Aula 21: Integrais, Áreas e Distâncias - Cálculo Diferencial e Integral I

Calculo Diferencial e Integral I Aula 21 Integrais areas e distˆancias Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 O problema da area Seja f a b R uma funcao contınua tal que f x 0 x Temos o seguinte Problema Calcular a area da regiao S abaixo do grafico de f acima do eixo x entre x a e x b a b O problema da area A ideia e aproximar a regiao curvilınea abaixo do grafico por uma poligonal Procedemos da seguinte maneira Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento x ba n onde n N e um numero fixado a x0 x1 x2 xk1 xk xn1 xn b Uma subdivisao como essa e chamada de particao do intervalo a b O kesimo intervalo k 1 n e xk1 xk Com base no kesimo intervalo construımos o retˆantulo Rk de altura f xk O problema da area A ideia e aproximar a regiao curvilınea abaixo do grafico por uma poligonal Procedemos da seguinte maneira Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento x ba n onde n N e um numero fixado a x0 x1 x2 xk1 xk xn1 xn b Uma subdivisao como essa e chamada de particao do intervalo a b O kesimo intervalo k 1 n e xk1 xk Com base no kesimo intervalo construımos o retˆantulo Rk de altura f xk O problema da area A ideia e aproximar a regiao curvilınea abaixo do grafico por uma poligonal Procedemos da seguinte maneira Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento x ba n onde n N e um numero fixado a x0 x1 x2 xk1 xk xn1 xn b Uma subdivisao como essa e chamada de particao do intervalo a b O kesimo intervalo k 1 n e xk1 xk Com base no kesimo intervalo construımos o retˆantulo Rk de altura f xk O problema da area A ideia e aproximar a regiao curvilınea abaixo do grafico por uma poligonal Procedemos da seguinte maneira Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento x ba n onde n N e um numero fixado a x0 x1 x2 xk1 xk xn1 xn b Uma subdivisao como essa e chamada de particao do intervalo a b O kesimo intervalo k 1 n e xk1 xk Com base no kesimo intervalo construımos o retˆantulo Rk de altura f xk O problema da area A ideia e aproximar a regiao curvilınea abaixo do grafico por uma poligonal Procedemos da seguinte maneira Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento x ba n onde n N e um numero fixado a x0 x1 x2 xk1 xk xn1 xn b Uma subdivisao como essa e chamada de particao do intervalo a b O kesimo intervalo k 1 n e xk1 xk Com base no kesimo intervalo construımos o retˆantulo Rk de altura f xk O problema da área Área de Rk fxkxk xk1 y fx fxk a x0 x1 xk xn1 b xn R1 R2 Rk Rn1 Rn A área da poligonal é dada pela soma das áreas de todos os retângulos An Área da poligonal ARk fxkxk xk1 k1 n k1 fxkΔx onde Δx b an é o comprimento de cada intervalo da partição A área da poligonal é dada pela soma das áreas de todos os retângulos An Área da poligonal ARk fxkxk xk1 k1 n k1 fxkΔx onde Δx b an é o comprimento de cada intervalo da partição A ideia é que quanto maior n ou seja quanto maior for o número de subintervalos da partição mais próxima é An da área AS da região curvilínea S Ou seja se n é grande AS fxkxk xk1 fxkΔx O problema da área Poderíamos também na construção anterior produzir os retângulos Rk com altura igual a fxk1 f calculada no ponto inicial do intervalo xk1xk O problema da área Poderíamos também na construção anterior produzir os retângulos Rk com altura igual a fxk1 f calculada no ponto inicial do intervalo xk1xk Nesse caso a área da poligonal seria An Área da poligonal n k1 ARk n k1 fxk1xk xk1 n k1 fxk1Δx onde Δx ban é o comprimento de cada intervalo da partição O problema da área fxk1 Área de Rk fxk1xk xk1 y fx Rk fxk1xk xk1 a x0 x1 xk1 xn1 b xn R1 R2 Rk Rn1 Rn O problema da área O problema da área O problema da área O problema da área Definição A área da região S abaixo do gráfico de uma função contínua f ab ℝ com f 0 é dada por AS lim n n k1 fxkΔx ou seja é calculada como limite das somas de Riemann associadas a partições de ab em n subintervalos iguais e à escolha de um ponto xk no késimo subintervalo Definição A área da região S abaixo do gráfico de uma função contínua f ab ℝ com f 0 é dada por AS lim n n k1 fxkΔx ou seja é calculada como limite das somas de Riemann associadas a partições de ab em n subintervalos iguais e à escolha de um ponto xk no késimo subintervalo Quando a função f é contínua provase que esse limite existe e não depende da escolha dos pontos x O problema da area Exemplo Use aproximacoes poligonais para estimar a area abaixo da parabola y x2 entre x 0 e x 1 httpswwwgeogebraorgmRCVce5W4 O problema da area Exemplo Use aproximacoes poligonais para estimar a area abaixo da parabola y x2 entre x 0 e x 1 httpswwwgeogebraorgmRCVce5W4 Cálculo a área da região S abaixo de y x² entre x 0 e x 1 Fazemos a partição do intervalo 01 em n subintervalos iguais 0 frac1n frac2n cdots frack1n xk1 frackn cdots fracn1n fracnn 1 O késimo intervalo é xk1xk frack1nfrackn para k 1ldotsn A área do retângulo Rk é ARk fxkxk xk1 ffracknfrackn frack1n ffracknfrac1n frackn2frac1n frack2n3 Portanto a aproximação da área é dada por As sumk1n ARk sumk1n frack2n3 frac1n3 sumk1n k2 Temos a seguinte fórmula sumk1n k2 12 22 cdots n2 fracnn12n16 Logo As frac1n3 fracnn12n16 Portanto As limn o infty fracnn12n16n3 frac2n36n3 frac13 Suponha que uma partícula se mova em uma reta com função velocidade vt 0 entre os tempos t a e t b Queremos calcular a distância percorrida nesse intervalo de tempo O problema da distância Suponha que uma partícula se mova em uma reta com função velocidade vt 0 entre os tempos t a e t b Queremos calcular a distância percorrida nesse intervalo de tempo Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento Δt b an a t0 t1 t2 tk1 tk tn1 tn b O problema da distância Suponha que uma partícula se mova em uma reta com função velocidade vt 0 entre os tempos t a e t b Queremos calcular a distância percorrida nesse intervalo de tempo Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento Δt b an a t0 t1 t2 tk1 tk tn1 tn b Em cada subintervalo tk1 tk escolhemos um ponto tk Se vt é contínua e n é grande podemos supor por aproximação que a velocidade no intervalo tk1 tk é constante igual a vtk O problema da distância Suponha que uma partícula se mova em uma reta com função velocidade vt 0 entre os tempos t a e t b Queremos calcular a distância percorrida nesse intervalo de tempo Dividimos o intervalo a b em n intervalos iguais de comprimento Δt b an a t0 t1 t2 tk1 tk tn1 tn b Em cada subintervalo tk1 tk escolhemos um ponto tk Se vt é contínua e n é grande podemos supor por aproximação que a velocidade no intervalo tk1 tk é constante igual a vtk Assim a distância dk percorrida entre os tempos tk1 e tk é aproximadamente dk vtktk tk1 vtkΔt O problema da distância A distância total percorrida entre t a e t b será aproximadamente d k1n dk k1n vtktk tk1 k1n vtkΔt Essa aproximação é tanto melhor quanto maior o número n de subintervalos da partição Observe que lado direito dessa expressão é uma soma de Riemann da função vt O problema da distância A distância total percorrida entre t a e t b será aproximadamente d k1n dk k1n vtktk tk1 k1n vtkΔt Essa aproximação é tanto melhor quanto maior o número n de subintervalos da partição Observe que lado direito dessa expressão é uma soma de Riemann da função vt Assim temos d limn k1n vtkΔt O problema da distância A distância total percorrida entre t a e t b será aproximadamente d k1n dk k1n vtktk tk1 k1n vtkΔt Essa aproximação é tanto melhor quanto maior o número n de subintervalos da partição Observe que lado direito dessa expressão é uma soma de Riemann da função vt Assim temos d limn k1n vtkΔt Provase que esse limite existe quando vt é contínua e não depende da escolha dos pontos tk O problema da distância A ditância total percorrida entre t a e t b será aproximadamente d k1n dk k1n vtktk tk1 k1n vtkΔt Essa aproximação é tanto melhor quanto maior o número n de subintervalos da partição Observe que lado direito dessa expressão é uma soma de Riemann da função vt Assim temos d limn k1n vtkΔt Provase que esse limite existe quando vt é contínua e não depende da escolha dos pontos tk Segue da discussão feita a respeito de áreas que a distância percorrida é igual à área abaixo do gráfico da função velocidade