Estimativa da Derivada Direcional de Pressão e Temperatura na Austrália

É dado o mapa de contornos mostrando a pressão barométrica em hectopascals hPa na Austrália em 28 de dezembro de 2004 Estime o valor da derivada direcional da função pressão em Alice Springs na direção de Adelaide Quais são as unidades de medida O mapa de contorno mostra a temperatura máxima média em novembro de 2004 ºC Estime o valor da derivada direcional da função temperatura em Dubbo New South Wales na direção de Sydney Quais são as unidades Analisando o mapa temos Pressão barométrica em Adelaide 1023hPa Pressão barométrica em Alice Spring 1010hPa Pelo mapa a distância entre as duas cidades é de 25cm aproximadamente Pela escala dada embaixo do mapa temos 22cm 1500km 25cm x x 170455km A derivada direcional da pressão pode ser encontrada a partir do seguinte cálculo DₑP 10231010170455 0008 hPa Analisando o mapa temos que a região em que se encontra a cidade de Dubbo possui fronteira com as curvas de nível correspondentes a 30 C e 27 C Analisando a escala a gente chega à seguinte distância entre esses pontos 18 cm 300km 7 cm x x 120 km DₑT 2730120 0025 Ckm A derivada direcional de f num ponto a b em uma direção mathbfu qualquer é dada por Dmathbfufa b abla fa b cdot mathbfu Uma tabela de valores do índice de sensação térmica W fT v é dada no Exercício 3 da Seção 143 Usea para estimar o valor de DₑfT 20 30 onde u i j2 fx y y ex 0 4 heta frac2pi3 Para calcular Dₑf2030 vamos usar a equação Dₑfx y fₜx y fᵥx y Onde x y é o vetor direção unitário nesse caso f fT v e u 12 12 então DₑfT v fₜT v 12 fᵥT v 12 A derivada direcional de f num ponto a b em uma direção mathbfu qualquer é dada por Dmathbfufa b abla fa b cdot mathbfu Para isso vamos ter que estimar os valores de fₜ e fᵥ usando a tabela fₜT v lim h0 fT h v fT vh Como não temos a função para calcular o limite vamos usar o menor h que conseguimos para aproximar a derivada neste caso h 5 fx y sen2x 3y P6 4 u frac1sqrt3i j fₜ2030 f20 5 30 f20 305 f1530 f20305 26 335 fₜ2030 75 14 A questão pede para calcular o gradiente de f e sua derivada direcional num ponto Pa b na direção do vetor mathbfu Agora com h 5 fₜ2030 f20 5 30 f20 305 f2530 f20305 39 335 fₜ2030 65 12 A derivada direcional de f num ponto a b em uma direção mathbfu qualquer é dada por Tirando a média entre as duas fₜ2030 14 122 13 fx y z xeyz P3 0 2 u left frac13 frac23 frac13 right fx y ex sen y 0 π3 v 6 8 A derivada direcional de f num ponto a b em uma direção u unitário qualquer é dada por Du fa b fa b u Neste caso v não está normalizado v 36 64 10 Logo u vv 610 810 35 45 Passo 2 Tomando o gradiente de f fx y ex sen y ex cos y Assim com a b 0 π3 f0 π3 32 12 Portanto Du f0 π3 32 12 35 45 Logo Du f0 π3 4 3310 Substituindo na fórmula DₑfT v fₜT v 12 fᵥT v 12 Primeiramente encontramos as derivadas parciais das coordenadas da equação com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula gx y x4 p3y3 2 1 v i 3j Primeiramente encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula gx y gx gy Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula Duf gx y u Neste caso o vetor dado não é unitário então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor u Passo 2 Primeiro achamos as derivadas parciais gx 4x3 2p3 e gy 3q3p2 gx y gx gy 4p3 2p3 3q3p2 Passo 3 Agora substituímos na equação o ponto que foi dado g21 28 12 Para achar o vetor u vv 110 310 Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u como visto na fórmula apresentada no passo 1 Dug21 28 12 110 310 810 Dₑf2030 1312 0212 1112 abla fx y z fx fy fz fx y z xey yez ez 0 0 0 v 5 1 2 Primeiramente encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação com isso poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula Fx y z fx fy fz Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula Duf fx y z u Neste caso o vetor dado não é o unitário então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor u Passo 2 Primeiro achamos as derivadas parciais fx ey xez fy xey ez fz yey ez fx y z ey xez xey yey ez Passo 3 Agora substituímos na equação o ponto que foi dado f0 0 0 1 1 1 Para achar o vetor u vv 530 130 230 Passo 4 Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u como visto na fórmula apresentada no passo 1 Duf0 0 0 1 1 1 530 130 230 430 Dₑf2030 07778 Depois a partir do vetor gradiente e do vetor unitário podemos achar a derivada direcional pela fórmula hr s t ln3r 6s 9t 1 1 1 v 4i 12j 6k De forma semelhante vamos estimar fᵥ2030 mas o menor h que conseguimos é h 10 Dmathbfuf abla fx y z cdot mathbfu Determine a derivada direcional de fx y xy em P2 8 na direção de Q5 4 fᵥ2030 f2030 10 f2030h f2040 f203010 Passo 2 34 3310 110 01 Primeiro achamos as derivadas parciais Agora com h 10 fᵥ2030 f2030 10 f203010 f2020 f203010 fx eyz fy 2xe2yz fz 2xyeyz 30 3310 310 03 abla fx y z eyz 2xe2yz 2xy eyz Tirando a média fᵥ2030 01 032 02 Passo 3 Substituindo na fórmula DₑfT v fₜT v 12 fᵥT v 12 Agora substituímos na equação o ponto que foi dado Dₑf2030 1312 0212 1112 abla f3 0 2 e00 232e00 230e02 1 12 0 Dₑf2030 07778 Passo 4 Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário u como visto na fórmula apresentada no passo 1 Dmathbfuf3 0 2 1 12 0 cdot left frac13 frac23 frac13 right frac223