Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo II - Sequências e Séries

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 1 Nome Entregar até 17102022 1 Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir determine o seu limite a 656n b 1n ln nn c 4n412n21 d 100n n e n1n f sqrtn1 sqrtn g 3n31 2n32 h 7 4n2 3 2n2 i 2n13n1 n31 j 1n1 3nn2 4n 5 k 1 ann a R l nnn 2 Seja f uma função contínua e seja a um ponto qualquer de seu domínio Defina a sequência a1 a a2 fa a3 fa2 an1 fan a Mostre que se lim an L então fL L Por esse motivo o número L é chamado ponto fixo de f b Encontre uma aproximação com 5 casas decimais para a solução da equação cos x x Sugestão Use o exercício anterior tomando fx cos x e a 1 3 Estude a convergência das seguintes séries a n1 n 2n b n1 1 sqrt10n c n1 n1n d n1 1 ³n 6 e n1 n n1 n2 f n1 n n21 g n1 1 n2 1 h n1 n1 n23 i n1 1 n22n3 j n1 1 n log n k n1 n3 n2 2n 5 l n1 sen n 4n m n1 n n1 n2 n n1 cos2n1 π 4 3n o n1 1n1 1n1 p k1 1k kk1 4 Mostre que 1 12 13 1n Logn1 12 13 1n1 5 Determine a soma da série 1123 1234 1nn1n2 6 Sendo x 1 determine a soma da série x 2x2 nxn 7 Mostre que se α R e α 1 então n0 1αn αα1 Sugestão Use que 1 xn1 1x1 x xn1 xn para todos n N e x R 1 8 Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente a n1 1n1 12n12 b n1 1n1 1n 12n c n1 1n 1log n d n1 1n 1⁵n 9 Determine os valores de x tais que as séries sejam convergentes a n0 xn2n b n1 1n1 xnn2 c n1 3n2 xn2 d n0 102n xnk0n 2k1 e n0 2n senx 3n f n1 xn n sqrtn g n1 nk n xn h n1 n nn xn i n1 n2 2n xn 10 Desenvolva as funções em séries de potência em torno da origem isto é por potências de x a fx 1 x22 b fx cosxa a R c fx sen2 x d fx cos2 x e fx arctg x sugestão arctg x 0x dx 1x2 f fx 11x2 11 Desenvolva as funções em séries de potência em torno de x 1 isto é por potências de x1 a fx x3 2x2 5x 7 b fx log x 12 Calcule as integrais por meio de séries a 0x log1xx dx b 0x arctgx x dx c cosxx dx d 0x dx 1x9 dx e 0a ln1xx dx a 0 13 Prove que a senax sen a cos x cos a sen x b cosax cos a cos x sen a sen x Bons estudos Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 2 Nome Entregar até 01112022 1 Encontre uma parametrização para a reta que a contém os pontos 1 1 e 3 4 b é paralela ao vetor v 2 5 e que contém o ponto 2 1 c é a interseção dos planos x y z 3 e 2x y 2z 6 d passa pelos pontos 0 0 2 e 3 2 1 nos instantes de tempo t0 e t1 respectivamente 2 Mostre que as funções αt 4 4t 2t e βt 2 4t 1 2t são parametrizações diferentes da mesma curva 3 Calcule os valores de a e b tais que a função αt at b 4t 3 se t 1 2t 3 2at2 b se t 1 seja contínua 4 Sejam f R R3 e g R R3 as funções vetoriais definidas por ft t t2 2 e gt 3 t t Calcule a função produto vetorial f g 5 Calcule os seguintes limites a limt t t2 1 2t3 sqrtt2 4 b limt2 t2 2 t 2 e2 et t3 22 c limt1 t3 1 t2 1 t 1 ³t 1 tg πt1 t1 6 A aceleração de uma partícula em movimento no instante t 0 é dada por at d v t dt 10 sen 3t i 2 cos 3t j t2 k Sabendo que v0 0 e que s0 0 determine a velocidade e a posição da partícula 7 Uma partícula de massa m descreve um movimento circular uniforme sobre o círculo de raio 1 e centro na origem A equação da aceleração do movimento é at 4π2 cos 2πt sen 2πt Sabendo que v0 0 2π e que s0 1 0 mostre que a velocidade é ortogonal à posição e que a aceleração tem a mesma direção que a posição mas aponta no sentido contrário que esta Calcule o impulso da força centrípeta F m a atuando na partícula nos intervalos de tempo 0 12 0 1 e 0 2 Cálculo II Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 3 Data de entrega 13122022 1 Seja fxy 4 2x² y² Determine e faça um esboço para a o domínio de f b a curva de nível k 1 de f c o gráfico de f 2 Calcule caso seja possível os seguintes limites E quando não existir justifique sua resposta a lim xyz430 x z y 1 x y z 1 b lim xy00 x y x y c lim xy00 cos x³ y³ x² y² 3 Seja fxy x³y xy³ x² y² se xy 00 0 se xy 00 a Calcule fxxy e fyxy para xy 00 b Calcule fx00 e fy00 c Verifique se f é contínua Justifique sua resposta d Verifique se f é diferenciável na origem Justifique sua resposta 4 Considere a função F R² R definida por fxy x³ 2y² 2x² y² se xy 00 0 se xy 00 a Determine se fxy é contínua em 00 b Calcule fxxy e fyxy para xy 00 c Calcule fx00 e fy00 5 Calcule todas as derivadas parciais de 1ª ordem para cada uma das seguintes funções a fxy y sen xy y 0 b fxy yx sentt dt x 0 e y 0 c fxy x² lnyx y² lnxy xy 0 8 Determine o vetor posição r rt de uma partícula no espaço sabendo que a sua aceleração a sua velocidade inicial e a sua posição inicial são dadas respectivamente por at t et et v0 001 e r0 011 9 Considere a curva de expressão αt 2t et et a Mostre que o vetor tangente a curva é dado por Tt 1e2t1 2 et e2t 1 b Determine a curvatura de αt em t0 10 Seja C a curva obtida pela interseção das superfícies S₁ e S₂ dadas por 3x 2z³ 0 e y z² 0 respectivamente Nessas condições a Encontre uma parametrização para C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 1893 c Calcule o comprimento de C da origem até o ponto P 1893 11 Considere a função vetorial r λ R 1 2λ 2λ R² e seja C o círculo centrado na origem que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r Encontre uma parametrização de C 12 Seja C a curva obtida pela interseção do paraboloide elíptico z x² y² com o plano z 1 a Encontre uma parametrização para a curva C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 011 13 Considere a curva αt t 4t³ 2 com 0 t 1 a Determine o comprimento de αt b Determine a equação cartesiana de αt 14 Seja C a curva de interseção da semiesfera x² y² z² 4 com z 0 e o cilindro x² y² 2y a Encontre uma parametrização para a curva C b Determine a equação da reta tangente a C que é paralela à reta L xyz 1 2 t 1 t2 t R c Utilizando a parametrização obtida no item a determine os pontos de C mais próximos e mais distantes do ponto 100 15 As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por xt 200cost e yt 10sent 0 t 2π a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma b Encontre os pontos de máximo e mínimo da curvatura Sugestão O máximo da curvatura k é o mínimo do raio da curvatura 1k 16 Considere a função f A R² R definida por fxy lnx² y² xy A a Identifique o domínio A de f b Encontre a curva de nível de f que contém o ponto P 10 c Seja C a curva parametrizada pela função vetorial α R R² definida por αt et et2 et et2 t R Mostre que C está contida em uma curva de nível de f identificandoa 17 Uma chapa plana de metal está localizada no plano xy de modo que a temperatura Txy em C no ponto Pxy é inversamente proporcional a distância de P à origem a Determine os pontos onde a temperatura é constante ou seja as curvas de nível onde Txy k b Se a temperatura no ponto 43 é de 40ºC determine a equação da curva em que a temperatura é constante igual a 20ºC Seja g R2 R uma função diferenciável e considere também a função h R2 R definida por huv gu2 v2 2u 3v Sabendo que gx 21 3 gy 21 4 calcule hu 11 e hv 11 Se guv fsenu cosv senu cosv onde f fxy é uma função diferenciável tal que f20 2 fx20 1 fy20 3 Calcule gu π4 π4 e gv π4 π4 Considere z fxy uma função de classe C² em R² Sabendo que x r² s² e y 2rs determine a zr e zs b ²zrs Mostre que qualquer função da forma z fx at gx at sendo f e g funções duas vezes diferenciáveis é uma solução da equação da onda ²zt² a² ²zx² Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 1 Nome Entregar até 17102022 1 Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir determine o seu limite a 656ⁿ b 1ⁿ n ln nn c 4n⁴12n²1 d 100ⁿn e n¹ⁿ f n1n g 3n³12n³2 h 74n²32n² i 2n13n1n³1 j 1ⁿ¹ 3nn²4n5 k 1 anⁿ a ℝ l nnⁿ 2 Seja f uma função contínua e seja a um ponto qualquer de seu domínio Defina a sequência a₁ a a₂ fa a₃ fa₂ aₙ₁ faₙ a Mostre que se lim aₙ L então fL L Por esse motivo o número L é chamado ponto fixo de f b Encontre uma aproximação com 5 casas decimais para a solução da equação cos x x Sugestão Use o exercício anterior tomando fx cos x e a 1 3 Estude a convergência das seguintes séries a ⁿ1 n2ⁿ b ⁿ1 110n c ⁿ1 n1n d ⁿ1 1³n6 e ⁿ1 nn1 n² f ⁿ1 nn²1 g ⁿ1 1n²1 h ⁿ1 n1n²3 i ⁿ1 1n²2n3 j ⁿ1 1n log n k ⁿ1 n3n²2n5 l ⁿ1 sen n4ⁿ m ⁿ1 nn1 n² n ⁿ1 cos2n1π43ⁿ o ⁿ1 1n1 1n1 p ⁿ1 1ᵏkk1 4 Mostre que 1 12 13 1n Logn1 12 13 1n1 5 Determine a soma da série 1123 1234 1nn1n2 6 Sendo x 1 determine a soma da série x 2x² n xⁿ 7 Mostre que se α ℝ e α 1 então ⁿ0 1αⁿ αα1 Sugestão Use que 1xⁿ¹ 1x1 x xⁿ¹ xⁿ para todos n ℕ e x ℝ1 Determine a a equação do plano tangente a x² y² 2z 0 no ponto 111 b a equação da reta normal a x² y² 2z 4 no ponto 222 c a derivada direcional da função fxyz x² y² 2z² no ponto 111 na direção do vetor 2 i j k d a derivada direcional da função fxyz x² y² 2z² no ponto 134 na direção do vetor tangente à curva αt t 3t²2 2 t⁴ no ponto t 1 e o plano tangente a fxy x³3 3x²2 y³3 4y 2x 5 no ponto 1152 8 Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente a ⁿ1 1ⁿ¹ 12n1² b ⁿ1 1ⁿ¹ 1n 12ⁿ c ⁿ1 1ⁿ 1log n d ⁿ1 1ⁿ 1⁵n 9 Determine os valores de x tais que as séries sejam convergentes a ⁿ0 xⁿ2ⁿ b ⁿ1 1ⁿ¹ xⁿn² c ⁿ1 3ⁿ² xⁿ² d ⁿ0 10²ⁿ xⁿₖ0ⁿ 2k1 e ⁿ0 2ⁿ sen x3ⁿ f ⁿ1 xⁿnn g ⁿ nᵏn xⁿ h ⁿ1 nnⁿ xⁿ i ⁿ1 n²2n xⁿ 10 Desenvolva as funções em séries de potência em torno da origem isto é por potências de x a fx 1 x²² b fx cosxa a ℝ c fx sen² x d fx cos² x e fx arctg x sugestão arctg x ₀ˣ dx1x² f fx 11x² 11 Desenvolva as funções em séries de potência em torno de x 1 isto é por potências de x1 a fx x³ 2x² 5x 7 b fx log x 12 Calcule as integrais por meio de séries a ₀ˣ log1xx dx b ₀ˣ arctgxx dx c cos xx dx d ₀ˣ dx1x⁹ dx e ₀ᵃ ln1xx dx a 0 13 Prove que a sen a x sen a cos x cos a sen x b cos a x cos a cos x sen a sen x Bons estudos Seja Txyz lnx² y² 2y z² Determine a o plano tangente à superfície de nível Txyz 0 no ponto 111 b Tu 111 sendo u o vetor unitário na direção e sentido do vetor 2 i 2 j k c a taxa máxima de crescimento de T no ponto 111 Problema 1 Resposta a Observe que 56 1 e assim temos que lim n 656ⁿ 0 b Observe que o termo geral é tal que lim n lnnn LHospital lim n 1n1 0 Assim o termo geral aₙ tende a zero c O limite a seguir se encaixa em em que podemos aplicar LHospital lim n 4n⁴12n²1 lim n 16n³4n lim n 4n² d Seja K 100¹⁰⁰100 um número que começaremos a avaliar Observe que 100¹⁰¹101 100101 K Posteriormente note que 100¹⁰²102 100102 100101 K 100101² K Vale por indução que 100¹⁰⁰ʳ100 r 100101ʳ K Portanto temos que 0 lim n 100¹⁰⁰ʳ100 r lim n 100101ʳ K 0 Pelo teorema do confronto converge e Esta sequencia é tal que 1¹ 2¹² 3¹³ Suponha que n¹ⁿ n 1¹n¹ Observe que n 1¹n¹ n 2¹n2 n 1n2 n 2n1 4 f Problema 2 Resposta a Como f é contínua temos que L lim n a n 1 lim n f a n f lim n a n f L Assim temos o que queríamos ou seja f L L b Defina a sequência a 0 1 a n cos a n 1 Assim temos que L cos L determina o valor L Basta resolver x cos x 0 com NewtonRaphson Problema 3 Resposta Problema 4 Resposta Para verificar isto basta observar que 1 1 2 1 ₙ 1 n 1 1 x d x ln n 1 Pois estas barras estão sobre o gráficos 1 x Por outro lado 1 n 1 1 x d x 1 2 1 n 1 Problema 5 Resposta Considere a série de potência 1 1 x 1 x x 2 x 3 Com três integrais temos ln 1 x x 1 2 x 2 1 3 x 3 5 Determine os pontos críticos das funções definidas nos itens a seguir e classifiqueos em máximo local mínimo local e ponto de sela a fxy 2y⁴ x² y² 2x 1 b fxy x³ 3xy² 15x 12y 4 c fxy x³ y³ 9x² 12y 24x d fxy x³3 3x²2 y³3 4y 2x 5 1 x ln 1 x x 1 1 2 x 2 1 2 3 x 3 1 3 4 x 4 1 2 1 x 2 ln 1 x 1 4 1 x 2 1 2 x 2 1 4 1 1 2 3 x 3 1 2 3 4 x 4 1 3 4 5 x 5 Pela última expressão 1 2 1 4 1 1 2 3 1 2 3 4 1 3 4 5 Problema 6 Resposta Observe que x 1 2 x 3 x 2 x 1 x x 2 x 3 x 1 1 x O resultado é que x 1 x 2 x 2 x 2 3 x 3 Problema 7 Resposta Sabemos que 1 1 1 α 1 1 α 1 α 2 que resulta em α α 1 1 1 α 1 α 2 Problema 8 Resposta a Problema 9 Resposta Problema 10 Resposta 6 A temperatura de uma chapa retangular determinada por x 0 y 0 x 10 e y 5 é dada por Txy x² 2y² 4 Determine a O ponto mais quente e o mais frio da placa a Assim vale que 1 1 x 1 x x2 x3 A derivada esta função é 1 1 x2 1 2x 3x2 Agora fazendo uma substituição x α2 1 1 α22 1 2α2 3α4 4α6 b 7 b O ponto mais quente e o mais frio da placa dentre os que estão situados na curva x²16 y²9 1 Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 2 Nome Entregar até 01112022 1 Encontre uma parametrização para a reta que a contém os pontos 11 e 34 b é paralela ao vetor v 25 e que contém o ponto 21 c é a interseção dos planos x y z 3 e 2x y 2z 6 d passa pelos pontos 002 e 321 nos instantes de tempo t 0 e t 1 respectivamente 2 Mostre que as funções α t 4 4t 2t e β t 2 4t 1 2t são parametrizações diferentes da mesma curva 3 Calcule os valores de a e b tais que a função α t at b 4t 3 se t 1 2t 3 2at² b se t 1 seja contínua 4 Sejam f ℝ ℝ³ e g ℝ ℝ³ as funções vetoriais definidas por f t t t² 2 e g t 3 t t Calcule a função produto vetorial f g 5 Calcule os seguintes limites a lim t t t² 1 2t 3 t² 4 b lim t 2 t² 2 t 2 e 2 e t t³ 2 2 c lim t1 t³ 1 t² 1 t 1 t 1 tg π t 1 t 1 6 A aceleração de uma partícula em movimento no instante t 0 e dada por a t d v t d t 10 sen 3t i 2 cos 3t j t² k Sabendo que v 0 0 e que s 0 0 determine a velocidade e a posição da partícula 7 Uma partícula de massa m descreve um movimento circular uniforme sobre o círculo de raio 1 e centro na origem A equação da aceleração do movimento é a t 4 π ² cos 2 π t sen 2 π t Sabendo que v 0 0 2 π e que s 0 1 0 mostre que a velocidade é ortogonal à posição e que a aceleração tem a mesma direção que a posição mas aponta no sentido contrário que esta Calcule o impulso da força centrípeta F m a atuando na partícula nos intervalos de tempo 0 1 2 0 1 e 0 2 A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela seguinte função fxyz 101 x² y² z² a Calcule a derivada direcional de f no ponto 101 na direção do vetor i j k b Um mosquito se encontra na posição 111 e deseja esfriarse o mais rápido possível Em que direção ele deve voar 8 Determine o vetor posição r rt de uma partícula no espaço sabendo que a sua aceleração a sua velocidade inicial e a sua posição inicial são dadas respectivamente por at t et et v0 0 0 1 e r0 0 1 1 9 Considere a curva de expressão αt 2t et et a Mostre que o vetor tangente a curva é dado por Tt 1 e2t 1 2et e2t 1 b Determine a curvatura de αt em t 0 10 Seja C a curva obtida pela interseção das superfícies S1 e S2 dadas por 3x 2z3 0 e y z2 0 respectivamente Nessas condições a Encontre uma parametrização para C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 18 9 3 c Calcule o comprimento de C da origem até o ponto P 18 9 3 11 Considere a função vetorial r λ R 1 2λ 2 λ R2 e seja C o círculo centrado na origem que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r Encontre uma parametrização de C 12 Seja C a curva obtida pela interseção do paraboloide elíptico z x2 y2 com o plano z 1 a Encontre uma parametrização para a curva C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 0 1 1 13 Considere a curva αt t 4t3 2 com 0 t 1 a Determine o comprimento de αt b Determine a equação cartesiana de αt 14 Seja C a curva de interseção da semiesfera x2 y2 z2 4 com z 0 e o cilindro x2 y2 2y a Encontre uma parametrização para a curva C b Determine a equação da reta tangente a C que é paralela à reta L x y z 1 2 t 1 t2 t R c Utilizando a parametrização obtida no item a determine os pontos de C mais próximos e mais distantes do ponto 1 0 0 15 As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por xt 200cost e yt 10sent 0 t 2π a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma b Encontre os pontos de máximo e mínimo da curvatura Sugestão O máximo da curvatura k é o mínimo do raio da curvatura 1k 16 Considere a função f A R2 R definida por fx y lnx2 y2 x y A Determine os pontos de máximo e mínimo da função a fxy 3x 4y 5 sobre a circunferência x² y² 25 b fxy 5 x 2y sobre a elipse 3x² 4y² 12 c fxy 1 x² y² se x² y² 1 1 x² y² se x² y² 1 em C xy R² x 12² y² 116 a Identifique o domínio A de f b Encontre a curva de nível de f que contém o ponto P 1 0 c Seja C a curva parametrizada pela função vetorial α R R2 definida por αt et et2 et et2 t R Mostre que C está contida em uma curva de nível de f identificandoa 17 Uma chapa plana de metal está localizada no plano xy de modo que a temperatura Tx y em ºC no ponto Px y é inversamente proporcional a distância de P à origem a Determine os pontos onde a temperatura é constante ou seja as curvas de nível onde Tx y k b Se a temperatura no ponto 4 3 é de 40ºC determine a equação da curva em que a temperatura é constante igual a 20ºC Problema 11 Resposta a A reta é parametrizada por γt 1 1 t4 5 b A reta é parametrizada por γt 2 1 t2 5 c A reta é encontrada pela a interseção x y z 3 2x y 2z 6 O escalonamento resulta em x y z 3 y 43z 4 A parametrização é dado por γt 3 13z 4 43z z d A parametrização é γt 0 0 2 t3 2 3 Problema 12 Resposta O vetor diretor em cada curva é v1 4 2 v2 4 2 Observe que β12 4 0 e α0 4 0 Problema 13 Resposta O produto vetorial é dado por i j k t t2 2 3 t t t2 2 t t i t 2 3 t j t t2 3 t k Assim o f g t3 2t i t2 6 j 2t2 k Problema 14 Resposta a Aplicando LHospital lim t tt²1 lim t 12t 0 lim t 2t3t²1 lim t tt 23t11t² 2 O limite é 0 2 b Aplicando LHospital lim t2 t²2t2 lim t2 2t1 22 lim t2 e2 ett³ 22 lim t2 et3t² e26 O limite é 22 e26 Problema 15 Resposta A velocidade é a integral da aceleração vt 103 cos3t C₁ î 23 sin3t C₂ j 13 t³ C₃ k e assim temos vt 103 cos3t 103 î 23 sin3t j 13 t³ k Assim a posição é dada por st 109 sin3t 103 t C₁ î 29 cos3t C₂ j 112 t⁴ C₃ k que resulta em st 109 sin3t 103 t î 29 cos3t 29 j 112 t⁴ k Problema 16 Resposta A derivada da velocidade é at e a velocidade é resultando em vt 2πsin2πt cos2πt e st é st cos2πt sin2πt Problema 17 Resposta A velocidade é dado vt 12 t² C₁ eᵗ C₂ eᵗ C₃ que resulta em vt 12 t² eᵗ 1 eᵗ 1 A fórmula de rt é rt 16 t³ C₁ eᵗ t C₂ eᵗ t C₃ que resulta em rt 16 t³ eᵗ t eᵗ t Problema 18 Resposta a A tangente é dada por αt 2 eᵗ eᵗ A norma desta curva é αt 2 e²ᵗ e²ᵗ Por fim temos que dTds 12 e²ᵗ e²ᵗ 0 eᵗ eᵗ b A curvatura é dada por va 12 e²ᵗ e²ᵗ i j k 2 eᵗ eᵗ 12 e²ᵗ e²ᵗ 2 î 2 eᵗ j 2 eᵗ k 0 eᵗ eᵗ Assim a norma da curvatura é κ 4 2e²ᵗ 2e²ᵗ 2 e²ᵗ e²ᵗ² Problema 19 Resposta a A parametrização é dada por γz 23 z³ z² z b A derivada é dada por γz 2z² 2z 1 Lembrando que γ3 18 9 3 e resulta em v γ3 18 6 1 que resulta na reta rt 18 9 3 t18 6 1 c A integral é dada por ₀³ 2t²² 2t² 1² dt ₀³ 4t⁴ 4t² 1 dt Problema 20 Resposta O círculo é dado x² y² R² vamos colocar rλ 1 2λ 2 λ e temos a fórmula x 1 2λ λ x 12 This image is not provided in the input y 2 λ λ y 2 Resulta em r x 1 2y 4 Assim a distância é dist00 r 5 sqrt12 22 sqrt5 Assim a circunferência é x2 y2 5 Problema 21 Resposta a A curva é dada por x2 y2 1 que tem parametrização γt cost sint 1 b A reta tangente é γt sint cost 0 O valor de t π2 resulta em rt 011 t100 Problema 22 Resposta a A derivada é dada por αt 1 6sqrtt a integral 01 sqrt136t dt 137 36sqrtu du 24 3732 1 b O gráfico é dado por Problema 23 Resposta a No cilindro temos x2 y 12 1 Assim as funções são dados x cost y 1 sint Substituindo na semiesfera temos z2 4 x2 y2 4 21 sint As curvas são dadas por γt cost 1 sint 2 2 sint 16 b c Problema 24 Resposta Problema 25 Resposta 17 Cálculo II Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 3 Data de entrega 13122022 1 Seja fxy sqrt4 2x2 y2 Determine e faça um esboço para a o domínio de f b a curva de nível k 1 de f c o gráfico de f 2 Calcule caso seja possível os seguintes limites E quando não existir justifique sua resposta a limxyz430 sqrtxz sqrty1 xyz1 b limxy00 xy xy c limxy00 cosx3y3x2y2 3 Seja fxy x3 yx y3 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 a Calcule fxxy e fyxy para xy 00 b Calcule fx00 e fy00 c Verifique se f é contínua Justifique sua resposta d Verifique se f é diferenciável na origem Justifique sua resposta 4 Considere a função F R2 R definida por fxy x3 2y2 2x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 a Determine se fxy é contínua em 00 b Calcule fxxy e fyxy para xy 00 c Calcule fx00 e fy00 5 Calcule todas as derivadas parciais de 1ª ordem para cada uma das seguintes funções a fxy y senxy y 0 b fxy yx sen tt dt x 0 e y 0 c fxy x2 lnyx y2 lnxy xy 0 6 Seja g R2 R uma função diferenciável e considere também a função h R2 R definida por huv gu2 v2 2u 3v Sabendo que gx 21 3 gy 21 4 calcule hu 11 e hv 11 7 Se guv fsenu cosv senu cosv onde f fxy é uma função diferenciável tal que fsqrt20 2 fxsqrt20 1 fysqrt20 3 Calcule gu π4 π4 e gv π4 π4 8 Considere z fxy uma função de classe C2 em R2 Sabendo que x r2 s2 e y 2rs determine a zr e zs b 2 zr s 9 Mostre que qualquer função da forma z fx at gx at sendo f e g funções duas vezes diferenciáveis é uma solução da equação da onda 2 zt2 a2 2 zx2 10 Determine a a equação do plano tangente a x2 y2 2z 0 no ponto 111 b a equação da reta normal a x2 y2 2z 4 no ponto 222 c a derivada direcional da função fxyz sqrtx2 y2 2z2 no ponto 111 na direção do vetor sqrt2 i j k d a derivada direcional da função fxyz sqrtx2 y2 2z2 no ponto 134 na direção do vetor tangente à curva αt t 3t2 2 sqrt2 t4 no ponto t 1 e o plano tangente a fxy x33 3x22 y33 4y 2x 5 no ponto 1152 11 Seja Txyz lnx2 y2 2y z2 Determine a o plano tangente à superfície de nível Txyz 0 no ponto 111 b Tu 111 sendo u o vetor unitário na direção e sentido do vetor 2i 2j k c a taxa máxima de crescimento de T no ponto 111 12 Determine os pontos críticos das funções definidas nos itens a seguir e classifiqueos em máximo local mínimo local e ponto de sela a fxy 2y4 x2 y2 2x 1 b fxy x3 3xy2 15x 12y 4 c fxy x3 y3 9x2 12y 24x d fxy x33 3x22 y33 4y 2x 5 13 A temperatura de uma chapa retangular determinada por x 0 y 0 x 10 e y 5 é dada por Txy x2 2y2 4 Determine a O ponto mais quente e o mais frio da placa b O ponto mais quente e o mais frio da placa dentre os que estão situados na curva x²16 y²9 1 14 A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela seguinte função fxyz 101 x² y² z² a Calcule a derivada direcional de f no ponto 101 na direção do vetor î ĵ k b Um mosquito se encontra na posição 111 e deseja esfriarse o mais rápido possível Em que direção ele deve voar 15 Determine os pontos de máximo e mínimo da função a fxy 3x 4y 5 sobre a circunferência x² y² 25 b fxy 5 x 2y sobre a elipse 3x² 4y² 12 c fxy 1 x² y² se x² y² 1 1 x² y² se x² y² 1 em C xy R² x 12² y² 116 Problema 26 Resposta a O domínio de f é dado por 4 2x² y² 4 2x² y² 0 A região é x²2 y²4 1 Assim o domínio é Df xy R² x²2 y²4 1 b A curva de nível é definida por 1 4 2x² y² 1 4 2x² y² O resultado é y²3 2x²2 1 sendo a curva de nível adequada c O gráfico é dado por Imagem do gráfico Figura 1 Superfície construída Problema 27 Resposta a A razão é dada por x z y 1 x y z 1 x y z 1 x y z 1x z y 1 Assim podemos cancelar o fator e obter lim xyz430 1 x z y 1 1 2 4 Assim o limite existe e foi calculado acima b Neste caso o limite não existe pois cada caminho tem valores diferen tes Se γ1t t t temos a fração t t 2t 0 Assim o limite neste caminho é 0 Se γ1t t t s γ2t t 2t temos as frações t 2t 2t 1 2 Assim o limite neste caminho é 12 Como os valores são diferentes o limite não pode existir c A fração é dada por x3 y3 x2 y2 x yx2 xy y2 x2 y2 Observe que xy max x y2 x2 y2 Portanto x2 xy y2 x2 y2 x2 xy2 y2 xy2 xy xy2 3 Assim o limite é dado por 0 lim xy00x yx2 xy y2 x2 y2 lim xy00 3x y 0 22 Problema 28 Resposta a As derivadas são simples dadas por fxx y 3x2y y3x2 y2 x3y xy32x x2 y22 fyx y x3 3xy2x2 y2 x3y xy32y x2 y22 b As derivadas na origem só podem ser feitas por definição fx0 0 lim h0 fh 0 f0 0 h lim h0 0 0 h 0 fy0 0 lim h0 f0 h f0 0 h lim h0 0 0 h 0 c Para que a função seja contínua em 0 0 é necessário que a função fx e fy sejam contínuas Observe que vale que x2 x2 y2 1 y2 x2 y2 1 xy x2 y2 1 Assim temos que por exemplo que 3y x2 x2 y2 y y2 x2 y2 2y x4 x2 y22 y x2y2 x2 y22 As frações da expressão acima são limitadas e a função que está mul tiplicando em todos os casos converge pra zero Logo este limite vai a zero ou seja limxy00 fxx y 0 e limxy00 fyx y 0 por simetria Em todos os outros pontos a função tem derivada calculada em a e pontanto é contínua d Sim Quando a função é diferenciável e tem derivadas contínuas então ela é diferenciável 23 Problema 29 Resposta a A função não é contínua a O caminho dado por 0t nos leva a limt0 f0t limt0 2t²t² 2 b O caminho dado por t² t³2 nos leva a limt0 ft² t³2 limt0 0 0 Logo a função não é contínua b As derivadas parciais são fxxy 3x²2x² y² x³ 2y²4x 2x² y²² fyxy 4y2x² y² x³ 2y²2y 2x² y²² c As derivadas na origem são fx00 limh0 fh0 f00h limh0 h³2h² 0h 12 fy00 limh0 f0h f00h limh0 2h²h² 0h Problema 30 Resposta a As derivadas são dadas por fxxy y sin xy 1y fyxy sinxy y cosxy xy² b As derivadas são dadas por fxxy sinxx fyxy sinyy Isto decorre do teorema fundamental do cálculo versão para derivadas c As derivadas são dadas por fxxy 2x lnyx x² xx yy y² yx 1y fyxy x² xy 1x 2y lnxy y² yx xy² Problema 31 Resposta A derivada da expressão é dada por hu11 gxxuvyuv xuuv gxxuvyuv xuuv Como sabemos que x u² v² e y 2u 3v O resultado é dado por hu11 2 gx21 u 2 gx21 231 24 14 Para a derivada hv11 gxxuvyuv xvuv gxxuvyuv xvuv O resultado é dado por hu11 2 gx21 v 3 gx21 231 34 6 Problema 32 Resposta Montamos as derivadas por gu fx xu fy yu gv fx xv fy yv que resulta em guπ4 π4 fx2 0 cosu fy2 0 cosu 1 cosπ4 3 cosπ4 gvπ4 π4 fx2 0 sinv fy2 0 sinv 1 sinπ4 3 sinπ4 Assim temos que guπ4 π4 22 gvπ4 π4 2 Problema 33 Resposta a Só é possível exprimir algebricamente zr 2 fxxy r 2 fyxy s zs 2 fxxy s 2 fyxy r b Tomamos a anterior zr 2 fxxy r 2 fyxy s e derivamos por s agora ²zrs 22 fxxxy s 2 fxyxy r r 22 fyxxy s 2 fyyxy r s Problema 34 Resposta Observe que vale ztt a² fx at a² gx at zxx fx at gx at Agora temos que a² zxx ztt Problema 35 Resposta a As derivadas são dada por 2x 2 zx 0 zx x 2y 2 zy 0 zy y Assim temos que zx 1 zy 1 O plano é dado por z 1 x 1 y 1 b As derivadas são dada por 2x 2 zx 0 zx x 2y 2 zy 0 zy y Assim temos que zx 2 zy 2 O plano é dado por z 2 2x 2 2y 2 c O gradiente é dado por fxyz xx² y² 2z² yx² y² 2z² 2zx² y² 2z² O gradiente é dado por f111 14 14 12 O vetor direção é v 22 12 12 Finalizando em Dv f111 14 14 12 22 12 12 28 38 d A derivada de αt é αt 1 3t 42 t³ Assim o comprimento é v α1 1 3 42 Assim a derivada direcional é Dv f134 14 14 12 1 3 42 1 2 2 e As derivadas são dadas por fxxy x2 3x 2 fyxy y2 4 As derivadas são dadas por fx1 1 6 e fy1 1 3 Assim o plano é dado por z 52 6x 1 3y 1 Problema 36 Resposta a A superfície de nível é dada por x2 y2 2y z2 1 A derivação implícita é dada por 2x 2z zx 0 zx xz 2y 2 2z zy 0 zx y 1z Assim o plano é z 1 x 1 b O gradiente é dado por fxyz 2xx2 y2 2y z2 2y 2x2 y2 2y z2 2zx2 y2 2y z2 O resultado é f1 1 1 2 0 2 A derivada direcional é Duf1 1 1 23 23 13 23 c Basta observar que a direção é a mesma de 2 0 2 que resulta em 8 no máximo Problema 37 Resposta a A derivada é 2x 2 0 2y4y2 1 0 O ponto crítico é 10 e 1 12 A matriz é Hxy 2 0 0 24y2 2 Assim os pontos são classificados por O ponto é 10 e assim fxx10 H10 44 0 Assim 10 é um mínimo O ponto é 1 12 e assim fxx1 12 H1 12 8 0 Assim 1 12 é um mínimo O ponto é 1 12 e assim fxx1 12 H1 12 8 0 Assim 1 12 é um mínimo Problema 38 Resposta a O ponto crítico é 00 e temos que T10 t 104 2t2 Tt 5 54 t2 Assim o ponto mais quente é 154 Já o ponto de menor temperatura é 4 b Agora o valor está sujeito a x2 16 y2 9 1 e tem parametrização γt 4 cost 3 sint Substituindo temos Tt 20 2 sin2t Assim a derivada é T t 4 sint cost 0 Os pontos críticos são π e π2 A temperatura mínima é Tπ 20 e a máxima é Tπ2 22 Problema 39 Resposta a b Problema 40 Resposta a b c 30