Lista de Exercicios 9 - Geometria Analitica e Algebra Vetorial - Combinacao Linear LD e LI

CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLOGICA DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE MATEMATICA LISTA DE EXERCICIOS 9 GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA VETORIAL Combinacao linear LD e LI Lista de exercıcios referente ao conteudo do Material escrito 9 Envie sugestoes crıticas e correcoes atraves do formulario disponıvel aqui Exercıcio 1 Para guiar seu estudo responda as perguntas abaixo sobre Combinacao linear Ld e LI a O que significa dizer que w e combinacao linear de um conjunto de vetores b A escrita de w como combinacao linear de um conjunto de vetores e unica Como se verifica isso c Quando um conjunto de vetores e LD ou LI d Qual a relacao entre um conjunto de vetores LD e a existˆencia de combinacoes lineares e Qual o numero maximo de vetores LI em uma reta f Qual o numero maximo de vetores LI em um plano g Qual o numero maximo de vetores no espaco R3 h Dados trˆes vetores no R3 explique duas formas de verificar se eles sao LI ou LD i Por que todo conjunto que contem o vetor nulo e LD Exercıcio 2 Escreva se possıvel w como combinacao linear de v1v2 e v3 a v1 1 1 v2 1 1 v3 3 0 e w 1 4 b v1 1 2 v2 2 3 v3 5 4 e w 4 1 c v1 2 1 5 v2 1 3 0 v3 2 6 4 e w 9 6 13 d v1 1 1 3 v2 2 1 2 v3 1 0 1 e w 3 5 2 e v1 3 1 1 0 v2 0 1 1 2 v3 1 1 0 0 e w 1 4 4 6 Exercıcio 3 Sejam os vetores u 1 0 v 3 1 e w 0 2 a Escreva o vetor x 8 6 como combinacao linear de u v e w Versao de 17 de novembro de 2023 1 httpwwwdmcefetmgbr b E possıvel escrever x como combinacao linear de u v e w de maneira diferente da encontrada no item anterior Se sim exiba algumas c Escreva o vetor x como combinacao linear de u e v d E possıvel escrever x como combinacao linear de u e v de maneira diferente da encontrada no item anterior Se sim exiba algumas e Escreva o vetor y a b como combinacao linear de u e v f O que e possıvel concluir Exercıcio 4 Sejam os vetores u 3 1 e v 6 2 a E possıvel escrever o vetor w 5 4 como combinacao linear de u e v b E possıvel escrever o vetor w 2 2 3 como combinacao linear de u e v c E possıvel escrever o vetor w a b como combinacao linear de u e v d O que e possıvel concluir Exercıcio 5 Verifique se os seguintes conjuntos de vetores sao LI ou LD Para os conjuntos LD escreva um deles como combinacao linear dos outros a 1 1 2 1 0 0 4 6 12 b 1 2 3 2 4 6 c 1 1 1 2 3 1 3 1 2 d 4 2 1 6 5 5 2 1 3 e 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 f 1 1 3 1 1 0 2 3 13 Exercıcio 6 Para quais valores de λ o conjunto de vetores 3 1 0 λ2 2 2 0 e LD Exercıcio 7 Sejam v1 0 0 0 v2 1 0 2 v3 1 1 2 v4 0 1 0 e v5 1 1 1 Determine se cada afirmacao e verdadeira ou falsa justificandoa a v1 pode ser escrito de infinitas formas diferentes como combinacao linear de v2 v3 e v4 b O conjunto v1v2v3v4 e LI c O conjunto v1v2v3 e LI d O conjunto v2v3v4 e LI e O conjunto v2v3v5 e LI f O conjunto v2v5 e LI Versao de 17 de novembro de 2023 2 httpwwwdmcefetmgbr RESPOSTAS 1 2 a w 6v1 2v2 3v3 b w 10 7 v1 9 7 v2 0v3 c w 3v1 2v2 1 2 v3 d w nao e combinacao linear de v1 v2 e v3 e w nao e combinacao linear de v1 v2 e v3 3 a 4u 4v w x b Sim 2u 2v 2w x c 10u 6v x d Nao e a 3bu bv a b f Existem infinitas formas de obter vetores atraves de combinacoes lineares de u v e w Por outro lado apenas com os vetores u e v obtemos uma maneira econˆomicade obter todos os vetores do plano atraves de combinacoes lineares 4 a Nao Como u e paralelo a v qualquer combinacao linear de u e v resulta em um vetor paralelo a ambos b Sim pois w e paralelo a u e a v Neste caso w 2 6α 3 u αv para todo α R Em particular w 2 3u 0v 0u 12v c Apenas se w e paralelo a u e a v d Como u e paralelo a v qualquer combinacao linear de u e v resulta em um vetor paralelo a ambos 5 a LD b LD c LI d LD e LD f LI 6 λ 2 Versao de 17 de novembro de 2023 3 httpwwwdmcefetmgbr 7 a Verdadeiro b Falso pois este e um conjunto com 4 vetores no espaco R3 c Falso pois o vetor nulo pertence a este conjunto d Falso pois esses vetores sao coplanares e Verdadeiro pois esses vetores nao sao coplanares f Verdadeiro pois os vetores nao sao paralelos Versao de 17 de novembro de 2023 4 httpwwwdmcefetmgbr