Cálculo de Integral Tripla com Mudança de Variáveis Linear

4 Dada a região R x y z 0 x y 2z 1 1 x y 2z 2 e 0 z 1 calcule J R x y 2zx y 2z dxdydz Sugestão Use mudança de variáveis linear 4 Dada a região R x y z 0 x y 2z 1 1 x y 2z 2 e 0 z 1 calcule J R x y 2zx y 2z dxdydz Sugestão Use mudança de variáveis linear Tome μ x y 2z ν x y 2z e t z Então 0 μ 1 1 ν 2 0 t 1 Vamos encontrar x y z em função de μ ν t μ x y 2z μ x y 2t μ ν 2x x μ ν2 ν x y 2z ν x y 2t t z Por fim ν μ 2y 4t y ν μ 4t2 Portanto xμ ν t μ ν2 yμ ν t ν μ 4t2 e zμ ν t t Pela mudança de variáveis seja R μ ν t ℝ³ 0 μ 1 1 ν 2 0 t 1 e Joc detx y zμ ν t Então R x y 2zx y 2z dx dy dz R μν Joc dμ dν dt Joc detx y zμ ν t detxμ xν xt yμ yν yt zμ zν zt det12 12 0 12 12 2 0 0 1 Joc 14 14 Joc 12 J 12 01 12 01 μν dμ dν dt 2J 01 12 μ²2ν 10 dν dt 01 12 12ν dν dt 4J 01 lnν21 dt 01 ln 2 ln 1 dt ln 1 0 4J ln 2 01 dt ln 2 t 10 ln 2 J ln 24