Distribuições Teóricas de Probabilidades: Modelos Discretos e Contínuos

Todos os direitos reservados Reprodução ou divulgação total ou parcial deste documento é expressamente proibida sem o meu consentimento formal por escrito autora deste material Distribuições teóricas de probabilidades 1 Modelos discretos a Distribuição Binomial b Distribuição de Poisson 2 Modelo contínuo a Distribuição Normal A probabilidade binomial é aplicável quando há repetição de um evento e para cada evento só será possível dois resultados mutuamente excludentes ou seja ocorrendo um deles o outro estará descartado Distribuição Binomial Fórmula n número de provas ou tentativas k número de ocorrências sucessos em n provas ou tentativas p probabilidade de o evento OCORRER sucesso em qualquer prova quando estiver em porcentagem p deverá ser expresso em decimais ou em fração q probabilidade do evento NÃO OCORRER fracasso em qualquer prova q 1 p indicação a variável X tem distribuição binomial com parâmetros n e p ou seja X Bnp EX np e VARX npq n k k k n k k k p q n n P k p q k n P k PROBABILIDADE COM PERMUTACAO POR BINOMIAL Da producao de pecas de uma determinada maquina 10 sao defeituosas Retiramse 5 pecas da producao dessa maquina Qual a probabilidade de que no maximo duas sejam boas R 000856 Pk 2boas P0P1P2 PDNDNDADNDPBADNADNADNDPR4 4PBNBADNDNDPR3 3 5 5 0101010101 0901010101775 0909010101 3 Pk 2 P0P1P2 09015 0910151 0920152 BINOMIAL olirr ce FAG 878 FG 8729 5 5 5 0 50 1 51 2 52 Pk i oka O15 0 2 01 iG pi 01 trea 01 000856 Exemplo 1 1 A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma Unica flecha é de 02 Se ele lanca 30 flechas no alvo qual a probabilidade de que a exatamente 4 acertem o alvo Resp 013252 b pelo menos 3 acertem o alvo Resp 095581 c Ex Varx desviox n k onk a Pk p q n 30 flechas 30 Pk45 0 240830 p02 30 4 1 9304 Pk 4 0 208 q 08 nao acerto 430 4 013252 Exemplo 1 Pik 4 a 20 8794 013252 41304 7 7 CIENTIFICA FINANCEIRA 30 4 304 0244084304 30 g3 enter 4 g3 enter 26 g3 enter 02 enter 4 yx enter 08 enter 26 yx Exemplo 1 k onk b pelo menos 3 acertem 0 alvo Resp 095581 PK 7 a q Pk 3 1Pk 3 1P0 P1 P2 30 0 300 30 1 301 30 2 302 02 0 8300 4 02 0 8301 4 5 02 08 4 30 0 300 30 1 301 30 2 302 1 5020 8309 0 210 8301 0 20 8302 1 000123794 000928455 003365649 1 004417898 095582102 1 30 Mer O 0 2 0 82 30 GEM O210829 30 HGH BLO 27 0828 Exemplo 1 c EX VARX e Desvio Padrão X Bnp Exemplo 2 2Uma empresa automobilística deseja analisar o funcionamento de uma válvula de motor O gerente de produção obteve a informação de que essa válvula tem a probabilidade de 40 de chance de funcionar por mais de 800 horas O gerente resolve testar um lote de 10 válvulas Qual a probabilidade de que exatamente 4 válvulas funcionem por mais de 800 horas Resolução n 10 número total de válvulas k 4 número para o qual queremos encontrar a probabilidade p 40 100 04 ocorrer ou sucesso q 60 100 06 ou q 1 04 não ocorrer ou fracasso pkqn k k n P k Exemplo 2 k k pk qn k n n P k 10 4 4 60 404 4 10 10 k P 6 4 60 40 1234 6 6789 10 k P 0 012 1234 789 10 k P Pk 02508 Pk 02508 100 2508 As válvulas tem 2508 de Chance de funcionarem por Mais de 800h pkqn k k n P k Exemplo 3 3 Dois times jogam entre si 6 vezes A probabilidade do time A vencer é de 13 Encontre a probabilidade do time A ganhar 4 jogos Resolucao I 6 1 4 2 64 Pik 4 n 6 jogos 644 3 3 k 4 vitorias 1 654 1 2 p 3 Vencer 214 az 3 7 1 2 65 14 lpl 21819 q P 3 3 30 1 4 120 TaD ee Exercício 1 Em uma empresa trabalham 15 secretárias Qual a probabilidade de 3 dessas secretárias serem canhotas sabendose que 10 das pessoas da empresa são canhotas Resolução n 15 secretárias k 3 canhotas p 10 canhotas q 90 não canhotas 01285 90 103 3 15 15 3 15 3 3 P k Exercicio 2 Em um escritorio de advocacia foi proposta uma estratégia para saber quantos estagiarios poderiam adquirir LER lesao por esforco repetitivo com o uso de teclados inadequados Dos 25 estagiarios qual a probabilidade de que exatamente 4 adquiram LER sabendose que 15 dos estagiarios estado com esse problema R2110 Resolucao n 25 estagiarios k 4 adquiram LER Pk4 qo 154085254 p 15 tem LER 02110 25 4 4 q 85 nao tem Todos os direitos reservados Reprodução ou divulgação total ou parcial deste documento é expressamente proibida sem o meu consentimento formal por escrito autora deste material Exercício 3 Seja a população de pessoas de um município em que 70 são favoráveis a certo projeto municipal Qual a probabilidade de que numa amostra aleatória de 10 pessoas a nenhuma seja favorável ao projeto Resolução n 10 pessoas k 0 favorável p 70 favoráveis q 30 não favorável 0 30 700 0 10 10 0 10 0 0 P k Exercício 3 b Mais do que 8 sejam favoráveis ao projeto Resolução n 10 pessoas k 8 favoráveis então k 9 ou k 10 p 70 favorável q 30 não favorável 93 14 30 70 1010 10 10 30 70 99 10 10 10 9 8 10 10 10 10 9 9 P P P k Exercício 3 c Três pessoas não sejam favoráveis ao projeto Resolução n 10 pessoas k 3 não favoráveis p 30 não favorável q 70 favorável 2668 70 303 3 10 10 3 10 3 3 P k Exercício 3 d Menos do que duas pessoas sejam favoráveis ao projeto Resolução n 10 pessoas k 2 favoráveis então k 0 ou k 1 p 70 favorável q 30 não favorável 01 0 30 701 10 1 10 30 700 0 10 10 1 0 2 10 1 1 10 0 0 P P P k Exercício 3 e Pelo menos uma pessoa seja favorável ao projeto Resolução n 10 pessoas k 1 favoráveis então k 1 1 Pk 1 1 Pk 0 p 70 favorável q 30 não favorável 0 9999 0 0001 1 30 700 0 10 10 0 1 1 1 1 1 10 0 0 P P k P k Exercício 6 Em razão das altas taxas de juros uma empresa informa que 30 de suas contas a receber se encontram vencidas Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra de cinco contas qual a probabilidade de que a nenhuma conta esteja vencida R 1681 b exatamente duas contas estejam vencidas R 3087 c exatamente 20 das contas estejam vencidas R 3602 d mais do que quatro contas não estejam vencidas R Pk4Pk51681 e pelo menos duas contas estejam vencidas R 1 P0 P1 04718 Exercício 6 a nenhuma conta esteja vencida R 1681 n 5 contas k 0 contas vencidas p 30 vencidas q 70 não vencidas pkqn k k n P k 681 CIENTÍFICA 5 nCr 0 030 075 CIENTÍFICA 5 50 030 075 FINANCEIRA 5 g3 enter 5 g3 enter 0 g3 enter 03 enter 0 YX 07 enter 5 yX Exercício 6 b exatamente duas contas estejam vencidas R 3087 n 5 contas k 2 contas vencidas p 30 vencidas q 70 não vencidas Exercício 6 c exatamente 20 das contas estejam vencidas R 3602 n 5 contas k 20 de 5 1 contas vencidas p 30 vencidas q 70 não vencidas Exercício 6 d mais do que quatro contas não estejam vencidas R Pk4Pk51681 n 5 contas k 5 contas NÃO vencidas p 70 NÃO vencidas q 30 vencidas Exercício 6 e pelo menos duas contas estejam vencidas R 1 P0 P1 04718 n 5 contas k 2 contas vencidas P2 P3 P4 P5 OU Pk 2 1 Pk 2 1 P0 P1 não pode acontecer p 30 vencidas q 70 não vencidas Exercício 7 Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes Cada questão tem 5 alternativas sendo apenas uma correta Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões na base do chute qual a probabilidade de acertar metade das questões Resp 00000016 EX 25 02 5 VARX 25 02 08 4 σX n 50 questões k 25 acertos p acertos q não acertos Exercício 9 Uma pesquisa de mercado apontou que somente 30 dos habitantes de uma cidade estão satisfeitos com atual administração pública a Escolhendose ao acaso 4 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que somente uma delas não esteja satisfeita com a administração pública R756 b Escolhendose ao acaso 13 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que 6 delas estejam satisfeitas com a administração pública R1030 c Escolhendose ao acaso 9 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que somente uma delas esteja satisfeita com a administração pública R1557 d Escolhendose ao acaso 12 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que 40 delas não estejam satisfeitas com a administração pública R291 Exercício 9 Uma pesquisa de mercado apontou que somente 30 dos habitantes de uma cidade estão satisfeitos com atual administração pública a Escolhendose ao acaso 4 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que somente uma delas não esteja satisfeita com a administração pública R756 n 4 pessoas k 1 não satisfeita p 70 não satisfeita q 30 satisfeito 0756 Exercício 9 Uma pesquisa de mercado apontou que somente 30 dos habitantes de uma cidade estão satisfeitos com atual administração pública b Escolhendose ao acaso 13 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que 6 delas estejam satisfeitas com a administração pública R1030 n 13 pessoas k 6 satisfeitas p 30 satisfeita q 70 não satisfeita Exercício 9 Uma pesquisa de mercado apontou que somente 30 dos habitantes de uma cidade estão satisfeitos com atual administração pública c Escolhendose ao acaso 9 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que somente uma delas esteja satisfeita com a administração pública R1557 n 9 pessoas k 1 satisfeita p 30 satisfeita q 70 não satisfeita Exercício 9 Uma pesquisa de mercado apontou que somente 30 dos habitantes de uma cidade estão satisfeitos com atual administração pública d Escolhendose ao acaso 12 pessoas dessa cidade qual é a probabilidade de que 40 delas não estejam satisfeitas com a administração pública R291 n 12 pessoas k 40 de 12 48 5 satisfeitas p 70 não satisfeita q 30 satisfeita Exercício 10 Seja 56 a quantidade de funcionários da empresa Beta Qual a probabilidade de amostra 25 do total de funcionários adquirirem virose da gripe sabendo que 1074 já a possuem Resolução n 56 funcionários k 14 25 de 56 adquirirem virose p 1074 adquirirem virose não pode arredondar a q 8926 não adquirirem virose não pode arredondar a 00013 Exercicio 10 Aproximacao da Binomial pela Poisson Seja 56 a quantidade de funcionarios da empresa Beta Qual a probabilidade de amostra 25 do total de funcionarios adquirirem virose da gripe sabendo que 1074 ja a possuem BINOMIAL a 56 funcionari ieee A np 5601074 60144 k 14 25 de 56 adquirirem virose k14 p 1074 adquirirem virose nado pode arredondar a q 8926 nao adquirirem virose nado pode arredondar a PX k k 56 14 5614 60144 14 Pk 56 77 01074 0892654 poy yy G14 00013 000227 Todos os direitos reservados Reprodução ou divulgação total ou parcial deste documento é expressamente proibida sem o meu consentimento formal por escrito autora deste material Distribuição de Poisson Características consideraremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em certo intervalo a probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo a probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso sendo X o número de sucessos no intervalo temse onde EX λ lambda é a média de ocorrências no intervalo desejado Para resolver um exercício desta distribuição temos que adeterminar λ ou seja a média esperada dentro do intervalo indicado no exercício bdeterminar k número de ocorrências desejadas no intervalo k e k X P k Distribuição de Poisson Aplicações na distribuição do número de carros que passam por um cruzamento por minuto durante certa hora do dia erros tipográficos por página em um material impresso atendimento a clientes por um determinado tempo mortes de ataque de coração por ano em uma cidade Exemplos Distribuição de Poisson 1 Uma indústria ao produzir seu material possui 20 de defeitos por peça calcule a probabilidade de uma peça qualquer apresentar a zero defeito Solução λ 02 k 0 b um defeito Solução λ 02 k 1 c dois defeitos Solução λ 02 k 2 0 8187 0 20 0 0 20 e X P 01637 1 20 1 1 20 e X P 0 0164 2 20 2 2 2 0 e X P k e k X P k Exemplo 1 Distribuicao de Poisson d pelo menos um defeito Solucao A02 k 1 ou seja k1 k2 k n Assim podem acontecer um ou mais defeitos 0 que nado pode acontecer é nenhum defeito Dessa forma podemos considerar k 1 como 100 ou ainda 1 dai fazer 100 menos o que nao pode ocorrer P0 02 0 02 Pk 11P0 1 2 108187 01813 e no maximo um defeito Solucao A 02k 1 o0usejakOek1 e202 e7402 PK 1 Tr 08187 01637 09825 Uma firma recebe 720 mensagens em seu aplicativo em 8 horas de funcionamento Qual a probabilidade de que Solução 720msg em 8h 90msg em 1h 15msg em 1min a em 4 minutos não receba mensagem K 0 λ 15 4 6 msg4min b em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens λ 15 6 9 msg6min k 4 ou seja k 4 k 5 k n O que não pode acontecer é menos de 4 mensagens ou seja k 0 k 1 k 2 k 3 Assim fazer Exercício 1 0 0025 0 6 0 0 6 e k P 0 9788 3 9 2 9 1 9 0 9 1 4 3 9 2 9 9 1 0 9 e e e e k P k e k X P k Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos três erros K 3 λ 800800 1 erropágina k 3 ou seja k 3 k 4 k n O que não pode acontecer é menos de 4 mensagens ou seja k 0 k 1 k 2 Assim fazer 0 0803 2 1 1 1 0 1 1 3 2 1 1 1 0 1 e e e k P Exercício 2 k e k X P k Exercicio 8 Na fabricacao de pecas de um determinado tecido ha em média 1 defeito a cada 250 metros Sabese que o numero de defeitos segue uma distribuicdo de Poisson Se em um periodo ias de trabalho a producao diaria 6 de 805 metros de tecido em quantos dias se espera uma producao R 4 dias k0 defeitos k e 2A 1 defeito 250 m PX k k d 805m 250A 1805 A 805 250 e 3223229 322 Pk0 or 0039955 100 dias 0039955 39955 4 dias Exercicio 10 O departamento de recursos humanos de uma empresa entrevista 120 candidatos a emprego por hora Utilizando o modelo de Poisson determine a probabilidade de entrevistar pelo menos dois candidatos em trés minutos R 09826 K 2 candidatos 1 Pk 2 1 P0 P1 120 candidatos 1h 120 candidatos 60min oA yk PX k 33min kl 60A 1203 A 360 60 2660 o6gl a6 Pk 21 09826 Todos os direitos reservados Reprodução ou divulgação total ou parcial deste documento é expressamente proibida sem o meu consentimento formal por escrito autora deste material Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição de Poisson No uso da Binomial quando n maior que o maior valor tabelado no caso n30 e p 0 p 01 é possível fazer uma aproximação da Binomial pela distribuição de Poisson Binomial Poisson Neste caso EXnp será tomada como λ np e em seguida utilizase a fórmula de Poisson n k k k n k k k p q n n P k k p q n P k k e k X P k Exercicio Aproximacao da Binomial por Poisson 1 Utilizando a Aproximacao da Binomial pela Poisson determine Suponha que a probabilidade de um bit ser transmitido com erro durante uma transmissao digital igual a 0001 Determine a probabilidade de que de 3000 bits transmitidos em exatamente quatro deles tenha havido erro de transmissao n 3000 Binomial k 4 com erros P4 00014 099990 01681154298091 p 010 ou 0001 4 q 100 01 9990 ou 0999 np 300000013 Poisson k 4 com erros P4 0168031355741540807 Exercício Aproximação da Binomial por Poisson 2 Seja XB200 001 Calcular PX 10 a pela Binomial R0000033 b por aproximação por Poisson R0000038 3 Seja XB173 007 Calcular Pk 6 a pela Binomial R00219 b por aproximação por Poisson R00241