Aula 10: Derivadas de Funções Trigonométricas - Limites Fundamentais

Calculo Diferencial e Integral I Aula 10 Derivadas de funcoes trigonometricas Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 Limite fundamental trigonometrico O seguinte e conhecido como limite fundamental trigonometrico lim θ0 senθ θ 1 Ele e consequˆencia da seguinte desigualdade valida para θ 0 pequeno 0 θ π2 1 2 cos θsenθ 1 2θ 1 2 tan θ 1 2 senθ cos θ Ela e obtida comparando no cırculo trigonometrico a area do setor circular definido pelo ˆangulo θ 1 2θ com as areas de dois triˆangulos retˆangulos um inscrito e outro circunscrito ao setor Limite fundamental trigonometrico O seguinte e conhecido como limite fundamental trigonometrico lim θ0 senθ θ 1 Ele e consequˆencia da seguinte desigualdade valida para θ 0 pequeno 0 θ π2 1 2 cos θsenθ 1 2θ 1 2 tan θ 1 2 senθ cos θ Ela e obtida comparando no cırculo trigonometrico a area do setor circular definido pelo ˆangulo θ 1 2θ com as areas de dois triˆangulos retˆangulos um inscrito e outro circunscrito ao setor Limite fundamental trigonometrico 1 2 cos θsenθ 1 2θ 1 2 tan θ 1 2 senθ cos θ 1 1 1 1 Limite fundamental trigonometrico Temos cos θ θ senθ 1 cos θ O limite fundamental trigonometrico segue do Teorema do sanduıche uma vez que limθ0 cos θ 1 Exemplo Calcule limθ0 sen7θ 4θ Limite fundamental trigonometrico Temos cos θ θ senθ 1 cos θ O limite fundamental trigonometrico segue do Teorema do sanduıche uma vez que limθ0 cos θ 1 Exemplo Calcule limθ0 sen7θ 4θ Limite fundamental trigonometrico Temos cos θ θ senθ 1 cos θ O limite fundamental trigonometrico segue do Teorema do sanduıche uma vez que limθ0 cos θ 1 Exemplo Calcule limθ0 sen7θ 4θ Limite fundamental trigonométrico Pm O seguinte limite 6 consequéncia do limite fundamental trigonométrico g1 in Et o 00 0 Limite fundamental trigonométrico Pm O seguinte limite 6 consequéncia do limite fundamental trigonométrico lim SSP 1 00 0 Basta usar o seguinte cos1 cos 1 cos 1 0 0 cos6 1 cos 9 1 cos6 1 sen Ocos 1 send sené 0 seé0 S Sn 1 0 Derivada da funcao seno Temos senx cos x dx Derivada da funcao seno Temos senx senx cos x dx Se fx senx aplicando a formula do seno da soma temos senx h senx f lim A7A x 0 h cosh1 senh lim senx cos x h0 h h cosh1 senh senx lim cosx lim h0 h ho A ce L 0 1 cosx Seno da soma senx h senx cos h cos xsenh Derivadas das funcoes trigonometricas De maneira analoga podemos demonstrar que d dx cos x senx Nesse caso usamos na demonstracao a formula do cosseno da soma cosx h cos x cos h senxsenh Exemplo Um objeto preso na extremidade de uma mola vertical tem seu movimento em relacao ao tempo t descrito pela funcao f t 4 cos t Calcule em funcao de t a velocidade e a aceleracao desse objeto Exemplo Seja f x cos x Calcule f 27x Derivadas das funcoes trigonometricas De maneira analoga podemos demonstrar que d dx cos x senx Nesse caso usamos na demonstracao a formula do cosseno da soma cosx h cos x cos h senxsenh Exemplo Um objeto preso na extremidade de uma mola vertical tem seu movimento em relacao ao tempo t descrito pela funcao f t 4 cos t Calcule em funcao de t a velocidade e a aceleracao desse objeto Exemplo Seja f x cos x Calcule f 27x Derivadas das funcoes trigonometricas De maneira analoga podemos demonstrar que d dx cos x senx Nesse caso usamos na demonstracao a formula do cosseno da soma cosx h cos x cos h senxsenh Exemplo Um objeto preso na extremidade de uma mola vertical tem seu movimento em relacao ao tempo t descrito pela funcao f t 4 cos t Calcule em funcao de t a velocidade e a aceleracao desse objeto Exemplo Seja f x cos x Calcule f 27x Derivadas das funcoes trigonometricas Usando a regra do quociente temos d dx tan x sec2 x Lembrando sec x 1 cos x cossecx 1 senx sao as funcoes secante e cossecante Vale a seguinte identidade tan2 x 1 sec2 x Definimos ainda a funcao cotangente cotanx cos x senx 1 tan x quando tan x 0 Derivadas das funcoes trigonometricas Usando a regra do quociente temos d dx tan x sec2 x Lembrando sec x 1 cos x cossecx 1 senx sao as funcoes secante e cossecante Vale a seguinte identidade tan2 x 1 sec2 x Definimos ainda a funcao cotangente cotanx cos x senx 1 tan x quando tan x 0 Derivadas das funcoes trigonometricas Usando a regra do quociente temos d dx tan x sec2 x Lembrando sec x 1 cos x cossecx 1 senx sao as funcoes secante e cossecante Vale a seguinte identidade tan2 x 1 sec2 x Definimos ainda a funcao cotangente cotanx cos x senx 1 tan x quando tan x 0 Derivadas das funcoes trigonometricas Temos as seguinte formulas d dx sec x sec x tan x d dx cossecx cossecx cotanx d dx cotanx cossec2x Exemplo Seja f x sec x 1 tan x Para quais valores de x o grafico de f tem tangente horizontal Derivadas das funcoes trigonometricas Temos as seguinte formulas d dx sec x sec x tan x d dx cossecx cossecx cotanx d dx cotanx cossec2x Exemplo Seja f x sec x 1 tan x Para quais valores de x o grafico de f tem tangente horizontal Derivadas das funcoes trigonometricas Temos as seguinte formulas d dx sec x sec x tan x d dx cossecx cossecx cotanx d dx cotanx cossec2x Exemplo Seja f x sec x 1 tan x Para quais valores de x o grafico de f tem tangente horizontal Derivadas das funcoes trigonometricas Temos as seguinte formulas d dx sec x sec x tan x d dx cossecx cossecx cotanx d dx cotanx cossec2x Exemplo Seja f x sec x 1 tan x Para quais valores de x o grafico de f tem tangente horizontal Resumo derivadas das funcoes trigonometricas senx cos x cossecx cossecx cotanx cos x senx sec x sec x tan x tan x sec2 x cotanx cossec2x