Vibrações Mecanicas

Vibrações Mecânicas 20242 Tarefa 1 Lagrange Isolação 1 Usando a formulação de Lagrange determine a equação do movimento dos sistemas abaixo Resolva os exercícios atribuídos conforme tabela abaixo Nº1 Alberto Fernando Isabela Mateus Nº2 Anderson Gabriel João Pedro Paulo Nº3 André Guilherme Juliana Pedro Wesley Nº4 Alberto Gabriel Juliana Isabela Wesley Nº5 Fernando Anderson André Mateus Nº6 João Pedro Paulo Guilherme Pedro Os elementos de inércia elasticidade e dissipação do sistema massa mola amortecedor equivalente serão informados para cada sistema estudado O programa mostrado em sala de aula pode ser usado para encontrar a equação de Lagrange a partir das energias Premissas Todos os sólidos são perfeitamente rígidos e com distribuição de massa homogênea Não há atrito nas junções pinadas Para elementos rolando em cima de uma superfície considerar que não há deslizamento Nº1 Zt é um movimento prescrito como no caso da excitação pela base por exemplo Inércia da barra em torno do centro de gravidade 𝐼𝐺 𝑚𝐿2 12 Nº2 Polia de momento de inércia 𝐼𝑂 e massa 𝑀 em torno do ponto 𝑂 A corda não desliza sobre a polia 𝐼𝑂 𝑀𝑅2 2 Nº3 Disco de massa 𝑚 e momento de inércia em torno do centro de gravidade 𝐼𝐶 𝑚𝑅2 2 Nº4 Disco de massa 4𝑚1 e inércia de rotação 𝐼𝐺 𝑚𝑙2 2 Massa pontual de massa 𝑚1 e outra de massa 𝑚2 A massa da barra de comprimento 2𝑙 e da corda não são consideradas No equilíbrio a barra está horizontal Nº5 Disco de massa 2𝑚 momento de inércia 𝐼𝐺 2𝑚𝑙2 12 Massas pontuais de massa 𝑚 A massa das barras e da corda não são consideradas Em repouso a barra de comprimento 4𝑙 está horizontal e a barra de comprimento 2𝑙 vertical Nº6 Disco de massa 𝑚1 e momento de inércia 𝐼𝐺 𝑚1𝑟2 12 Barra EC sem massa e barra AD de massa 𝑚2 Pode ser considero que a barra EC se mantem horizontal 2 Isolação em vibrações Mediuse que quando uma máquina de 𝑚 100 𝑘𝑔 girando a Ω 1200 𝑟𝑝𝑚 é montada diretamente sobre o chão uma força 𝐹𝑇 180 𝑁 é transmitida no chão Foi decidido que a máquina deve ser isolada do chão tal que a magnitude do movimento da máquina seja menor ou igual a 2 mm e que a transmissão de força seja de 10 ou menos Determine a rigidez da mola do sistema de isolamento 𝑘 e a constante de amortecimento 𝑐 I Esboce uma representação do sistema estudado informando as variáveis e constantes do problema II Escreva sem demostrar nem provar as expressões matemáticas que devem ser usadas para determinar a amplitude de oscilação da máquina 𝑋𝑚r e da taxa de transmição de forças 𝑇𝑟𝑟 onde 𝑟 Ω 𝜔0 e 𝜔0 é a frequência angular natural de oscilação do sistema III Usando a respresentação gráfica da taxa de transmissão em função de 𝑟 Ω 𝜔0 escolhe um valor de 𝜉 003 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 e identifique o valor de 𝑟 para que 𝑇𝑅 10 Aplicação gráfica 𝜉 𝐸 httpswwwdesmoscomcalculatoror6xxctvxh IV Calcule então a partir do valor de 𝑟 associado a 𝑇𝑅 10 a frequência natural máxima que o sistema deve ter Deduza o valor de 𝑘 associado Finalmente calcule o valor do coeficiente de amortecimento 𝑐 V Determine então a magnitude de oscilação 𝑋𝑚𝑟 da máquina quando Ω 1200 𝑟𝑝𝑚 O objetivo foi alcançado Comente os resultados em função por exemplo do impacto no valor de 𝑟 nas amplitudes na ressonância na resposta de 𝑋𝑚𝑟 Momentos de inércia httpsptwikipediaorgwikiListademomentosdeinC3A9 rcia Trabalho Vibrações Mecânicas 1 Usando a formulação de Lagrange determine a equação do movimento do sistema abaixo Por meio do sistema acima podemos descrever o sistema por meio de apenas 1 graus de liberdade xt Existe uma força de atrito Fat conforme indicado no desenho acima O deslocamento angular θ mostrado na figura acima pode ser escrito em função de u t como x t Rθ Em relação à velocidade θ x R A energia cinética total do sistema será dada por T1 2 I G θ 2 1 2 m x 21 2 m R 2 2 x R 2 1 2 m x 2 T3 4 m x 2 E a energia potencial do sistema será V1 2 k x 2 E a função de dissipação de Rayleigh será R1 2 c x 2 Logo o lagrangiano será dado por LTV 3 4 m x 21 2 k x 2 Para a coordenada generalizada qx L x 3 2 m x d dt L x3 2 m x L x kx R x c x Fat θ QFat rf x 0adistância de aplicaçãodaforçaé constante Assim a equação do movimento será dada por 3 2 m xc xkx0 1 Usando a formulação de Lagrange determine a equação do movimento do sistema abaixo Por meio do sistema acima podemos descrever o sistema por meio de 1 graus de liberdade u t Os ângulos φ e θ podem ser escritos em função do grau de liberdade u como φ u R senθ2u L Para pequenos ângulos sen θθ logo θ2u L Em termos de velocidade φ u R θ2u L Para escrever a energia cinética do sistema foi considerado que o disco possui um momento de inércia de I Gdiscom1r 2 12 e que a barra AD possui um momento θ φ de inércia girando em torno de A de I AD1 3 m2L 2 Lembrando que a massa da barra EC são desconsideradas a energia cinética total do sistema será dada por T1 2 m1 u1 2 1 2 I G disco φ 2 1 2 m2 u 2 1 2 I AD θ 2 T1 2 m1 u1 2 1 2 m1r 2 12 u r 2 1 2 m2 u 2 1 2 1 3 m2L 2 2 u L 2 T13 24 m1 u 27 6 m2 u 2 E a energia potencial do sistema será V1 2 k1u 2 1 2 k 2Lθ 21 2 k1u 2 1 2 k 2 L 2u L 2 V1 2 k1u 22k2u 2 E a função de dissipação de Rayleigh será R1 2 c L 4 θ 2 1 2 c L 4 2 u L 2 1 8 c u 2 Logo o lagrangiano será dado por LTV 13 24 m1 u 2 7 6 m2 u 2 1 2 k 1u 22k2u 2 Para a coordenada generalizada qu L u 13 12 m17 3 m2 u d dt L u 13 12 m1 7 3 m2 u L u k14k2u R u 1 4 c uQFat rf φ 0 Assim a equação do movimento será dada por 13 12 m17 3 m2 u 1 4 c uk 14k 2u0 2 Isolação em Vibrações I e II Na figura abaixo temos uma ilustração do sistema Temse uma máquina operando a Ω1200rpm12566 rad s de massa m100kg transmitindo uma força para o chão de FT180 N Devese dimensionar um sistema de isolamento com amortecimento e rigidez para que a magnitude de deslocamento da máquina X m seja menor ou igual a 2 mm de tal forma que a transmissão de força T f seja menor ou igual a 10 para o chão A força transmitida da máquina para o chão é estimada por FTXmk 2Ωc 2 De tal forma que a transmissibilidade da força possa ser calculada como T fFT F0 12ξr 2 1r 2 22ξr 2 12 No qual r Ω ω0 sendo ω0 k ma frequência natural e ξ é o fator de amortecimento sendo neste caso adotado comoξ0 033009 A amplitude de oscilação da máquina pode ser descrita em função dos parâmetros do isolamento k e c e da força gerada pela máquina F0 sendo X F0 km Ω 2 2Ωc 2 1 2 F0 k 1r 2 22ξr 2 1 2 Onde k é a rigidez do isolamento c é a constante de amortecimento do isolamento sendo este último definido por c2ξm ω0 III Utilizando o software desmos e ao considera o fator de amortecimento de ξ009 foi possível obter um gráfico da transmissibilidade de força T r em Isolamento Máquina Chão Isolamento X m FF0cos Ωt relação ao r Note que uma linha para uma transmissibilidade de força de 10 T r0 1 também foi inserida no gráfico com o intuito de facilitar a identificação do valor de r no qual T r10 Para valores a partir de aproximadamente r359 a transmissibilidade é menor que 10 IV Conforme já informado acima o parâmetro r é dada pela razão da frequência de operação da máquina em relação à sua frequência natural assim r Ω ω0 ω0Ω r 125 66 359 ω035 rad s Então da definição da frequência natural é possível obter a rigidez do sistema de isolamento ω0 k m km ω0 2100 35 2 k1225 kN m Assim o coeficiente de amortecimento do sistema de isolamento é dado por c2ξm ω0200 910035 c63005 N s m V Com base na equação que relaciona o deslocamento da máquina X m e a força transmitida da máquina ao chão FT é possível verificar se a máquina possuirá um deslocamento menor que 2 mm para o conjunto de rigidez e amortecimento selecionados FTXmk 2Ωc 2 X m FT k 2Ω c 2 180 122510 3 2125 6663005 2 Xm1234 10 3m1234 mm Podese notar com o conjunto de rigidez e amortecimento selecionados que a máquina apresentou um deslocamento máximo de 1234 mm ou seja X m2mm Além disso a força transmitida da máquina ao chão foi de aproximadamente 10 Portanto podese afirmar que os requisitos de isolamento da máquina do chão foram atingidos conforme pedido pelo enunciado