Lista de Exercícios Resolvidos Calculo II - Sequencias Series Funcoes Integrais

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 1 Nome Entregar até 17102022 1 Determine se a sequência converge ou diverge Se ela convergir determine o seu limite a 656n b 1n ln nn c 4n412n21 d 100nn e n1n f n1n g 3n312n32 h 74n232n2 i 2n13n1n31 j 1n1 3nn24n5 k 1annaℝ l nnn 2 Seja f uma função contínua e seja a um ponto qualquer de seu domínio Defina a sequência a1 a a2 fa a3 fa2 an1 fan a Mostre que se lim an L então fL L Por esse motivo o número L é chamado ponto fixo de f b Encontre uma aproximação com 5 casas decimais para a solução da equação cos x x Sugestão Use o exercício anterior tomando fx cos x e a 1 3 Estude a convergência das seguintes séries a n1 to n2n b n1 to 110n c n1 to n1n d n1 to 1³n6 e n1 to nn1n2 f n1 to nn21 g n1 to 1n21 h n1 to n1n23 i n1 to 1n22n3 j n1 to 1n log n k n1 to n3n22n5 l n1 to sen n 4n m n1 to nn1n2 n n1 to cos2n1π43n o n1 to 1n1 1n1 p k1 to 1kkk1 4 Mostre que 1 12 13 1n Logn1 12 13 1n1 5 Determine a soma da série 1123 1234 1nn1n2 6 Sendo x 1 determine a soma da série x 2x2 nxn 7 Mostre que se α ℝ e α 1 então n0 to 1αn αα1 Sugestão Use que 1xn1 1x1 x xn1 xn para todos n ℕ e x ℝ 1 1 8 Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente a n1 to 1n1 12n12 b n1 to 1n1 1n 12n c n1 to 1n 1log n d n1 to 1n 1n 9 Determine os valores de x tais que as séries sejam convergentes a n0 to xn 2n b n1 to 1n1 xn n2 c n1 to 3n2 xn2 d n0 to 102n xn k0 to n 2k1 e n0 to 2n sen x3n f n1 to xn nn g n0 to nk n xn h n1 to n nn xn i n1 to n22n xn 10 Desenvolva as funções em séries de potência em torno da origem isto é por potências de x a fx 1x22 b fx cosxa a ℝ c fx sen2 x d fx cos2 x e fx arctg x sugestão arctg x 0 to x dx1x2 f fx 11x2 11 Desenvolva as funções em séries de potência em torno de x 1 isto é por potências de x1 a fx x3 2x2 5x 7 b fx log x 12 Calcule as integrais por meio de séries a 0 to x log1xx dx b 0 to x arctgxx dx c cos xx dx d 0 to x dx1x9 dx e 0 to a ln1xx dx a0 13 Prove que a senax sen a cos x cos a sen x b cosax cos a cos x sen a sen x Bons estudos 2 Cálculo II Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 3 Data de entrega 13122022 1 Seja fxy 42x2y2 Determine e faça um esboço para a o domínio de f b a curva de nível k1 de f c o gráfico de f 2 Calcule caso seja possível os seguintes limites E quando não existir justifique sua resposta a lim xyz430 xz y1 x y z 1 b lim xy00 x y x y c lim xy00 cos x3 y3 x2 y2 3 Seja fxy x3 y x y3 x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 a Calcule fxxy e fyxy para xy 00 b Calcule fx00 e fy00 c Verifique se f é contínua Justifique sua resposta d Verifique se f é diferenciável na origem Justifique sua resposta 4 Considere a função F ℝ2 ℝ definida por fxy x3 2y2 2x2 y2 se xy 00 0 se xy 00 a Determine se fxy é contínua em 00 b Calcule fxxy e fyxy para xy 00 c Calcule fx00 e fy00 5 Calcule todas as derivadas parciais de 1ª ordem para cada uma das seguintes funções a fxy y sen xy y 0 b fxy y to x sentt dt x0 e y0 c fxy x2 lnyx y2 lnxy xy 0 Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca UnED Nova Friburgo Cálculo II 20222 Professor Ademilton Luiz ATIVIDADE AVALIATIVA 2 Nome Entregar até 01112022 1 Encontre uma parametrização para a reta que a contém os pontos 11 e 34 b é paralela ao vetor v 25 e que contém o ponto 21 c é a interseção dos planos xyz3 e 2xy2z6 d passa pelos pontos 002 e 321 nos instantes de tempo t0 e t1 respectivamente 2 Mostre que as funções αt 44t2t e βt24t12t são parametrizações diferentes da mesma curva 3 Calcule os valores de a e b tais que a função α t atb4t3 se t1 2t32at²b se t1 seja contínua 4 Sejam f RR³ e g RR³ as funções vetoriais definidas por fttt²2 e gt 3tt Calcule a função produto vetorial fg 5 Calcule os seguintes limites a lim t tt²1 2t3t²4 b lim t2 t²2t2 e2ett³22 c lim t1 t³1t²1 t1³t1 tgπt1t1 6 A aceleração de uma partícula em movimento no instante t0 e dada por a t d v tdt 10 sen 3t i 2 cos 3t j t² k Sabendo que v 00 e que s0 0 determine a velocidade e a posição da partícula 7 Uma partícula de massa m descreve um movimento circular uniforme sobre o círculo de raio 1 e centro na origem A equação da aceleração do movimento é a t 4π²cos 2πt sen 2πt Sabendo que v 0 02π e que s0 10 mostre que a velocidade é ortogonal à posição e que a aceleração tem a mesma direção que a posição mas aponta no sentido contrário que esta Calcule o impulso da força centrípeta F m a atuando na partícula nos intervalos de tempo 012 01 e 02 6 Seja g R²R uma função diferenciável e considere também a função h R²R definida por huv gu²v² 2u3v Sabendo que gx 21 3 gy 21 4 calcule hu 11 e hv 11 7 Se guv fsenucosv senucosv onde ffxy é uma função diferenciável tal que f20 2 fx 20 1 fy 20 3 Calcule gu π4 π4 e gv π4 π4 8 Considere zfxy uma função de classe C² em R² Sabendo que xr²s² e y2rs determine a zr e zs b ²zrs 9 Mostre que qualquer função da forma z fxatgxat sendo f e g funções duas vezes diferenciáveis é uma solução da equação da onda ²zt² a² ²zx² 10 Determine a a equação do plano tangente a x²y²2z0 no ponto 111 b a equação da reta normal a x²y²2z4 no ponto 222 c a derivada direcional da função fxyz x²y²2z² no ponto 111 na direção do vetor 2 i j k d a derivada direcional da função fxyz x²y²2z² no ponto 134 na direção do vetor tangente à curva αt t 3t²2 2 t⁴ no ponto t1 e o plano tangente a fxy x³3 3x²2 y³3 4y 2x 5 no ponto 1152 11 Seja Txyz lnx²y²2yz² Determine a o plano tangente à superfície de nível Txyz 0 no ponto 111 b Tu 111 sendo u o vetor unitário na direção e sentido do vetor 2i 2 j k c a taxa máxima de crescimento de T no ponto 111 12 Determine os pontos críticos das funções definidas nos itens a seguir e classifiqueos em máximo local mínimo local e ponto de sela a fxy 2y⁴ x² y² 2x 1 b fxy x³ 3xy² 15x 12y 4 c fxy x³ y³ 9x² 12y 24x d fxy x³3 3x²2 y³3 4y 2x 5 13 A temperatura de uma chapa retangular determinada por x0 y0 x10 e y5 é dada por Txy x² 2y² 4 Determine a O ponto mais quente e o mais frio da placa b O ponto mais quente e o mais frio da placa dentre os que estão situados na curva x²16 y²9 1 14 A temperatura do ar em pontos do espaço é dada pela seguinte função fxyz 101x²y²z² a Calcule a derivada direcional de f no ponto 101 na direção do vetor i j k b Um mosquito se encontra na posição 111 e deseja esfriarse o mais rápido possível Em que direção ele deve voar 15 Determine os pontos de máximo e mínimo da função a fxy 3x4y5 sobre a circunferência x²y²25 b fxy 5 x 2y sobre a elipse 3x²4y²12 c fxy 1x²y² se x²y² 1 1x²y² se x²y² 1 em C xy R² x12² y² 116 8 Determine o vetor posição r rt de uma partícula no espaço sabendo que a sua aceleração a sua velocidade inicial e a sua posição inicial são dadas respectivamente por at t et et v0 0 0 1 e r0 0 1 1 9 Considere a curva de expressão αt 2t et et a Mostre que o vetor tangente a curva é dado por Tt 1e2t 1 2et e2t 1 b Determine a curvatura de αt em t 0 10 Seja C a curva obtida pela interseção das superfícies S1 e S2 dadas por 3x 2z3 0 e y z2 0 respectivamente Nessas condições a Encontre uma parametrização para C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 18 9 3 c Calcule o comprimento de C da origem até o ponto P 18 9 3 11 Considere a função vetorial r λ R 1 2λ 2 λ R² e seja C o círculo centrado na origem que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r Encontre uma parametrização de C 12 Seja C a curva obtida pela interseção do paraboloide elíptico z x² y² com o plano z 1 a Encontre uma parametrização para a curva C b Encontre a equação vetorial da reta tangente à curva C que passa pelo ponto P 0 1 1 13 Considere a curva αt t 4t³ 2 com 0 t 1 a Determine o comprimento de αt b Determine a equação cartesiana de αt 14 Seja C a curva de interseção da semiesfera x² y² z² 4 com z 0 e o cilindro x² y² 2y a Encontre uma parametrização para a curva C b Determine a equação da reta tangente a C que é paralela à reta L x y z 1 2 t 1 t2 t R c Utilizando a parametrização obtida no item a determine os pontos de C mais próximos e mais distantes do ponto 1 0 0 15 As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por xt 200cost e yt 10sent 0 t 2π a Calcule a curvatura da órbita em um ponto qualquer da mesma b Encontre os pontos de máximo e mínimo da curvatura Sugestão O máximo da curvatura k é o mínimo do raio da curvatura 1k 16 Considere a função f A R² R definida por fx y lnx² y² x y A a Identifique o domínio A de f b Encontre a curva de nível de f que contém o ponto P 1 0 c Seja C a curva parametrizada pela função vetorial α R R² definida por αt et et2 et et2 t R Mostre que C está contida em uma curva de nível de f identificandoa 17 Uma chapa plana de metal está localizada no plano xy de modo que a temperatura Tx y em C no ponto Px y é inversamente proporcional a distância de P à origem a Determine os pontos onde a temperatura é constante ou seja as curvas de nível onde Tx y k b Se a temperatura no ponto 4 3 é de 40ºC determine a equação da curva em que a temperatura é constante igual a 20ºC