Cálculo de Derivadas Parciais Usando a Regra da Cadeia

z cosx 4y x 5t4 y 1t z 1 x² y² x ln t y cos t z x² y xy x sen t y et z tg yx x et y 1 et z ex2 x et y 1 et w xex x t2 y 1 t e z 1 2t E agora as outras derivadas são bem parecidas concorda É só trocar o numerador pra y e z z x3y x s cos t y sen t z arcsenx y x s2 r2 y 1 2st Dada a função z ex2y com x et e y frac1s devemos determinar fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t Para isso devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y Isto é fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t serão obtidos a partir da soma das derivadas parciais Veja fracpartial zpartial x ex2y 1 left fracsx2 right2 left frac1s right ex2y left frac2s right z er cos heta r st heta sqrt32 r2 Dada a função z er cos heta com r st e heta sqrt32 r2 devemos determinar fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t Para isso devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y Isto é fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t serão obtidos a partir da soma das derivadas parciais Veja fracpartial zpartial s fracpartial zpartial t z anleftfracuvright u 2s 3t v 3s 2t Dada a função z anleftfracuvright com u 2s 3t e v 3s 2t devemos determinar fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t Para isso devemos usar a regra da cadeia com relação às duas variáveis x e y Isto é fracpartial zpartial s e fracpartial zpartial t serão obtidos a partir da soma das derivadas parciais Veja fracpartial zpartial s sec2leftfracuvright cdot left frac2v cdot 2 left frac3v2 right cdot 3 right cdot 2 fracpartial zpartial t sec2leftfracuvright cdot left 1 left frac3v2 right cdot 2 right Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y e gu v feu senv eu cosv Use a tabela de valores para calcular g0 0 e gu00 Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y e gr s f2r s s2 4r Use a tabela de valores do Exercício 15 para calcular g2 12 A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas Caso isso ocorra é importante saber aplicar a regra da cadeia De um jeito prático pensamos em derivar a função de força primeiro e seguimos com as que a compõem internamente A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas Caso isso ocorra é importante saber aplicar a regra da cadeia De um jeito prático pensamos em derivar a função de fora primeiro e seguimos com as que a compõem internamente Seja a função w fr s t onde r rx y s sx y t tx y É importante destacar que as funções compostas dependem de mais de uma variável seguimos derivando normalmente mas temos de saber que teremos derivadas parciais A determinação da derivada de uma função em relação a uma variável pode envolver a derivação de funções compostas Caso isso ocorra é importante saber aplicar a regra da cadeia De um jeito prático pensamos em derivar a função de fora primeiro e seguimos com as que a compõem internamente Note que w é função de x y e z Mas estes são funções de r e θ Desta forma w é uma função composta Passo 2 24 P u² p² w² u xey v yex w ez Px 0 y 2 Portanto Px 0 e² 25 2 15 2 Logo Px 65 Analogamente Py 25 N p q p r p q r p u v w r u v Quando u 2 v 3 w 4 p 2 12 14 q 3 8 11 r 4 6 10 Np 1576 Nq 124 Nr 25576 Passo 3 Portanto Nu 20576 10288 5144 Logo Nv 30576 15288 596 Por fim Nw 20576 10288 5144 u xαβ y βγt t γx uα 0 quando α 1 β 2 γ 1 Note que u é função de x y e t Mas estes são funções de α β e γ Desta forma u é uma função composta uβ ux xα uy yα ut tα uα ux xβ uy yβ ut tβ uβ ux xγ uy yγ ut tγ Vamos tomar as derivadas com relação a x y e t ux ety uy xtety ut xyety Quando α 1 β 2 e γ 1 temos que x 2 y 4 t 1 Assim ux e4 uy 2e4 ut 8e4 Agora fazemos as derivadas de x y e t com relação a α β e γ xα 2αβ 4 xβ α2 1 e yγ 0 yβ 0 yβ 2γ 4 e yγ β2 4 tα γ2 1 tβ 0 e tγ 2αγ 2 Portanto uα ux xα uy yα ut tα e44 2e40 8e41 Logo uα 4e4 Analogamente uβ e41 2e44 8e40 7e4 Portanto uγ ux xγ uy yγ ut tγ e40 2e44 8e42 24e4 y cos x x2 y2 Ela diz que se y for dado implicitamente em função de x por meio de uma equação do tipo fx y 0 então dydx fyfx Neste caso temos fx y x2 y2 y cos x 0 Passo 2 Tomando as derivadas parciais fx 2x y sen x fy 2y cos x Assim dydx 2x y sen x2y cos x Ou ainda invertendo o sinal do denominador dydx 2x y sen xcos x 2y cosxy 1 sen y Ela diz que se y for dado implicitamente em função de x por meio de uma equação do tipo fx y 0 então dydx fx fy Neste caso temos fx y 1 sen y cosxy 0 Passo 2 Tomando as derivadas parciais fx y senxy fy cos y x senxy Assim dydx y senxy cos y x senxy tg1xy x xy2 Ela diz que se y for dado implicitamente em função de x por meio de uma equação do tipo fx y 0 então dydx fx fy Neste caso é mais interessante reescrever a equação com a função tangente x2y tanx xy2 Assim vamos tomar fx y tanx xy2 x2y 0 Passo 2 Tomando as derivadas parciais fx 1 y2sec2x xy2 2xy fy 2xysec2x xy2 x2 Assim dydx 1 y2sec2x xy2 2xy 2xysec2x xy2 x2 ex sen x x xy Ela diz que se y for dado implicitamente em função de x por meio de uma equação do tipo fx y 0 então dydx fx fy O primeiro passo é escolher f fx y x xy ey sen x 0 Passo 2 Tomando as derivadas parciais fx 1 y ey cos x fy x ey sen x Assim dydx 1 y ey cos x x ey sen x x² 2y² 3z² 1 ez xy