Trabalho Resolvido - Ângulos e Distâncias em Geometria Analítica

Trabalho 1 Ângulos e Distâncias O trabalho poderá ser feito por grupos de até 4 pessoas Para certificar que todos participaram das discussões e soluções das questões o professor poderá conversar com alguns alunos sobre o raciocínio que o grupo utilizou na solução de algumas questões o desempenho nessa parte também fará parte da avaliação do trabalho Por esse motivo é fundamental que todos do grupo participem efetivamente da realização do trabalho Data de entrega 15062023 Link para uma vídeoaula sobre o assunto httpsyoutubeq8PMNxR4OFI 1ª Questão Considere os pontos planos e retas dadas a seguir A 1 0 3 B 0 0 1 π1 x 2y z 2 π2 2x 4y 2z 0 π3 x y 0 r x 1 2t y 2 t t R z 1 t s x 1 2α y 1 α α R z 5 u x γ y 1 2γ γ R z 1 2γ Calcule as distâncias e ângulos indicados em cada item a distA B b distA r1 c distB π3 d distr s e distπ1 π2 f distr u g dists π1 h Menor ângulo determinado por r e π1 i Menor ângulo determinado por π1 e π3 2ª Questão Encontre a equação do plano que contém todos os pontos que equidistam de P 1 2 3 e Q 0 5 2 3ª Questão Determine as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor v 1 1 1 e que distam 3 do ponto E 1 1 1 Solução Se π o plano em questão Se os pontos de π equidistam de P e Q então o ponto médio do segmento PQ M pertence a esse plano M 102 252 322 12 72 52 Se os pontos de π equidistam de P eQ então π é perpendicular a reta PQ Logo podemos determinar o vetor normal 𝑛 PQ QP 01 52 23 131 Como 𝑛 é normal a π a sua equação é do tipo π x 3y z d 0 Como M π decorre que 12 372 52 d 0 d 12 212 52 152 Portanto o plano tem equação π x 3y z 152 0 Exercício 3 Determine as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor 𝑣 1 1 1 e que distam 3 do ponto E 1 1 1 Solução Se os planos são perpendiculares ao vetor 𝑣 então os planos tem equação do tipo π x y z d 0 Se os planos distam 3 do ponto E então distEπ 3 1 1 1 1 1 1 d 1² 1² 1² 3 1 1 1 d 1 1 1 3 3 d 3 3 3 d 3 d 6 d 0 Logo os planos perpendiculares ao vetor 𝑣 que distam 3 de E tem equação π₁ x y z 0 π₂ x y z 6 0