Análise de Vetores e Matrizes em Transformações Lineares

1 Verificar utilizando a definição se os vetores dados são vetores próprios das correspondentes matrizes a v 2 1 b T R2 R2 Txy x 2y x 4y c v 2 1 3 e T R3 R3 Txyz x y z 2y 2z b T R2 R2 Txy 2x 2y x 3y f T R3 R3 Txyz x 2x y 2x y 2z 2 Determinar os valores próprios e os vetores próprios das seguintes transformações lineares a T R2 R2 Txy2x2yx3y b T R3 R3 Txyzxyz c A 1 3 1 5 d A 2 3 3 2 e A 1 1 0 2 3 2 1 2 1 3 Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes a A 1 3 1 5 b A 2 3 3 2 c A 1 1 0 2 3 2 1 2 1 5 Os vetores v1 1 1 e v2 2 1 são vetores próprios de um operador linear T R2 R2 associados a λ1 5 e λ2 1 respectivamente Determinar a imagem do vetor v 4 1 por esse operador 6 a Determinar o operador linear T R2 R2 cujos valores próprios são λ1 1 λ2 3 associados aos vetores próprios v1 y y e v2 0 y respectivamente b Mesmo enunciado para λ1 3 λ2 2 e v1 1 2 v2 x1 0 11 Verificar se a matriz A é diagonalizável Caso seja determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P1 AP 12 Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A encontrar uma matriz ortogonal P para a qual PTAP seja diagonal a A 2 2 2 2 b A 3 1 1 3 14 Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P1 AP a A 5 3 3 3 b A 0 2 0 0 2 0 661 Respostas de Problemas Propostos 1 a sim b sim c não 2 a λ1 3 v1 yy λ2 2 v2 2yy b λ1 1 v1 y2 1 λ2 4 v2 x1 1 c λ1 λ2 1 v x1 1 e λ1 λ2 1 v x y y λ3 4 v3 x1 1 2 f λ1 1 v1 z3 3 1 λ2 1 v2 z0 3 1 λ3 2 v3 z0 0 1 3 a λ1 2 v1 y3 1 λ2 4 v2 y1 1 b λ1 1 v1 y y λ2 5 v2 x 3x c λ1 1 v1 x 0 x λ2 2 v2 2z 2z z λ3 3 v3 x 2x x 5 8 11 6 a Tx y x 2x 3y b Tx y 2x 52y 3y 11 a P 1 4 1 3 P1 AP 2 0 0 5 b P 1 1 1 4 P1 AP 10 0 0 5 13 a P 1sqrt2 1sqrt2 1sqrt2 1sqrt2 b P 1sqrt2 0 0 1sqrt2 14 a P 1sqrt2 1sqrt2 1sqrt2 1sqrt2 PTAP 8 0 0 2 b P 1sqrt2 0 0 1sqrt2 PTAP 2 0 0 1 0 0 0 2