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Física ·
Cálculo 2
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Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 2 Nome Entregar até 01112022 1 Encontre uma parametrização para a reta que a contém os pontos 1 1 e 34 b é paralela ao vetor v2 5 e que contém o ponto 2 1 c é a interseção dos planos x y z 3 e 2x y 2z 6 d passa pelos pontos 0 0 2 e 3 2 1 nos instantes de tempo t0 e t1 respectivamente 2 Mostre que as funções αt 4 4t 2t e βt 2 4t 1 2t são parametrizações diferentes da mesma curva 3 Calcule os valores de a e b tais que a função atat b 4t 3 se t1 2t 3 2at2 b se t1 seja contínua 4 Sejam f ℝ ℝ3 e g ℝℝ3 as funções vetoriais definidas por ft t t2 2 e gt 3 t t Calcule a função produto vetorial f x g 5 Calcule os seguintes limites a lim t tt21 2t 3t24 b lim t2 t2 2 t 2 e2 et t3 22 c lim t1 t3 1 t2 113t 1 tg πt 1 t 1 6 A aceleração de uma partícula em movimento no instante t 0 e dada por at dvtdt 10 sen 3t i 2 cos 3t j t2 k Sabendo que v0 0 e que s0 0 determine a velocidade e a posição da partícula 7 Uma partícula de massa m descreve um movimento circular uniforme sobre o círculo de raio 1 e centro na origem A equação da aceleração do movimento é at 4π2 cos 2πt sen 2πt Sabendo que v0 0 2π e que s0 1 0 mostre que a velocidade é ortogonal à posição e que a aceleração tem a mesma direção que a posição mas aponta no sentido contrário que esta Calcule o impulso da força centrípeta F ma atuando na partícula nos intervalos de tempo 0 12 0 1 e 0 2 8 Determine o vetor posição r rt de uma partícula no espaço sabendo que a sua aceleração a sua velocidade inicial e a sua posição inicial são dadas respectivamente por at t et et v0 0 0 1 e r0 0 1 1 9 Considere a curva de expressão αt 2t et et a Mostre que o vetor tangente a curva é dado por Tt 1e2t 12et e2t 1 b Determine a curvatura de αt em t 0 10 Seja C a curva obtida pela interseção das superfícies S1 e S2 dadas por 3x 2z3 0 e y z2 0 respectivamente Nessas condições a Encontre uma parametrização para C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 18 9 3 c Calcule o comprimento de C da origem até o ponto P 18 9 3 11 Considere a função vetorial r λ ℝ 1 2λ 2 λ ℝ2 e seja C o círculo centrado na origem que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r Encontre uma parametrização de C 12 Seja C a curva obtida pela interseção do paraboloide elíptico z x2 y2 com o plano z 1 a Encontre uma parametrização para a curva C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 0 1 1 13 Considere a curva at t 4t3 2 com 0 t 1 a Determine o comprimento de at b Determine a equação cartesiana de at 14 Seja C a curva de interseção da semiesfera x2 y2 z2 4 com z 0 e o cilindro x2 y2 2y a Encontre uma parametrização para a curva C b Determine a equação da reta tangente a C que é paralela à reta L x y z 1 2 t 1 t2 t ℝ c Utilizando a parametrização obtida no item a determine os pontos de C mais próximos e mais distantes do ponto 1 0 0 15 As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por xt 200cost e yt 10sent 0 t 2π a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma b Encontre os pontos de máximo e mínimo da curvatura Sugestão O máximo da curvatura k é o mínimo do raio da curvatura 1k 16 Considere a função f A ℝ2 ℝ definida por fx y lnx2 y2 x y A a Identifique o domínio A de f b Encontre a curva de nível de f que contém o ponto P 1 0 c Seja C a curva parametrizada pela função vetorial α ℝ ℝ2 definida por αt et et2 et et2 t ℝ Mostre que C está contida em uma curva de nível de f identificandoa 17 Uma chapa plana de metal está localizada no plano xy de modo que a temperatura Tx y em C no ponto Px y é inversamente proporcional a distância de P à origem a Determine os pontos onde a temperatura é constante ou seja as curvas de nível onde Tx y k b Se a temperatura no ponto 4 3 é de 40C determine a equação da curva em que a temperatura é constante igual a 20C Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 1 Nome Entregar até 17102022 1 Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir determine o seu limite a 656ⁿ b 1ⁿ ln n n c 4n⁴ 1 2n² 1 d 100ⁿ n e n¹n f n 1 n g 3n³ 1 2n³ 2 h 7 4n² 3 2n² i 2n 13n 1 n³ 1 j 1ⁿ¹ 3n n² 4n 5 k 1 anⁿ a ℝ l n nⁿ 2 Seja f uma função contínua e seja a um ponto qualquer de seu domínio Defina a sequência a₁ a a₂ fa a₃ fa₂ aₙ₁ faₙ a Mostre que se lim aₙ L então fL L Por esse motivo o número L é chamado ponto fixo de f b Encontre uma aproximação com 5 casas decimais para a solução da equação cos x x Sugestão Use o exercício anterior tomando fx cos x e a 1 3 Estude a convergência das seguintes séries a n1 n 2ⁿ b n1 1 10n c n1 n 1 n d n1 1 ³n 6 e n1 n n 1 n² f n1 n n² 1 g n1 1 n² 1 h n1 n 1 n² 3 i n1 1 n² 2n 3 j n1 1 n log n k n1 n 3 n² 2n 5 l n1 sen n 4ⁿ m n1 n n 1 n² n n1 cos2n 1π 4 3ⁿ o n1 1 n 1 1 n 1 p k1 1ᵏ kk 1 4 Mostre que 1 12 13 1n Logn 1 12 13 1n 1n 1 5 Determine a soma da série 1 123 1 234 1 nn 1n 2 6 Sendo x 1 determine a soma da série x 2x2 nxⁿ 7 Mostre que se α ℝ e α 1 então n0 1 αⁿ α α 1 Sugestão Use que 1 xⁿ¹ 1 x1 x xⁿ¹ xⁿ para todos n ℕ e x ℝ 1 8 Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente a n1 1ⁿ¹ 1 2n 1² b n1 1ⁿ¹ 1n 12ⁿ c n1 1ⁿ 1 log n d n1 1ⁿ 1 ⁵n 9 Determine os valores de x tais que as séries sejam convergentes a n0 xⁿ 2ⁿ b n1 1ⁿ¹ xⁿ n² c n1 3n² xⁿ² d n0 10²ⁿxⁿ k0n 2k 1 e n0 2ⁿ sen x 3ⁿ f n1 xⁿ n n g n1 nᵏ n xⁿ h n1 n nⁿ xⁿ i n1 n² 2n xⁿ 10 Desenvolva as funções em séries de potência em torno da origem isto é por potências de x a fx 1 x²2 b fx cosx a a ℝ c fx sen²x d fx cos²x e fx arctg x sugestão arctg x ₀ˣ dx1x² f fx 11x² 11 Desenvolva as funções em séries de potência em torno de x 1 isto é por potências de x 1 a fx x³ 2x² 5x 7 b fx log x 12 Calcule as integrais por meio de séries a ₀ˣ log1xx dx b ₀ˣ arctgxx dx c cos xx dx d ₀ˣ dx 1x⁹ dx e ₀ᵃ ln1xx dx a 0 13 Prove que a sena x sen a cos x cos a sen x b cosa x cos a cos x sen a sen x Bons estudos Cálculo II Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 3 Data de entrega 13122022 1 Seja fxy 4 2x² y² Determine e faça um esboço para a o domínio de f b a curva de nível k 1 de f c o gráfico de f 2 Calcule caso seja possível os seguintes limites E quando não existir justifique sua resposta a lim xyz430 x z y 1 x y z 1 b lim xy00 x yx y c lim xy00 cos x³ y³ x² y² 3 Seja fxy x³y xy³ x² y² se xy 00 0 se xy 00 a Calcule fxxy e fyxy para xy 00 b Calcule fx00 e fy00 c Verifique se f é contínua Justifique sua resposta d Verifique se f é diferenciável na origem Justifique sua resposta 4 Considere a função F ℝ² ℝ definida por fxy x³ 2y²2x² y² se xy 00 0 se xy 00 a Determine se fxy é contínua em 00 b Calcule fxxy e fyxy para xy 00 c Calcule fx00 e fy00 5 Calcule todas as derivadas parciais de 1ª ordem para cada uma das seguintes funções a fxy y sen xy y 0 b fxy y to x sen t t dt x 0 e y 0 c fxy x² ln yx y² ln xy xy 0 Seja gR2R uma função diferenciável e considere também a função hR2R definida por huv gu2 v2 2u 3v Sabendo que partial g partial x 2 1 3 partial g partial y 2 1 4 calcule partial h partial u 1 1 e partial h partial v 1 1 b O ponto mais quente e o mais frio da placa dentre os que estão situados na curva x216 y29 1 Considere z fxy uma função de classe C2 em R2 Sabendo que x r2 s2 e y 2rs determine a partial z partial r e partial z partial s b partial 2 z partial r partial s Mostre que qualquer função da forma zfxat gxat sendo f e g funções duas vezes diferenciáveis é uma solução da equação da onda partial 2 z partial t2 a2 partial 2 z partial x2 Determine a a equação do plano tangente a x2 y2 2z 0 no ponto 1 1 1 b a equação da reta normal a x2 y2 2z 4 no ponto 2 2 2 c a derivada direcional da função fxyz sqrtx2 y2 2z2 no ponto 1 1 1 na direção do vetor sqrt2 veci vecj veck d a derivada direcional da função fxyz sqrtx2 y2 2z2 no ponto 1 3 4 na direção do vetor tangente à curva alphat t 3t22 sqrt2t4 no ponto t1 e o plano tangente a fxy x33 3x22 y33 4y 2x 5 no ponto 1 1 52 Seja Txyz lnx2 y2 2y z2 Determine a o plano tangente à superfície de nível Txyz 0 no ponto 1 1 1 b partial T partial vecu 1 1 1 sendo vecu o vetor unitário na direção e sentido do vetor 2veci 2vecj veck c a taxa máxima de crescimento de T no ponto 1 1 1 Determine os pontos críticos das funções definidas nos itens a seguir e classifiqueos em máximo local mínimo local e ponto de sela a fxy 2y4 x2 y2 2x 1 b fxy x3 3xy2 15x 12y 4 c fxy x3 y3 9x2 12y 24x d fxy x33 3x22 y33 4y 2x 5 A temperatura de uma chapa retangular determinada por x0 y0 x10 e y5 é dada por Txy x2 2y2 4 Determine a O ponto mais quente e o mais frio da placa A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela seguinte função fxyz 101 x2 y2 z2 a Calcule a derivada direcional de f no ponto 1 0 1 na direção do vetor veci vecj veck b Um mosquito se encontra na posição 1 1 1 e deseja esfriarse o mais rápido possível Em que direção ele deve voar Determine os pontos de máximo e mínimo da função a fxy 3x 4y 5 sobre a circunferência x2 y2 25 b fxy 5 x 2y sobre a elipse 3x2 4y2 12 c fxy 1 x2 y2 se x2 y2 1 1 sqrtx2 y2 se x2 y2 1 em C xy in mathbbR2 x 122 y2 116
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determine a velocidade e a posição da partícula 7 Uma partícula de massa m descreve um movimento circular uniforme sobre o círculo de raio 1 e centro na origem A equação da aceleração do movimento é at 4π2 cos 2πt sen 2πt Sabendo que v0 0 2π e que s0 1 0 mostre que a velocidade é ortogonal à posição e que a aceleração tem a mesma direção que a posição mas aponta no sentido contrário que esta Calcule o impulso da força centrípeta F ma atuando na partícula nos intervalos de tempo 0 12 0 1 e 0 2 8 Determine o vetor posição r rt de uma partícula no espaço sabendo que a sua aceleração a sua velocidade inicial e a sua posição inicial são dadas respectivamente por at t et et v0 0 0 1 e r0 0 1 1 9 Considere a curva de expressão αt 2t et et a Mostre que o vetor tangente a curva é dado por Tt 1e2t 12et e2t 1 b Determine a curvatura de αt em t 0 10 Seja C a curva obtida pela interseção das superfícies S1 e S2 dadas por 3x 2z3 0 e y z2 0 respectivamente Nessas condições a Encontre uma parametrização para C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 18 9 3 c Calcule o comprimento de C da origem até o ponto P 18 9 3 11 Considere a função vetorial r λ ℝ 1 2λ 2 λ ℝ2 e seja C o círculo centrado na origem que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r Encontre uma parametrização de C 12 Seja C a curva obtida pela interseção do paraboloide elíptico z x2 y2 com o plano z 1 a Encontre uma parametrização para a curva C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 0 1 1 13 Considere a curva at t 4t3 2 com 0 t 1 a Determine o comprimento de at b Determine a equação cartesiana de at 14 Seja C a curva de interseção da semiesfera x2 y2 z2 4 com z 0 e o cilindro x2 y2 2y a Encontre uma parametrização para a curva C b Determine a equação da reta tangente a C que é paralela à reta L x y z 1 2 t 1 t2 t ℝ c Utilizando a parametrização obtida no item a determine os pontos de C mais próximos e mais distantes do ponto 1 0 0 15 As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por xt 200cost e yt 10sent 0 t 2π a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma b Encontre os pontos de máximo e mínimo da curvatura Sugestão O máximo da curvatura k é o mínimo do raio da curvatura 1k 16 Considere a função f A ℝ2 ℝ definida por fx y lnx2 y2 x y A a Identifique o domínio A de f b Encontre a curva de nível de f que contém o ponto P 1 0 c Seja C a curva parametrizada pela função vetorial α ℝ ℝ2 definida por αt et et2 et et2 t ℝ Mostre que C está contida em uma curva de nível de f identificandoa 17 Uma chapa plana de metal está localizada no plano xy de modo que a temperatura Tx y em C no ponto Px y é inversamente proporcional a distância de P à origem a Determine os pontos onde a temperatura é constante ou seja as curvas de nível onde Tx y k b Se a temperatura no ponto 4 3 é de 40C determine a equação da curva em que a temperatura é constante igual a 20C Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 1 Nome Entregar até 17102022 1 Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir determine o seu limite a 656ⁿ b 1ⁿ ln n n c 4n⁴ 1 2n² 1 d 100ⁿ n e n¹n f n 1 n g 3n³ 1 2n³ 2 h 7 4n² 3 2n² i 2n 13n 1 n³ 1 j 1ⁿ¹ 3n n² 4n 5 k 1 anⁿ a ℝ l n nⁿ 2 Seja f uma função contínua e seja a um ponto qualquer de seu domínio Defina a sequência a₁ a a₂ fa a₃ fa₂ aₙ₁ faₙ a Mostre que se lim aₙ L então fL L Por esse motivo o número L é chamado ponto fixo de f b Encontre uma aproximação com 5 casas decimais para a solução da equação cos x x Sugestão Use o exercício anterior tomando fx cos x e a 1 3 Estude a convergência das seguintes séries a n1 n 2ⁿ b n1 1 10n c n1 n 1 n d n1 1 ³n 6 e n1 n n 1 n² f n1 n n² 1 g n1 1 n² 1 h n1 n 1 n² 3 i n1 1 n² 2n 3 j n1 1 n log n k n1 n 3 n² 2n 5 l n1 sen n 4ⁿ m n1 n n 1 n² n n1 cos2n 1π 4 3ⁿ o n1 1 n 1 1 n 1 p k1 1ᵏ kk 1 4 Mostre que 1 12 13 1n Logn 1 12 13 1n 1n 1 5 Determine a soma da série 1 123 1 234 1 nn 1n 2 6 Sendo x 1 determine a soma da série x 2x2 nxⁿ 7 Mostre que se α ℝ e α 1 então n0 1 αⁿ α α 1 Sugestão Use que 1 xⁿ¹ 1 x1 x xⁿ¹ xⁿ para todos n ℕ e x ℝ 1 8 Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente a n1 1ⁿ¹ 1 2n 1² b n1 1ⁿ¹ 1n 12ⁿ c n1 1ⁿ 1 log n d n1 1ⁿ 1 ⁵n 9 Determine os valores de x tais que as séries sejam convergentes a n0 xⁿ 2ⁿ b n1 1ⁿ¹ xⁿ n² c n1 3n² xⁿ² d n0 10²ⁿxⁿ k0n 2k 1 e n0 2ⁿ sen x 3ⁿ f n1 xⁿ n n g n1 nᵏ n xⁿ h n1 n nⁿ xⁿ i n1 n² 2n xⁿ 10 Desenvolva as funções em séries de potência em torno da origem isto é por potências de x a fx 1 x²2 b fx cosx a a ℝ c fx sen²x d fx cos²x e fx arctg x sugestão arctg x ₀ˣ dx1x² f fx 11x² 11 Desenvolva as funções em séries de potência em torno de x 1 isto é por potências de x 1 a fx x³ 2x² 5x 7 b fx log x 12 Calcule as integrais por meio de séries a ₀ˣ log1xx dx b ₀ˣ arctgxx dx c cos xx dx d ₀ˣ dx 1x⁹ dx e ₀ᵃ 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fxy x² ln yx y² ln xy xy 0 Seja gR2R uma função diferenciável e considere também a função hR2R definida por huv gu2 v2 2u 3v Sabendo que partial g partial x 2 1 3 partial g partial y 2 1 4 calcule partial h partial u 1 1 e partial h partial v 1 1 b O ponto mais quente e o mais frio da placa dentre os que estão situados na curva x216 y29 1 Considere z fxy uma função de classe C2 em R2 Sabendo que x r2 s2 e y 2rs determine a partial z partial r e partial z partial s b partial 2 z partial r partial s Mostre que qualquer função da forma zfxat gxat sendo f e g funções duas vezes diferenciáveis é uma solução da equação da onda partial 2 z partial t2 a2 partial 2 z partial x2 Determine a a equação do plano tangente a x2 y2 2z 0 no ponto 1 1 1 b a equação da reta normal a x2 y2 2z 4 no ponto 2 2 2 c a derivada direcional da função fxyz sqrtx2 y2 2z2 no ponto 1 1 1 na direção do vetor sqrt2 veci vecj veck d a derivada direcional da função fxyz sqrtx2 y2 2z2 no ponto 1 3 4 na direção do vetor tangente à curva alphat t 3t22 sqrt2t4 no ponto t1 e o plano tangente a fxy x33 3x22 y33 4y 2x 5 no ponto 1 1 52 Seja Txyz lnx2 y2 2y z2 Determine a o plano tangente à superfície de nível Txyz 0 no ponto 1 1 1 b partial T partial vecu 1 1 1 sendo vecu o vetor unitário na direção e sentido do vetor 2veci 2vecj veck c a taxa máxima de crescimento de T no ponto 1 1 1 Determine os pontos críticos das funções definidas nos itens a seguir e classifiqueos em máximo local mínimo local e ponto de sela a fxy 2y4 x2 y2 2x 1 b fxy x3 3xy2 15x 12y 4 c fxy x3 y3 9x2 12y 24x d fxy x33 3x22 y33 4y 2x 5 A temperatura de uma chapa retangular determinada por x0 y0 x10 e y5 é dada por Txy x2 2y2 4 Determine a O ponto mais quente e o mais frio da placa A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela seguinte função fxyz 101 x2 y2 z2 a Calcule a derivada direcional de f no ponto 1 0 1 na direção do vetor veci vecj veck b Um mosquito se encontra na posição 1 1 1 e deseja esfriarse o mais rápido possível 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