Aula 24: Integrais Indefinidas - Teorema Fundamental do Cálculo

Calculo Diferencial e Integral I Aula 24 Integrais indefinidas Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 Teorema fundamental do calculo Vamos recordar o enunciado do teorema fundamental do calculo Teorema Se fx for continua no intervalo a b entao a funao ax Float x fab é continua em a b derivavel em ab e para todo x ab gx Fx Teorema fundamental do calculo Vamos recordar o enunciado do teorema fundamental do calculo Teorema Se fx for continua no intervalo a b entao a funao ax Float x fab é continua em a b derivavel em ab e para todo x ab g x fx Ou seja a funcdo gx é uma primitiva para o integrando fx Teorema fundamental do calculo 2 versao A segunda versdo do teorema fundamental do calculo deixa claro como usar primitivas para calcular integrais definidas Teorema Se fx for continua no intervalo a b entao b f xdx Fb Fa onde Fx é uma primitiva de fx ou seja uma funao tal que Fx Fx Integrais indefinidas Definicao Seja f R uma funcao continua onde é um intervalo A integral indefinida de fx é a familia de todas as suas primitivas no intervalo Ela é denotada por feide Integrais indefinidas Definicao Seja f R uma funcao continua onde é um intervalo A integral indefinida de fx é a familia de todas as suas primitivas no intervalo Ela é denotada por feide Assim fli Fx onde Fx é tal que Fx fx para todo x EleceER Integrais indefinidas Ou seja 1 d 1 24 y3 y3 x2 ea 5 c 3 e x Integrais indefinidas Ou seja 1 d 1 24 3 iis 2 ea 5 c Ge e x Ou ainda 2 d 2 xdxtanxc a tanx sec x Propriedades de integrais indefinidas Segue de um resultado ja provado para primitivas os seguintes Proposicao Sejam fx e gx fungdes continuas em um intervalo e sejaa R uma constante Entdo a Fx gxdx f Fxdx f gxdx b af xdx a f fxdx Propriedades de integrais indefinidas Segue de um resultado ja provado para primitivas os seguintes Proposicao Sejam fx e gx fungdes continuas em um intervalo e sejaa R uma constante Entdo a JFx gxdx J Fxdx J gxdx b af xdx a f fxdx Evidentemente Propriedades de integrais indefinidas Segue de um resultado ja provado para primitivas os seguintes Proposicao Sejam fx e gx fungdes continuas em um intervalo e sejaa R uma constante Entdo a JFx gxdx f Fxdx f gxdx b af xdx a f fxdx Evidentemente Temos se a R é uma constante a rdeaxre Jadea de axe Tabela de integrais indefinidas xtdx 1 yt ye fod Inx c n1 x aX ferdx ec fadx c Ina J senx dx cosx c cosx dx senx J sec x dx tanx c J cossecx dx cotanx f sec x tanx dx c sec x f cossecx cotanx dx cossecx f 1 ox arctanx c f i arcsenx 1 x20 V1x2 nx 1 Integrais indefinidas Exemplo Calcule ao 2sec xdx Solucao ao 2secxdx 10 x4 2 sec xdx 2tanx C 2x 2tanxC Integrais indefinidas 3 Exemplo Calcule 2 6x zn dx 0 x 1 Solucao Temos que 1 4 2 Fx 5 3x 3arctan x ae 3 3 é uma primitiva para fx 2x 6x al Como f é continua x no intervalo 02 segue pelo teorema fundamental do calculo TFC 2x 6x dx F2F0 e hay 2 0 4 3arctan2 Integrais indefinidas 9542 1 42 2t tVt1 Exemplo Calcule PEt EVE hy 1 2t tt1 Solucgao Seja fx orev Veja que ot t7t1 1 p 2 Vt Logo 2 1 Fx 2x 43 4 x 2x 50 é uma primitiva para f Como f é continua em 19 entao pelo TFC 9542 1 42 2t trVt1 ait evenly F9F1 1 t 292 9 Variacao total Dada uma fungao F a b R sua variagao total no intervalo a b 6 Fb Fa Variacao total Dada uma fungao F a b R sua variagao total no intervalo a b é Fb Fa O Teorema fundamental do calculo também tem a seguinte interpretacao a variacao total de uma funcdo é a integral de sua taxa de variacao Ou seja b Fb Fa fxdx onde fx Fx Variacao total Se st Ft é a funcdo posigao de um objeto que se move ao longo de uma reta o deslocamento ou seja a variacao da posicao entre os tempos t ae t b é a integral da funcdo velocidade vt st Ft b sb sa vtdt a Variacao total Se st Ft é a funcdo posigao de um objeto que se move ao longo de uma reta o deslocamento ou seja a variacao da posicao entre os tempos t ae t b é a integral da funcdo velocidade vt st Ft b sb sa vtdt a A distancia total percorrida nao é necessariamente igual a variaao da posicdo Para calculdla temos que considerar os intervalos onde a velocidade é positiva e negativa Ela sera igual a area entre o grafico e o eixo x calculada como b distancia percorrida vtdt a Variacao total Se st Ft é a funcdo posigao de um objeto que se move ao longo de uma reta o deslocamento ou seja a variacao da posicao entre os tempos t ae t b é a integral da funcdo velocidade vt st Ft b sb sa vtdt a A distancia total percorrida nao é necessariamente igual a variaao da posicdo Para calculdla temos que considerar os intervalos onde a velocidade é positiva e negativa Ela sera igual a area entre o grafico e o eixo x calculada como b distancia percorrida vtdt a A variacao da velocidade entre os tempos t aetbéa integral da fundo aceleracdo at vt b vb va atdt a Variacao total Exemplo Uma particula se move ao longo de uma reta com funcao velocidade vt t t 6 em ms a Qual é 0 deslocamento da particula no intervalo de tempo 1t4 Variacao total Exemplo Uma particula se move ao longo de uma reta com funcao velocidade vt t t 6 em ms a Qual é 0 deslocamento da particula no intervalo de tempo 1t4 Solucao 4 4 vtdt t t 6dt 1 1 Be 2 6t 3 2 1 43 42 13 12 6461 F 384 F564 9 7 2 Isso significa que a particula moveuse 45m no sentido negativo da reta Variacao total b Qual é a distancia percorrida neste intervalo de tempo Variacao total b Qual é a distancia percorrida neste intervalo de tempo Solucao Veja que vt t t 6 t 3t 2 entdo vt Ose t 3 4 e vt Ose t 1 3 4 3 4 vtdt vejae f vtdt 1 1 3 3 4 P 6a t t 6dt 1 3 8B 2 e Te 2 6t 6t Pst atehs2 a ol 6 Variacao total Suponha que uma barra linear tenha sua massa medida a partir de uma das extremidades igual a mx Fx Entao a massa dos segmento da barra entre x ae x b éa integral da funcao densidade linear px mx Fx b mb ma pxdx Se Cx Fx é 0 custo para se produzir x unidades de um produto entdo a variacdo do custo para se aumentar a producdo de X1 para x2 unidades é a integral do custo marginal Cx Fx b Cx Cx Cxdx