexas Visando diminuir o esforço computacional e simplificar a análise dos resultados podem ser aplicadas hipóteses simplificadoras que simplificam a geometria do problema sem restringir em demasia a aplicabilidade dos mesmos sendo válidas para a grande maioria das situações sendo um desses modelos o de bicicleta ou meiocarro com 2 graus de liberdade por exemplo Esse modelo permite estudar a dinâmica vertical de um veículo sujeito a perturba ções de base tendo como hipóteses a simetria do problema em relação ao plano que contém a vertical e a direção de deslocamento tanto em relação às perturbações os produtos de Figura 1 Modelo de carro completo com 7 graus de liberdade extraído de JAZAR 2017 4 Capítulo 1 Introdução Figura 2 Esquema representativo do modelo em análise inércia são nulos e o veículo se desloca somente em linha reta O presente trabalho utilizará um modelo que leva em consideração 3 graus de liberdade para o veículo incluindo no modelo de bicicleta a segunda rotação de interesse no estudo da dinâmica vertical de um veículo Como o veículo não é mais um retângulo e sim um paralelepípedo o mesmo não necessariamente necessita andar em uma direção constante o que permite que as rodas ou o chassi seja perturbado de forma independente nos quatro pontos de contata com a pista 11 Objetivo O objetivo deste trabalho é com o auxílio de modelo dinâmico de simplificado com 3 graus de liberdade analisar seu comportamento do mesmo ao transpor uma lombada conforme descrito na Figura 2 com a implementação do modelo no software MATLAB para solução numérica do sistema de equações diferenciais do mesmo Essa análise será composta da observação dos seguintes parâmetros deslocamento velocidade e aceleração do centro de massa do veículo x x e x deslocamentos angulares do centro de massa do veículo θ e φ frequência natural do veículo em Hz para o veículo trafegando com velocidade de 15 kmh 6 Capítulo 2 Modelagem matemática C 2Cf 2Cr b1Cf b2Cf b1Cr b2Cr 2a2Cr 2a1Cf b1Cf b2Cf b1Cr b2Cr b2 1Cf b2 2Cf b2 1Cr b2 2Cr a1b2Cf a1b1Cf a2b1Cr a2b2Cr 2a2Cr 2a1Cf a1b2Cf a1b1Cf a2b1Cr a2b2Cr 2Cfa2 1 2Cra2 2 29 F Kf Cf Kf Cf Kr Cr Kr Cr b1Kf b1Cf b2Kf b2Cf b1Kr b1Cr b2KR b2Cr a1Kf a1Cf a1Kf a1Cf a2Kr a2Cr a2Kr a2Cr 210 As perturbações de base são definidas por ypt r y0 2 1 cos ωt ti se t t0 t1 0 cc 211 ω 2πv d 212 sendo t0 d0 v o instante em que veículo aborda o veículo e t1 d0d v é o momento em que o contato se encerra sendo d0 a distância inicial entre o veículo e o obstáculo d o comprimento do obstáculo e v a velocidade do veículo e r o raio da roda Cabe ressaltar que o instante em que as rodas são afetadas são defasados em relação ao instante em que as rodas traseiras são afetadas de um ti conforme e Já a frequência ω da perturbação de base é calculada de acordo como ω 2πv d t1 d0 vcosθ 213 t2 d0 a1 a2cosθ vcosθ 214 t3 d0 b1 b2sinθ vcosθ 215 t4 d0 a1 a2cosθ b1 b2sinθ vcosθ 216 As frequências naturais do sistema são a raiz quadrada dos autovalores da matriz M 1K sendo em número igual ao de graus de liberdade do sistema 7 3 SOLUÇÃO NUMÉRICA 31 Parâmetros As simulações foram realizadas com base nos parâmetros apresentados em JAZAR 2017 estando expostos na Tabela 1 Tabela 1 Parâmetros utilizados Parâmetro Valor Parâmetro Valor m 1500 Kg Ix 235 Kgm2 Iy 830 Kgm2 Kf 20600 Nm Kr 15200 Nm Cf 1570 Nsm Cr 1260 Nsm a1 0958m a2 1377 m b1 136 m b2 136 m v 15kmh Com base nos dados expostos o modelo foi implementado e resolvido com o software MATLAB com um tempo de simulação foi de 18s supondo que obstáculo está a d0 d1 50m do início da trajetória que o mesmo possui largura d 15m altura y0 8cm e o veículo trafega com v 15kmh 32 Resultados Os resultados obtidos estão expostos nas Figuras 3 4 5 6 7 e 8 As frequências naturais do sistema são calculadas como a raiz quadrada dos autovalores da matriz M 1K logo ω 6 904 10 7272 237389 rads 31 33 Análise do resultados Observandose os gráficos de deslocamento velocidade e aceleração vertical podese perceber em todos os instantes de abordagem da lombada tanto pelas rodas dianteiras como pelas rodas traseiras com um segundo pico no decorrer do processo de atenuação das vibrações Além disso percebese que o veículo deslocase de aproximadamente 25cm com um pico de velocidade de 01ms e com aceleração máxima de 1ms2 o que são valores baixos proporcionando assim conforto ao transpor o obstáculo Ainda sobre estes 8 Capítulo 3 Solução numérica 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tempo s 03 025 02 015 01 005 0 Deslocamento Vertical do veículo m Deslocamento vertical do centro de massa do veículo Figura 3 Deslocamento vertical do centro de massa do veículo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tempo s 1 05 0 05 Velocidade vertical do centro de massa do veículo ms Velocidade vertical do centro de massa do veículo Figura 4 Velocidade vertical do centro de massa do veículo 33 Análise do resultados 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tempo s 10 5 0 5 Aceleração vertical do veículo ms2 Aceleração vertical do centro de gravidade veículo Figura 5 Aceleração vertical do centro de massa do veículo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tempo s 1 05 0 05 1 15 2 Ângulo º Ângulo de arfagem Figura 6 Movimento de arfagem ao redor do centro de massa do veículo 10 Capítulo 3 Solução numérica 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tempo s 15 1 05 0 05 1 15 Ângulo º Ângulo de rolagem Figura 7 Movimento de rolagem ao redor do centro de massa do veículo 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Tempo s 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Força N Força nas molas do veículo Diant Dir Diant Esq Tras Dir Tras Esq Figura 8 Forças nas molas do veículo 33 Análise do resultados 11 dados podese perceber que a suspensão e o ângulo de abordagem ao obstáculo fizeram com que mesmo o obstáculo possuindo 8cm de altura o veículo se deslocasse verticalmente de 25cm sendo assim atenuada a perturbação de base Avaliando o deslocamento angular percebese que com exceção a um pico na abordagem da roda dianteira os ângulos permanecem pequenos ratificando as hipóteses assumidas na construção do modelo sendo importante ressaltar que os valores obtidos estão abaixo do limite para o qual as hipóteses assumidas são razoáveis Da mesma forma que para os gráficos de deslocamento velocidade e aceleração o comportamento é similar atenuando os efeitos causados pelas perturbações como um sistema superamortecido não apresentando resposta oscilatória Em relação ao gráfico das forças percebese que as mesmas apresentam uma magnitude na ordem de 103N o que condiz com a ordem de grandeza dos deslocamentos e das constantes de rigidez empregados Porém percebese que os esforços na suspensão traseira são muito inferiores do que os da dianteira devido principalmente a diferença entre a rigidez e amortecimento das suspensões Ao se observar as frequências naturais do sistema e a frequência da perturbação ω 1745rads podemos afirmar que não há risco de ressonância ou batimento pois a frequência da perturbação é maior que a maior das frequências naturais do sistema 4 CONCLUSÃO Portanto podese concluir que o modelo implementado apresenta resultados coeren tes e aceitáveis possibilitando afirmar que a suspensão projetada proporcionaria a conforto aos passageiros Porém constatase que há melhorias a serem implementadas nos modelos para que a simulação seja mais representativa da realidade como o desacoplamento do veículo com o solo permitindo saltos do mesmo Também cabe ressaltar que o modelo apresenta fácil implementação e baixo custo computacional ratificando a vantagem de utilização desse modelo na análise da ergonomia de um veículo mesmo com as suas limitações e hipóteses simplificadoras 13 REFERÊNCIAS GILLESPIE T D Fundamentals os vehicle dynamics Soceity of Automotive Engineers Inc 1992 tm Citado na página 5 JAZAR R N Vehicle dynamics Springer 2017 tm Citado 3 vezes nas páginas 3 5 e 7 Anexos ANEXO A CÓDIGOS IMPLEMENTADOS NO MATLAB A1 Código Principal clear all clc D e f i n i o dos p a r m e t r o s vel 2036 ms velocidade em metros por segundo m 1500 Kg Ix 235 Iy 830 kf 20600 Nm kr 15200 Nm cf 1570 Nsm cr 1260 Nsm a1 0958 a2 1377 b1 136 b2 136 g981 M m 0 00 Ix 00 0 Iy K 2kf2kr kfb1 kfb2 krb1krb2 2kfa12kra2 kfb1 kfb2 krb1krb2 b12kfb22kfb12krb22kr a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2kfa12kra2 a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2 a12kf2a22kr C 2cf2cr b1cf b2cf b1crb2cr 2a1cf2a2cr b1cf b2cf b1crb2cr b12cfb22cfb12crb22cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1cf2a2cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1 2cf2a22cr A1kf kf kr krb1kf b2kf b1kr b2kra1kf a1kf a2kr a2kr A2cf cf cr crb1cf b2cf b1cr b2cra1cf a1cf a2cr a2cr A1 Código Principal 17 g981 S o l u o do problema ty ode45 eqcarrocomp 0 18 000000 s o l u o da e q u a a o diferencial no intervalo de t0 a tt210s figure 1 plotty2 grid xlabelTempo s ylabel Deslocamento Vertical do v e c u l o m titleDeslocamento vertical do centro de massa do v e c u l o printxdepsc figure 2 plotty1 grid xlabelTempo s ylabel Velocidade vertical do centro de massa do v e c u l o ms titleVelocidade vertical do centro de massa do v e c u l o printxpdepsc for i11 lengtht th deg2rad 30 y1 y2 y3 y4 y1p y2p y3p y4p pistativel a1 a2 b1 b2 th qp yi1yi3yi5 q yi2yi4yi6 qpp M1KqM1Cqp M1mg00M1A1y1y2 y3y4M1A2y1py2py3py4p Ai qpp 1 Fmdei kfyi2y1b1yi4a1yi6 Fmddi kfyi2y2 b2yi4a1yi6 Fmtei kryi2y3 b1yi4a2yi6 Fmtdi kryi2y4b2yi4a2yi6 end figure 3 plottA 18 ANEXO A Códigos implementados no MATLAB grid xlabelTempo s ylabel A c e l e r a o vertical do v e c u l o ms2 title A c e l e r a o vertical do centro de gravidade v e c u l o printxppdepsc figure 4 plottrad2degy4 grid xlabelTempo s ylabel ngulo title ngulo de rolagem printroldepsc figure 5 plottrad2degy6 grid xlabelTempo s ylabel ngulo title ngulo de arfagem printarfdepsc figure 6 plottFmdd tFmde tFmtd tFmte legendDiant DirDiant EsqTras DirTras Esq grid xlabelTempo s ylabel F o r a N title F o r a nas molas do v e c u l o printFmoldepsc C l c u l o das f r e q u n c i a s naturais omg eigM1K frequencias naturais em rads omgsqrtomg function dydx eqcarrocomptx A1 Código Principal 19 D e f i n i o dos p a r m e t r o s vel 1536 ms velocidade em metros por segundo m 1500 Kg Ix 235 Iy 830 kf 20600 Nm kr 15200 Nm cf 1570 Nsm cr 1260 Nsm a1 0958 a2 1377 b1 136 b2 136 g981 th deg2rad 30 y1 y2 y3 y4 y1p y2p y3p y4p pistatvel a1 a2 b1 b2 th M m 0 00 Ix 00 0 Iy K 2kf2kr kfb1 kfb2 krb1krb2 2kfa12kra2 kfb1 kfb2 krb1krb2 b12kfb22kfb12krb22kr a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2kfa12kra2 a1b1kfa1b2kf a2b1kra2b2kr 2 a12kf2a22kr C 2cf2cr b1cf b2cf b1crb2cr 2a1cf2a2cr b1cf b2cf b1crb2cr b12cfb22cfb12crb22cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1cf2a2cr a1b1cfa1b2cf a2b1cra2b2cr 2a1 2cf2a22cr A1kf kf kr krb1kf b2kf b1kr b2kra1kf a1kf a2kr a2kr A2cf cf cr crb1cf b2cf b1cr b2cra1cf a1cf a2cr a2cr qp x1x3x5 q x2x4x6 qpp M1KqM1Cqp M1mg00M1A1y1y2y3y4 M1A2y1py2py3py4p dydx 1 qpp 1 dydx 2 x1 dydx 3 qpp 2 dydx 4 x3 20 ANEXO A Códigos implementados no MATLAB dydx 5 qpp 3 dydx 6 x5 dydxdydx function y1 y2 y3 y4 y1p y2p y3p y4p pistatvel a1 a2 b1 b2 th Altura dos degraus d 15 m comprimento do o b s t c u l o y0 008 m altura do o b s t c u l o v velcosth w 2pivd Velocidade do veiculo d0 50 m d i s t n c i a inicial entre o v e c u l o e o o b s t c u l o d1 d0 m d i s t n c i a entre o pneu dianteiro direito e o o b s t c u l o d2 d1a1a2costh m d i s t n c i a entre o pneu dianteiro esquerdo e o o b s t c u l o d3 d1b1b2sinth m d i s t n c i a entre o pneu traseiro direito e o o b s t c u l o d4 d3a1a2costh m d i s t n c i a entre o pneu dianteiro esquerdo e o o b s t c u l o Tempos referentes as m u d a n a s de pista t1 d1v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado direito roda dianteira t1f d1d2v instante de afastamento t2 d2v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado esquerdo t2f d2d2v instante de afastamento t3 d3v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado direito roda traseira t3f d3d2v instante de afastamento t4 d4v s tempo para chegar no o b s t c u l o do lado esquerdo roda traseira t4f d4d2v instante de afastamento D e f i n i a o da pista y10 y20 y30 A1 Código Principal 21 y40 y1p 0 y2p 0 y3p 0 y4p 0 D e f i n i a o da pista if t t1 tt1f y1 y021 coswtt1 y1p y0w2 sinwtt1 end if t t2 tt2f y2 y021 coswtt2 y2p y0w2 sinwtt2 end if t t3 tt3f y3 y021 coswtt3 y3p y0w2 sinwtt3 end if t t4 tt4f y4 y021 coswtt4 y4p y0w2 sinwtt4 end