Atividade Avaliativa de Cálculo II - CEFETRJ 2023.1

if Centro Federal de Educagao Tecnoldégica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo a CAlculo II 20231 CEFETRJ Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 4 Nome sé nttregar até 12062023 1 Determine a a equacao do plano tangente a x y 2z 0 no ponto 11 1 b a equacao da reta normal a x y 2z 4 no ponto 2 22 c a derivada direcional da fungao fxy z fz y 22 no ponto 111 na diregéo do vetor 2 i j k d a derivada direcional da fungao fx yz fx y 22 no ponto 134 na diregéo do 3t vetor tangente a curva at 7 V2 t no ponto t 1 x 327 ye e o plano tangente a fxy 37 37 dy 2x 5 no ponto 1 1 52 f o plano que é paralelo ao plano z 2x 3y e tangente ao grafico de fxy x xy g as equacdes paramétricas da reta tangente a elipse dada pela intersecao entre o elipsoide 4x 2y 22 16 eo plano y 2 no ponto 1 2 2 2 Determine as derivadas parciais indicadas a ue sind oats a Bw ew b w yt2z OzOyOx Ox2dy 3 Seja ay xy se 2 00 fy4 y 79 00 0 se xy 00 a Determine fexy e Fyxy quando xy 00 b Determine f00 e f0 0 c Mostre que f00 le fy00 1 d Por que o item anterior contradiz 0 teorema de Clairaut sobre derivadas mistas Utilize o Geogebra ou outro software de visualizacao grafica para ilustrar sua resposta 4 Use a derivacao implicita para determinar 0zOx e 0zOy a x z arctanyz b sinxyz x 2y 3z c z fx 9y 5 Encontre o valor de 0z0x no ponto 111 sabendo que a equacao ry zx 2yz 0 define z como uma fungao de duas varidveis independentes x e y e que a derivada parcial existe 6 Mostre que cada uma das equacoes a seguir define implicitamente pelo menos uma funcao dife rencidvel z zxy Expressedz0x e 0zOy em termos de x y e 2 a er Y 4 ryz 1 b PF y2 2xryt2 7 De acordo com o triangulo abaixo A c an B a Cc a Expresse A implicitamente como uma fungao de a b e ce calcule 0A0a e OAOb b Expresse a implicitamente como uma fungao de A b e B e calcule 0a0A e 0aOB 8 Considere a fungao jrty sery0 Py 1 caso contrario Mostre que f nao possui derivada direcional em 00 na diregéo de um vetor v ab com ab1eabF0 9 Oraio r ea altura fh de um cilindro circular reto aumentam 4 razao de 001 cmmin e 002 cmmin respectivamente a Ache a taxa de variagao do volume quando r 4 cm eh 7 cm b A que taxa a drea da superficie curva esta variando nesse instante 10 Suponha que em uma certa regiaéo do espaco o potencial elétrico V seja dado por Vzyz 5a 3ay xyz a Determine a taxa de variacao do potencial em P 345 na direcgao do vetor v ijk b Em que diregéo V varia mais rapidamente em P c Qual a taxa maxima de variacao em P 11 Seja Tz y z In 2 y 2y 2 Determine a o plano tangente a superficie de nivel Tx y z 0 no ponto 11 1 OT 45 3 b ag th 11 sendo w o vetor unitdrio na diregao e sentido do vetor 2i 27 k u c a taxa maxima de crescimento de T no ponto 11 1 12 A temperatura do ar em pontos do espaco é dada pela seguinte funcao 10 LY 2 7s a Calcule a derivada direcional de f no ponto 10 1 na direcao do vetor i 7 k b Um mosquito se encontra na posigao 1 11 e deseja esfriarse 0 mais rapido possivel Em que direcao ele deve voar 13 Determine os pontos criticos das fungdes definidas nos itens a seguir e classifiqueos em maximo local minimo local e ponto de sela a fxy 2y a y 2e1 b fxy 2 3ry 15x 12y 4 2 c fzy a y 9x 12y 4 24x e 322 d X 44 gy 4 Or 5 d fty ym Ay te 14 Determine 0 volume maximo da maior caixa retangular no primeiro octante com trés faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x 2y 3z 6 15 A temperatura de uma chapa retangular determinada por x 0 y 0 x 10 e y 5 é dada por Tx y x2 2y 4 Determine a O ponto mais quente e o mais frio da placa 2 2 b O ponto mais quente e o mais frio da placa dentre os que estado situados na curva Té D 1 16 Determine os pontos de maximo e minimo da fungao a fxy 3x 4y 5 sobre a circunferéncia x y 25 b fxy 5 x 2y sobre a elipse 3x 4y 12 12 y ser y 1 2 12 2 41 c fen 4 14 24P soartyst om C xy ER sa4y i 3