Teorema Fundamental do Cálculo: Demonstração e Exemplos

Calculo Diferencial e Integral I Aula 23 Teorema fundamental do calculo Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 O seguinte resultado é conhecido como teorema fundamental do cálculo Ele faz a conexão entre as noções de derivada e integral e com isso nos dá ferramentas para calcular integrais Teorema Se fx for contínua no intervalo a b então a função gx x a ftdt x a b é contínua em a b derivável em a b e para todo x a b gx fx y ft gx x a ftdt a x b y Demonstração Dado x a b queremos mostrar que lim h0 gx h gx h fx Demonstração do teorema fundamental do cálculo Demonstracao do teorema fundamental do calculo a b Continuação da demonstração Vamos supor h 0 o caso h 0 é similar Sejam m e M respectivamente os valores mínimo e máximo de f no intervalo x x h Eles existem pois f é contínua Tome tm tM x x h tais que ftm m e ftM M Temos m gt M para todo t x x h Continuação da demonstração Vamos supor h 0 o caso h 0 é similar Sejam m e M respectivamente os valores mínimo e máximo de f no intervalo x x h Eles existem pois f é contínua Tome tm tM x x h tais que ftm m e ftM M Temos m gt M para todo t x x h Logo mh xxh ftdt Mh m 1h xxh ftdt M Ou seja ftm 1h xxh ftdt ftM Demonstracao do teorema fundamental do calculo Continuacao da demonstracao Em x a e x b o argumento anterior mostra que exitem derivadas laterais nesses pontos a direita em x a a esquerda em x b Portanto gx e contınua nesses pontos Teorema Fundamental do Cálculo Exemplos Exemplos Calcule a derivada de gx x₀ 1 t²dt Demonstração do teorema fundamental do cálculo Continuação da demonstração Vamos supor h 0 o caso h 0 é similar Sejam m e M respectivamente os valores mínimo e máximo de f no intervalo x x h Eles existem pois f é contínua Tome tm tM x x h tais que ftm m e ftM M Temos m gt M para todo t x x h Logo mh xh x ftdt Mh m 1h xh x ftdt M Ou seja ftm 1h xh x ftdt ftM Mas quando h 0 temos que tm tM x e ftm ftM fx pois f é contínua Aplicando o teorema do sanhuíche concluímos que 1h xh x ftdt fx se h 0 Exemplo Calcule Exemplo Calcule O teorema fundamental do cálculo também pode ser enunciado na seguinte versão Demonstração Da primeira versão do teorema fundamental do cálculo temos que gx ₐˣ ftdt é tal que gx fx para todo x a b Ou seja gx é uma primitiva de fx Demonstração Da primeira versão do teorema fundamental do cálculo temos que gx ₐˣ ftdt é tal que gx fx para todo x a b Ou seja gx é uma primitiva de fx Temos para a primitiva gx gb ga gb ₐᵇ ftdt Demonstração Da primeira versão do teorema fundamental do cálculo temos que gx ₐˣ ftdt é tal que gx fx para todo x a b Ou seja gx é uma primitiva de fx Temos para a primitiva gx gb ga gb ₐᵇ ftdt Se Fx é outra primitiva de fx temos que existe c ℝ tal que Fx gx c para todo x a b Demonstração do teorema fundamental do cálculo 2ª versão Demonstração Da primeira versão do teorema fundamental do cálculo temos que gx ax ftdt é tal que gx fx para todo x a b Ou seja gx é uma primitiva de fx Temos para a primitiva gx gb ga gb ab ftdt Se Fx é outra primitiva de fx temos que existe c ℝ tal que Fx gx c para todo x a b Portanto Fb Fa gb c ga c gb ga ab ftdt Teorema fundamental do cálculo Exemplo Calcule 13 exdx Teorema fundamental do cálculo Exemplo Calcule 13 exdx Solução Observe que fx ex é contínua em 1 3 Além disso Fx ex é uma primitiva de f Logo pela segunda versão do TFC temos 13 exdx F3 F1 e3 e Teorema fundamental do cálculo Exemplo Calcule a área abaixo da parábola y x² entre x 0 e x 1 Solução A área procurada é A ₀¹ x² dx Temos que fx x² é contínua em 01 e Fx 13x³ é uma primitiva de f Logo pela segunda versão do TFC A ₀¹ x² dx F1 F0 123 0²3 13 Exemplo Calcule ₃⁶ 1x dx Teorema fundamental do cálculo Teorema fundamental do cálculo Teorema fundamental do cálculo