Teste de Hipóteses com Duas Amostras em Estatística

Testes de Hipóteses com duas amostras Estatística Aplicada Testes de Hipóteses com duas amostras Definição duas amostras são independentes se a amostra selecionada de uma das populações não está relacionada à amostra selecionada na segunda população Aqui vamos construir teste de hipóteses para comparar um parâmetro estatístico de duas populações normais Vamos nos concentrar apenas no caso de comparar a média ou proporção para amostras independentes Implicações do tamanho da amostra Para amostras pequenas 30 observações com variâncias desconhecidas utilizaremos a Distribuição t de Student Para os demais casos utilizaremos a Distribuição Normal Vamos apresentar o Teste para a diferença da média de duas populações Hipóteses do teste Hipótese nula média das duas populações são iguais Hipótese alternativa média das duas populações são diferentes ou Testes de Hipóteses com duas amostras ou Testes de Hipóteses com duas amostras Para o teste de hipóteses com duas amostras também é necessário decidir quanto ao uso da distribuição de probabilidade Normal ou da distribuição t de Student Para os casos onde ambas as amostra são grandes ou seja n 30 utilizaremos a distribuição Normal Para este caso vamos apresentar a formulação para se chegar ao Zcalc Cálculo da média μd μx1x2 x1 x2 Cálculo da Variância Se os desvios forem conhecidos σd σx1x2 σ1²n1 σ2²n2 Se os desvios forem desconhecidos σd σx1x2 s1²n1 s2²n2 Calculando o Zcalc μ1 μ2 0 zcalc x1 x2 μ1 μ2 σx1x2 x1 x2 0 σx1x2 μd σd Testes de Hipóteses com duas amostras Para o caso onde o desvio padrão das populações é desconhecido e uma das amostras é pequena ou seja n 30 utilizaremos a distribuição t de Student Para este caso vamos apresentar a formulação para se chegar ao tcalc Cálculo da média μd μx1x2 x1 x2 Cálculo da Variância σd σx1x2 s1²n1 s2²n2 Calculo do tcalc tcalc x1 x2 μ1 μ2 σx1x2 x1 x2 0 σx1x2 x1 x2 σx1x2 ou tcalc μd σd Determinação de tcrit O grau de liberdade para a utilização da tabela de t de Student é definido como sendo o menor entre os números n1 1 e n2 1 Testes de Hipóteses com duas amostras Exemplo 1 dist Normal Desejase verificar se existe diferença entre os salários pagos a engenheiros que atuam na região Sul e Sudeste do país através de um teste de hipóteses Para isso selecionouse aleatoriamente 31 engenheiros da região Sul e com base em seus salários anuais determinouse a média de seus salários como sendo de R1470000 O mesmo procedimento foi adotado para 35 engenheiros da região Sudeste obtendose média de R5191000 e desviopadrão de R1620000 O teste de hipóteses deve ser feito com nível de significância igual a 5 Solução Dados do Problema região sul 1 n1 31 x1 4672000 s1 1470000 α 5 região sudeste 2 n2 35 x2 5191000 s2 1620000 Testes de Hipóteses com duas amostras Vamos separar a resolução em passos Passo 1 escrever as hipótese nula e alternativa Hipótese nula H0 μ1 μ2 as médias salariais são iguais Hipótese alternativa H1 μ1 μ2 as médias salariais são diferentes A melhor forma de escrever essas hipóteses é H0 μ1 μ2 0 H1 μ1 μ2 0 Passo 2 Definição da distribuição a ser utilizada σ é desconhecido mas como n 30 vamos utilizar a distr Normal Passo 3 α 5 e o teste é bilateral portanto vamos dividir em duas partes α2 0025 Zcrit 196 Passo 4 Cálculo do valor da estatística do teste Variância σx1 x2 s21n1 s22n2 14700231 16200235 3803805 Zcalc x1 x2 0 σx1 x2 46720 51910 3803805 Zcalc 136 Passo 5 Posicionar o Zcalc no gráfico analisar e escrever a conclusão Na figura observamos que o valor do Z calculado caiu dentro da região de aceitação Portanto aceitase Ho Conclusão Baseado nos dados da amostra não temos evidência suficiente para concluir que existe uma diferença entre as médias Salariais dos engenheiros das regiões Sul e Sudeste Testes de Hipóteses com duas amostras Exemplo 2 Distr Normal Desejase saber se 2 máquinas de empacotar café estão fornecendo o mesmo peso médio em kg Extraemse duas amostras uma de cada máquina do seguinte modo Máquina Nova 36 amostras média 081 kg variância 000020 kg2 Máquina Velha 39 amostras média 078 kg variância 000135 kg2 Supondo que os pesos das amostras sigam uma distribuição normal qual é a sua conclusão a 25 de significância Solução Dados do Problema máquina nova 1 n1 36 x1 081 Kg s21 000020 Kg2 α 25 máquina velha 2 n2 39 x2 078 Kg s22 000135 Kg2 Testes de Hipóteses com duas amostras Vamos separar a resolução em passos Passo 1 escrever as hipótese nula e alternativa Hipótese nula H0 μ1 μ2 as duas máquinas fornecem o mesmo peso médio Hipótese alternativa H1 μ1 μ2 as duas máquinas fornecem pesos médios diferentes A melhor forma de escrever essas hipóteses é H0 μ1 μ2 0 H1 μ1 μ2 0 Passo 2 Definição da distribuição a ser utilizada σ é desconhecido mas como n 30 vamos utilizar a distr Normal Passo 3 α 25 e o teste é bilateral portanto vamos dividir em duas partes α 2 00125 Zcrit 224 Passo 4 Cálculo do valor da estatística do teste Variância σx1 x2 s1² n1 s2² n2 000020 36 000135 000634 Zcalc x1 x2 0 σx1 x2 081 078 000634 Zcalc 473 Passo 5 Posicionar o Zcalc no gráfico analisar e escrever a conclusão Na figura observamos que o valor do Z calculado caiu dentro da região de rejeição Portanto rejeitase H0 Conclusão Baseado nos dados da amostra temos evidência suficiente para concluir que existe uma diferença entre aos pesos médios fornecidos pela máquina nova e máquina velha Testes de Hipóteses com duas amostras As distâncias de frenagem de 8 Volkswagen GTIs e 10 Ford Focus foram testadas enquanto viajavam a 60 milhas por hora em pista seca Os resultados são mostrados na tabela abaixo Você pode concluir que existe uma diferença na média da distância de frenagem dos dois tipos de carro Use 𝛼 001 Assuma que as populações são distribuídas normalmente e as variâncias da população não são iguais Larson 2010 Exemplo 3 Distr t de Student Solução Queremos testar se as médias da distância de frenagem são diferentes Passo 1 As hipóteses nula e alternativa são H0 μ1 μ2 0 H1 μ1 μ2 0 Passo 2 Definição da distribuição a ser utilizada Como os desvios populacionais são desconhecidos e as amostras são pequenas vamos utilizar a distribuição t de Student Passo 3 Determinação das regiões críticas aceitação e rejeição Já que as variâncias não são iguais e a menor amostra é de tamanho 8 use gl 8 1 7 Já que o teste é bicaudal com gl 7 e α 001 tcrit 3499 Testes de Hipóteses com duas amostras Passo 4 Cálculo do valor da estatística do teste O desvio padrão é σx1x2 s1²n1 s2²n2 692²8 262²10 25743 Assim a estatística de teste padronizado é tcalc x1 x2 μ1 μ2 σx1x2 134 143 0 25743 3496 Testes de Hipóteses com duas amostras Passo 4 Cálculo do valor da estatística do teste O desvio padrão é σx1x2 s1²n1 s2²n2 036²12 042²12 0155 Assim a estatística de teste padronizado é tcalc x1 x2 μ1 μ2 52 48 0 0155 258 Passo 5 Posicionar o tcalc no gráfico analisar e escrever a Como o t calculado caiu dentro da região de rejeição então rejeitase H0 Portanto com base nas amostras é possível concluir que houve um aumento significativo na produção Exemplo 4 Distr t de Student Um fazendeiro deseja testar o efeito de certo fertilizante na produção de cana de açúcar Segundo o fabricante do fertilizante já na primeira utilização o produto promove um aumento significativo na produção Para realizar esse teste foram escolhidos 24 plantações das quais metade foi tratada com fertilizante e a outra não A produção média nos terrenos sem fertilizante foi de 48 Kgm² com desvio padrão de 04 Kgm² enquanto que nos terrenos tratados com fertilizante a média foi 52 Kgm² com desvio de 036 Kgm² Ao nível de 5 podese concluir que houve aumento significativo na produção de cana de açúcar por causa do fertilizante FIM