Análise de Limites em Funções Multivariáveis

Suponha que lim xy31 fx y 6 O que podemos dizer do valor de f3 1 E se a função f for contínua fx y fracx2y3 x3y2 52 xy limxy12 5x3 x2y2 9 limxy o 00 fracx4 4y4x2 2y2 11 limxy o 00 fracxy cos y3x2 y2 13 limxy o 00 fracxysqrtx2 y2 15 limxy o 00 fracx2y2sqrtx2 y2 17 limxy o 00 fracx2 y2sqrtx2 y2 1 1 19 limxy o 0pi ex gpi x 21 limxyz o 000 fracxy yz2 xz2x2 y2 z4 Vamos fatorar a função então fracx4 4y4x2 2y2 limxy o 00 fracx2 2y2x2 2y2x2 2y2 Agora nós cortamos e sobra limxy o 00 x2 2y2 Substituímos 02 202 0 fx y fracxy cos y3x2 y2 De cara já podemos ver que fx y não é contínua no ponto 00 já que o denominador seria igual a zero Passo 2 Para sabermos se existe limite vamos aproximar fx y ao longo do eixo x fx 0 fracx cdot 0 cdot cos 03x2 02 frac03x2 0 Agora vamos aproximar fx y ao longo da reta x y fx x fracx2 cos x3x2 x2 fracx2 cos x4x2 fraccos x4 Logo quando x o 0 fx x o frac14 Como fx y tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas o limite não existe fx y fracxysqrtx2 y2 De cara já podemos ver que fx y não é contínua no ponto 00 já que o denominador seria igual a zero Passo 2 Para sabermos se existe limite vamos aproximar fx y ao longo do eixo x para isso faremos y 0 fx 0 fracxsqrtx2 0 fracxsqrtx2 0 Analogamente f0 y f0 z frac0 cdot ysqrt0 y2 0 Agora vamos aproximar fx y ao longo da reta x y fx x fracxsqrtx x fracxsqrt2x fracxxsqrt2 Calculando o limite limx o 0 fracx2x sqrt2 0 Se aproximarmos fx y do ponto 00 ao longo da parábola y x2 temos fx x2 fracx cdot x2sqrtx2 x4 sqrtfracx4x21 x2 fracx2sqrt1 x2 Calculando o limite limx o 0 fracx41 x2 0 Logo há uma forte suspeita de que fracxysqrtx2 y2 0 Passo 3 Vamos verificar se fracxysqrtx2 y2 0 Sabemos que sqrtx2 y2 leq sqrtx2 y2 Logo fracysqrtx2 y2 leq sqrty2 leq sqrtx2 y2 Logo L fracxysqrtx2 y2 0 De cara já podemos ver que fx y não é continua no ponto 00 já que o denominador seria igual a zero O limite não existe Percebemos que se nos aproximamos do ponto 00 vindo pela direção do topo da montanha chegaremos num valor de função que difere se nos aproximarmos vindo por baixo da montanha Determine hx y gfx y e o conjunto no qual h é contínua gt t² t fx y 2x 3y 6