Análise da Função de Sensação Térmica em Função da Temperatura e Velocidade do Vento

141 1 No Exemplo 2 consideramos a função W fT v onde W era o índice de sensação térmica T é a temperatura real e v é a velocidade do vento A representação numérica foi fornecida pela Tabela 1 a Qual é o valor de f15 40 Qual é o seu significado b Descreva em palavras o significado da questão Para quais valores de v é verdade que f20 v 30 Em seguida responda à questão c Descreva o significado da questão Para quais valores de T é verdade que fT 20 49 Em seguida responda à questão d Qual o significado da função W f5 v Descreva seu comportamento e Qual o significado da função W fT 50 Descreva seu comportamento a Observando na tabela podemos ver que f1540 27 Isso significa que a uma temperatura de 15ºC com ventos de 40kmh tem uma sensação térmica de 27ºC Passo 2 b A pergunta busca achar para uma temperatura constante T 20ºC a velocidade do vento para que tenhamos uma sensação de 30ºC Olhando a tabela temos que para a linha onde T 20ºC a velocidade que obedece f20v 30 é v 20kmh Passo 3 c A pergunta busca achar para uma velocidade constante v 20kmh a temperatura para que tenhamos uma sensação de 49ºC Olhando a tabela temos que para a coluna onde v 20kmh a temperatura que obedece fT20 49 é T 35ºC Passo 4 d Se olharmos a função W fT v temos uma função de duas variáveis para a sensação térmica o que significa que a sensação depende de duas variáveis Se pegarmos W f5 v estamos fixando uma das variáveis e um valor constante e então a função agora é de apenas uma variável Para descrevemos o seu comportamento vamos olhar na tabela onde T 5ºC a sensação está diminuindo mas nas primeiras colunas a taxa de decremento é maior que no final então a taxa está aumentando a um resultado em uma relação não linear Passo 5 e Assim como no item anterior se pegarmos W fT 50 estamos fixando uma das variáveis a um valor constante e então a função agora é de apenas uma variável Para descrevemos o seu comportamento vamos olhar na tabela onde v 50kmh a sensação está diminuindo a uma taxa quase linear 3 Um fabricante modelou sua função P da produção anual o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares como uma função de CobbDouglas PL K 147L065K035 onde L é o número de horas trabalhadas em milhares e K é o capital investido em milhões de dólares Encontre P120 20 e interpreteo Passo 1 A questão forneceu a função de produção P e pede para acharmos seu valor quando L 120 e K 20 Para isso basta substituir na expressão da função P120 20 14712006520035 Fazendo as contas com auxílio de um calculadora P120 20 942 Passo 2 Desta forma o valor monetário da produção naquele ano foi de 942 milhões de dólares 5 Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função S Sw h 01091w0425h0725 onde w é o peso em libras h é a altura em polegadas e S é medida em pés quadrados a Encontre f160 70 e interpretea b Qual é sua própria área de superfície O problema forneceu uma função que dá a área da superfície do corpo humano em função do peso e da altura h No item a devemos calcular para w 160 e h 70 f160 70 010911600425700725 Fazendo as contas numa calculadora você encontra f160 70 205 Assim a área dessa pessoa é 205 pés quadrados O item b é mais divertido pois devemos calcular a área superficial do nosso próprio corpo Como eu não quero entregar meu peso vamos chutar algo em torno de 70 kg e 170 m de altura Recorendo ao google para fazer a conversão de unidades obtive w 154 e h 67 Assim f154 67 010911540425670725 Portanto f154 67 195 A altura h de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento v e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade Os valores da função h fv t dados em metros são apresentados na Tabela 4 Seja gx y cosx 2y a Calcule g2 1 b Determine o domínio de g c Determine a imagem de g Seja fx y z x y z ln4 x² y² z² a Calcule f1 1 1 b Determine o domínio de f fx y 1 x² y² Queremos determinar o domínio de fx y Ou seja queremos saber que valores de x y que podem ser usados para que fx y seja real Para definir o domínio é melhor olhar para as restrições fx y 1 x² y² Logo 1 x² y² 0 x² y² 1 Passo 2 Logo o domínio é definido por D x y x² y² 1 Queremos determinar o domínio de fx y Ou seja queremos saber que valores de x y que podem ser usados para que fx y seja real Para definir o domínio é melhor olhar para as restrições fx y 1 x² 1 y² Temos duas restrições aqui uma para cada raiz 1 1 x² 0 x² 1 1 x 1 2 1 y² 0 y² 1 1 y 1 Logo o domínio é definido por D x y 1 x 1 e 1 y 1 fx y y x² 1 x² Queremos determinar o domínio de fx y Ou seja queremos saber que valores de x y que podem ser usados para que fx y seja real Para definir o domínio é melhor olhar para as restrições fx y y x² 1 x² Temos duas restrições aqui uma para a raiz e outra para o denominador 1 y x² 0 y x² 2 1 x² 0 x² 1 1 x 1 Logo o domínio é definido por D x y y x² e x 1 fx y 10 4x 5y Logo z 10 4x 5y 4x 5y z 10 Tratase da equação de um plano Passo 2 Sabemos que três pontos definem um plano Logo basta achar quaisquer três pontos que satisfaçam a equação 4x 5y z 10 Por tentativas percebese que os pontos 25 0 0 0 2 0 e 0 0 10 satisfazem a equação A figura abaixo representa esse plano fx y y² 1 Logo z y² 1 O gráfico corta o plano yz como uma parábola x pode assumir qualquer valor real Fala aí Precisamos escrever o gráfico dessa função Bom vamos começar reescrevendo a função desse jeitinho aqui z 9 x² 9y² Vamos modificar mais uma coisa Vamos reescrever de forma que esse 9 fique no denominador ok z 9 x² y²1y E observando os sinais de x e y que são negativos vemos que ele tem a concavidade voltada para baixo né E observando os valores que acompanham as incógnitas temos que o vértice dele é em 00 9 Show Agora a gente consegue ok Vai ficar assim fx y 4 4x² y² vamos reescrever como z 4 4x² y² z² 4 4x² y² 4x² y² z² 4 Essa é a equação da parte de cima de um elipsoide Passo 2 O gráfico fica assim Localize os pontos A e B no mapa da Montanha Solitária Figura 12 Como você descreveria o terreno perto de A É perto de B Sabemos ou não mas saberá agora que quanto mais próximas estão as curvas de nível umas das outras mais inclinado é o gráfico Logo o ponto A se localiza em um terreno mais ingreme e o ponto B em um terreno mais suaveplano Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível Basta fazer fx y k e depois ir variando k dando valores para representar algumas curvas de nível no mapa ATENÇÃO Como k é igual a uma raiz temos que k 0 5152 Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função e compareos 53 Uma placa fina de metal localizada no plano xy tem temperatura Tx y no ponto x y As curvas de nível de T são chamadas is térmicas porque todos os pontos em uma dessas curvas têm a mesma temperatura Faça o esboço de algumas isotérmicas seja função temperatura para dada por Tx y 100 1 x² 2y² 6568 Descreva as superfícies de nível da função 6970 Descreva como o gráfico de g é obtido a partir do gráfico de f 69 a gx y fx y 2 b gx y 2fx y c gx y fx y d gx y 2 fx y a Nesse primeiro item nossa função é a seguinte gx y fx y 2 Isso quer dizer que vamos pegar o gráfico de f e subir duas unidades isto é transladar em y duas unidades Passo 2 b Agora nossa função é a seguinte gx y 2fx y Como o resultado gx y é duas vezes fx y o que vamos fazer é para cada valor f considerarmos que o valor de g será a metade Passo 3 c Agora nossa função é a seguinte gx y fx y Para obtermos o gráfico de g basta refletirmos o gráfico com relação ao eixox pois para cada valor de f a g vale o 1 fx y Passo 4 d Por fim temos gx y 2 fx y