Atividade Avaliativa - Cálculo II 2022/2

if Centro Federal de Educagao Tecnoldégica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo a CAlculo II 20222 CEFETRJ Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 2 Nome CE ntregar até 01112022 1 Encontre uma parametrizacao para a reta que a contém os pontos 1 1 e 3 4 b é paralela ao vetor U 25 e que contém o ponto 2 1 c é a intersecao dos planos 7 y z3e 2xy2z6 d passa pelos pontos 00 2 e 3 21 nos instantes de tempo t 0 e t 1 respectivamente 2 Mostre que as fungdes at 4 4t 2t e Gt 24 4t 1 2t sao parametrizacoes diferentes da mesma curva 3 Calcule os valores de a e b tais que a fungao at atb4t3 set1 2t32atb set 1 seja continua 4 Sejam f R RegR R as funcoes vetoriais definidas por ft tt 2 e gt 3tt Calcule a fungao produto vetorial f x g 5 Calcule os seguintes limites a Ii t 2t3 a lim toto 1 f244 t 2 V2 ot b lim 4 tov2 J2 ts 22 P1 t1 tg xrt1 c him Gp t1 6 A aceleracao de uma particula em movimento no instante t 0 e dada por dut at a 10 sen 37 2cos3tjPK Sabendo que v0 0 e que s0 0 determine a velocidade e a posicéo da particula 7 Uma particula de massa m descreve um movimento circular uniforme sobre o circulo de raio 1 e centro na origem A equacao da aceleracao do movimento é at 4r cos 2nt sen 2rt Sabendo que v0 027 e que s0 10 mostre que a velocidade é ortogonal a posigao e que a aceleragao tem a mesma diregao que a posigao mas aponta no sentido contrario que esta Calcule o impulso da forcga centripeta F md atuando na particula nos intervalos de tempo 0 12 0 1 e 0 2 8 Determine o vetor posigaéo r rt de uma particula no espago sabendo que a sua aceleracgao a sua velocidade inicial e a sua posicao inicial sao dadas respectivamente por at tee v0 00 1 e r0 01 1 9 Considere a curva de expressio at V2t e e 1 a Mostre que o vetor tangente a curva é dado por Tt al V2e ee 1 e b Determine a curvatura de at em t 0 10 Seja C a curva obtida pela intersecdo das superficies S e Sz dadas por 3x 222 ONe y 2 0 respectivamente Nessas condicoes a Encontre uma parametrizacao para C b Encontre a equagao vetorial da reta tangente 4 curva C que passa pelo ponto P 189 3 c Calcule o comprimento de C da origem até o ponto P 1893 11 Considere a funcgdo vetorial r A R 1 2A2 A R e seja C o circulo centrado na origem que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r Encontre uma parametrizacao de C 12 Seja C a curva obtida pela intersecao do paraboloide eliptico z 2 y com o plano z 1 a Encontre uma parametrizacao para a curva C b Encontre a equagao vetorial da reta tangente 4 curva C que passa pelo ponto P 01 1 13 Considere a curva at t4v3 2 com 0t 1 a Determine 0 comprimento de at b Determine a equacao cartesiana de at 14 Seja C a curva de intersecdo da semiesfera x y 2 4 com z 0 e 0 cilindro x y 2y a Encontre uma parametrizacao para a curva C b Determine a equacao da reta tangente a C que é paralela a reta L i 1244 1 5 rer LY 2 9 t e y V2 c Utilizando a parametrizagao obtida no item a determine os pontos de C mais préximos e mais distantes do ponto 10 0 15 As equagdes paramétricas da trajetéria de um cometa sao dadas em funcgaéo do tempo por xt 200cost e yt 10sent Ot 2r a Calcule a curvatura da 6rbita em um ponto qualquer da mesma b Encontre os pontos de maximo e minimo da curvatura Sugestéo O maximo da curvatura k é o minimo do raio da curvatura 1k 16 Considere a funcao f A C R R definida por fxy Ina y xy EA 2 a Identifique o dominio A de f b Encontre a curva de nivel de f que contém o ponto P 10 c Seja C a curva parametrizada pela funcgao vetorial a R R definida por ebtet ebet at teR o S55 Mostre que C esta contida em uma curva de nivel de f identificandoa 17 Uma chapa plana de metal esta localizada no plano xy de modo que a temperatura Tx y em C no ponto Px y é inversamente proporcional a distancia de P a origem a Determine os pontos onde a temperatura é constante ou seja as curvas de nivel onde Tx y k b Se atemperatura no ponto 43 é de 40C determine a equacaéo da curva em que a temperatura é constante igual a 20C 3