Lista de Exercícios Resolvidos Calculo II - Sequências Series Funções e Integrais

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 1 Nome Entregar até 17102022 1 Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir determine o seu limite a 656n d 100nn g 3n312n32 j 1n1 3nn24n5 b 1n ln nn e n1n h 7 4n23 2n2 k 1 anna R c 4n412n2 1 f n 1 n i 2n 13n 1n31 l nnn 2 Seja f uma função contínua e seja a um ponto qualquer de seu domínio Defina a sequência a1 a a2 fa a3 fa2 an1 fan a Mostre que se lim an L então fL L Por esse motivo o número L é chamado ponto fixo de f b Encontre uma aproximação com 5 casas decimais para a solução da equação cos x x Sugestão Use o exercício anterior tomando fx cos x e a 1 3 Estude a convergência das seguintes séries a n1 n2n e n1 nn1 n2 i n1 1n22n3 m n1 nn1 n2 b n1 110n f n1 nn21 j n1 1n log n n n1 cos2n1π4 3n c n1 n1n g n1 1n21 k n1 n3n22n5 o n1 1n1 1n1 d n1 1n6 h n1 n1n23 l n1 sen n4n p k1 1kkk1 4 Mostre que 1 12 13 1n Logn 1 12 13 1n1 5 Determine a soma da série 1123 1234 1nn 1n 2 6 Sendo x 1 determine a soma da série x 2x2 nxn 7 Mostre que se α R e α 1 então n0 1αn αα 1 Sugestão Use que 1 xn1 1 x1 x xn1 xn para todos n N e x R 1 8 Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente a n1 1n1 12n 12 c n1 1n 1log n b n1 1n1 1n 12n d n1 1n 1n 9 Determine os valores de x tais que as séries sejam convergentes a n0 xn2n d n0 102nxnk0n 2k 1 g n0 nkn xn b n1 1n1 xnn2 e n0 2n sen x3n h n1 nnn xn c n1 3n2 xn2 f n1 xnnn i n1 n22n xn 10 Desenvolva as funções em séries de potência em torno da origem isto é por potências de x a fx 1 x22 b fx cosx a a R c fx sen2 x d fx cos2 x e fx arctg x sugestão arctg x 0x dx1 x2 f fx 11 x2 11 Desenvolva as funções em séries de potência em torno de x 1 isto é por potências de x 1 a fx x3 2x2 5x 7 b fx log x 12 Calcule as integrais por meio de séries a 0x log1 xx dx b 0x arctgxx dx c cos xx dx d 0x dx1 x9 dx e 0a ln1 xx dx a 0 13 Prove que a sena x sen a cos x cos a sen x b cosa x cos a cos x sen a sen x Bons estudos Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 2 Nome Entregar até 01112022 1 Encontre uma parametrização para a reta que a contém os pontos 11 e 34 b é paralela ao vetor v 25 e que contém o ponto 21 c é a intersecção dos planos x y z 3 e 2x y 2z 6 d passa pelos pontos 002 e 321 nos instantes de tempo t 0 e t 1 respectivamente 2 Mostre que as funções αt 4 4t 2t e βt 2 4t 1 2t são parametrizações diferentes da mesma curva 3 Calcule os valores de a e b tais que a função αt at b 4t 3 se t 1 2t 3 2at2 b se t 1 seja contínua 4 Sejam f R R3 e g R R3 as funções vetoriais definidas por ft t t2 2 e gt 3 t t Calcule a função produto vetorial f g 5 Calcule os seguintes limites a limt tt2 1 2t 3t2 4 b limt2 t2 2t 2 e2 ett3 22 c limt1 t3 1t2 1 t 13t 1 tg πt 1t 1 6 A aceleração de uma partícula em movimento no instante t 0 e dada por at dvtdt 10 sen 3t i 2 cos 3t j t2 k Sabendo que v0 0 e que s0 0 determine a velocidade e a posição da partícula 7 Uma partícula de massa m descreve um movimento circular uniforme sobre o círculo de raio 1 e centro na origem A equação da aceleração do movimento é at 4π2 cos 2πt sen 2πt Sabendo que v0 0 2π e que s0 10 mostre que a velocidade é ortogonal à posição e que a aceleração tem a mesma direção que a posição mas aponta no sentido contrário que esta Calcule o impulso da força centrípeta F ma atuando na partícula nos intervalos de tempo 0 12 0 1 e 0 2 a Identifique o domínio A de f b Encontre a curva de nível de f que contém o ponto P 1 0 c Seja C a curva parametrizada pela função vetorial α ℝ ℝ² definida por αt et et2 et et2 t ℝ Mostre que C está contida em uma curva de nível de f identificandoa 17 Uma chapa plana de metal está localizada no plano xy de modo que a temperatura Tx y em C no ponto Px y é inversamente proporcional à distância de P à origem a Determine os pontos onde a temperatura é constante ou seja as curvas de nível onde Tx y k b Se a temperatura no ponto 4 3 é de 40ºC determine a equação da curva em que a temperatura é constante igual a 20ºC Determina o vetor posição r rt de uma partícula no espaço sabendo que a sua aceleração a sua velocidade inicial e a sua posição inicial são dadas respectivamente por at t et et v0 0 0 1 e r0 0 1 1 Considere a curva de expressão αt 2t et et a Mostre que o vetor tangente a curva é dado por Tt 1 e2t 1 2et e2t 1 b Determine a curvatura de αt em t 0 Seja C a curva obtida pela interseção das superfícies S₁ e S₂ dadas por 3x 2z³ 0 e y z² 0 respectivamente Nessas condições a Encontre uma parametrização para C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 18 9 3 c Calcule o comprimento de C da origem até o ponto P 18 9 3 Considere a função vetorial r λ ℝ 1 2λ 2 λ ℝ2 e seja C o círculo centrado na origem que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r Encontre uma parametrização de C Seja C a curva obtida pela interseção do paraboloide elíptico z x² y² com o plano z 1 a Encontre uma parametrização para a curva C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 0 1 1 Considere a curva αt t 4t³ 2 com 0 t 1 a Determine o comprimento de αt b Determine a equação cartesiana de αt Seja C a curva de interseção da semiesfera x² y² z² 4 com z 0 e o cilindro x² y² 2y a Encontre uma parametrização para a curva C b Determine a equação da reta tangente a C que é paralela à reta L x y z 1 2 t 1 t2 t ℝ c Utilizando a parametrização obtida no item a determine os pontos de C mais próximos e mais distantes do ponto 1 0 0 As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por xt 200cost e yt 10sent 0 t 2π a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma b Encontre os pontos de máximo e mínimo da curvatura Sugestão O máximo da curvatura k é o mínimo do raio da curvatura 1k Considere a função f A ℝ² ℝ definida por fx y lnx² y² x y A