Aula 22: Integral Definida - Cálculo Diferencial e Integral I

Calculo Diferencial e Integral I Aula 22 Integral definida Turma Online Prof Rogerio Mol Universidade Federal de Minas Gerais 1o semestre 2020 O problema da área O problema da área A integral definida A integral definida Na expressão b a fxdx A integral definida Teorema Se f a b R for contınua entao f e integravel em a b O teorema continua verdadeiro se f tiver um numero finito de pontos de descontinuidade todos eles do tipo salto Uma descontinuidade do tipo salto e um ponto de a b em que f nao e contınua e onde todos limites laterais que fazem sentido existem Seja f a b R contínua Segue da definição de integral que se f é positiva em a b então b a fxdx AS onde S é a região abaixo do gráfico de f acima do eixo x entre x a e x b Seja f a b ℝ contínua Em geral se f assume tanto valores positivos como negativos dividimos a região entre o gráfico de de f e o eixo x entre x a e x b em duas regiões A integral definida Exemplo Calcule as integrais interpretando cada uma delas em termos de áreas Exemplo Calcule as integrais interpretando cada uma delas em termos de áreas A integral definida Na definição da integral definida ab fxdx assumimos que a b Quando o limite inferior é maior que o limite superior podemos estender essa definição fazendo ba fxdx ab fxdx Na definição da integral definida ab fxdx assumimos que a b Quando o limite inferior é maior que o limite superior podemos estender essa definição fazendo ba fxdx ab fxdx Quando o limite inferior é igual ao limite superior definimos aa fxdx 0 A integral definida tem as seguintes propriedades 1 ab cdx cb a onde c ℝ é constante Propriedades da integral definida Propriedades da integral definida Propriedades da integral definida Propriedades da integral definida A propriedade 1 é evidente As propriedades 2 e 3 seguem de fato de que propriedades análogas são válidas para as somas de Riemann No caso 2 k1nfxk gxkΔx k1n fxkΔx k1n gxkΔx A propriedade segue tomando limn Propriedades da integral definida A propriedade 1 é evidente As propriedades 2 e 3 seguem de fato de que propriedades análogas são válidas para as somas de Riemann No caso 2 k1nfxk gxkΔx k1n fxkΔx k1n gxkΔx A propriedade segue tomando limn No caso 3 k1ncfxkΔx c k1n fxkΔx Mais uma vez a propriedade segue tomando limn Propriedades da integral definida Exemplo Usando as propriedades de integral calcule 01 4 3x2dx Exemplo Usando as propriedades de integral calcule ₀¹ 4 3x² dx Temos a seguinte propriedade para a integração de uma função em intervalos adjacentes 4 ₐᶜ fx dx ₐᶝ fx dx ᶝᶜ fx dx onde a b c ℝ A₁ A₂ ₐᶜ fx dx y fx A₁ ₐᶝ fx dx A₂ ᶝᶜ fx dx Propriedades da integral definida Propriedades da integral definida Propriedades da integral definida Propriedades da integral definida As seguintes propriedades envolvem comparações de integrais 6 Se fx 0 para todo x a b então b a fxdx 0 Isso vem do fato que como f 0 a integral é uma área Portanto é 0 7 Se fx gx para todo x a b então b a fxdx b a gxdx Isso segue da propriedade anterior pois f g 0 Portanto b a fxdx b a gxdx b a fx gxdx 0 Propriedades da integral definida 8 Se m fx M para todo x a b então mb a b a fxdx Mb a Propriedades da integral definida 8 Se m fx M para todo x a b então mb a b a fxdx Mb a Isso segue da Propriedade 7 aplicada a f e às funções constantes m e M m fx M b a m dx b a fxdx b a Mdx