Potencial Elétrico: Cargas Pontuais e Distribuições

Generalização O potencial elétrico em um ponto devido a um conjunto de cargas pontuais será a soma dos potências induzidos por cada uma das cargas 𝑉𝑟 𝑚1 𝑛 𝑄𝑚 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟 Ԧ𝑟𝑚 O potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição volumétrica de cargas será 𝑉𝑟 න 𝑣𝑜𝑙 𝜌𝑣𝑟𝑑𝑣 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟 𝑟 𝑉𝑟 න 𝜌𝑙𝑟𝑑𝑙 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟 𝑟 O potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição superficial de cargas 𝜌𝑠 será 𝑉𝑟 න 𝑠 𝜌𝑠𝑟𝑑𝑠 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟 𝑟 O potencial elétrico em um ponto devido a uma distribuição linear de cargas 𝜌𝑙 será Potencial elétrico de um anel circular de raio a uniformemente carregado ρl P a 𝜌𝑙 h o Queremos determinar o potencial elétrico no ponto P devido a presença de um anel carregado P 𝜌𝑙 zph o Optando pelo sistema de coordenadas cilíndrico com o centro do anel na origem e o plano que contém o anel perpendicular ao eixo z z 𝜌 𝜙 P 𝜌𝑙 zph o Tomando um elemento infinitesimal de carga no anel dq z 𝜌 𝑑𝑙 𝑎𝑑𝜙 𝑑𝑞 𝜌𝑙𝑑𝑙 𝜌𝑙 𝑎 𝑑𝜙 P 𝜌𝑙 zph o Definindo o vetor posição 𝑅 z 𝜌 𝑑𝑞 𝑅 𝑎 𝑎𝜌 h 𝑎𝑧 P 𝜌𝑙 zph o z 𝜌 𝑑𝑞 𝑅 𝑎 𝑎𝜌 h 𝑎𝑧 𝑅 𝑎2 ℎ2 P 𝜌𝑙 zph o z 𝜌 𝑑𝑞 𝑅 𝑎 𝑎𝜌 h 𝑎𝑧 𝑉𝑃 𝜌𝑙𝑟𝑑𝑙 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟𝑟 𝜙0 2𝜋 𝜌𝑙 𝑎 𝑑𝜙 4𝜋𝜀0 𝑎2ℎ2 𝑅 𝑎2 ℎ2 P 𝜌𝑙 zph o z 𝜌 𝑑𝑞 𝑅 𝑉𝑃 𝜌𝑙𝑟𝑑𝑙 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟𝑟 𝜙0 2𝜋 𝜌𝑙 𝑎 𝑑𝜙 4𝜋𝜀0 𝑎2ℎ2 𝑉𝑃 𝜌𝑙 𝑎 4𝜋𝜀0 𝑎2ℎ2 𝜙0 2𝜋 𝑑𝜙 𝜌𝑙 𝑎 2𝜀0 𝑎2ℎ2 𝑉𝑃 𝜌𝑙 𝑎 2𝜀0 𝑎2 ℎ2 V Potencial elétrico de um disco circular de raio a uniformemente carregado ρs P a 𝜌𝑠 h o Queremos determinar o potencial elétrico no ponto P devido a presença de um disco carregado Optando pelo o sistema de coordenadas cilíndrico com o centro do disco na origem e o plano que contém o anel perpendicular ao eixo z identificamos um elemento de carga 𝑑𝑞 sobre o mesmo P 𝜌𝑠 zph o z 𝜌 𝜙 d𝜙 𝑑𝜌 𝜌d𝜙 𝑑𝑠 𝜌d𝜙𝑑𝜌 𝑑𝑞 𝜌𝑠 𝑑𝑠 𝜌𝑠 𝜌d𝜙𝑑𝜌 a O vetor posição entre o elemento no disco e o ponto P pode ser determinado P zph o z 𝜌 d𝜙 𝑑𝜌 𝜌d𝜙 𝑅 𝜌 𝑎𝜌 h 𝑎𝑧 𝑅 𝜌2 ℎ2 a Integrando sobre a superfície do disco P zph o z 𝜌 d𝜙 𝑑𝜌 𝜌d𝜙 𝑅 𝑉𝑃 𝜌𝑠𝑟𝑑𝑠 4𝜋𝜀0 Ԧ𝑟𝑟 𝜌𝑠 𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀0 𝜌2ℎ2 𝑉𝑃 𝜌𝑠 4𝜋𝜀0 ඵ 𝜌 𝜌2 ℎ2 𝑑𝜙𝑑𝜌 a P zph o z 𝜌 d𝜙 𝑑𝜌 𝜌d𝜙 𝑅 𝑉𝑃 𝜌𝑠 4𝜋𝜀0 න 𝜙0 2𝜋 𝑑𝜙 න 𝜌0 𝑎 𝜌 𝜌2 ℎ2 𝑑𝜌 A integral dupla pode ser desmembrada no produto de duas integrais simples 𝑉𝑃 𝜌𝑠 2𝜀0 න 𝜌0 𝑎 𝜌 𝜌2 ℎ2 𝑑𝜌 𝑉𝑃 𝜌𝑠 2𝜀0 න 𝜌0 𝑎 𝜌 𝜌2 ℎ2 𝑑𝜌 a P zph o z 𝜌 d𝜙 𝑑𝜌 𝜌d𝜙 𝑅 𝑉𝑃 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎2 ℎ2 ℎ Resolvendo a última integral o potencial é determinado V a Gradiente do Potencial 𝑉 න 𝐸 𝑑𝑙 Vimos que 𝐸 No espaço livre Linhas de campo elétrico Fazendo um deslocamento muito pequeno 𝑙 no espaço 𝐸 𝑙 𝜃 Δ𝑙 Δ𝑙 𝑢 A diferença de potencial será Δ𝑉 𝐸 Δ𝑙 𝐸 Δ𝑙 𝑐𝑜𝑠𝜃 O máximo valor será Δ𝑉 Δ𝑙 𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 Reescrevendo Δ𝑉ቤ Δ𝑙 𝑚𝑎𝑥 𝐸 Indicando que cos 𝜃 1 logo 𝜃 𝜋 Qual o significado disso Quando temos um valor máximo de variação potencial ao longo de um deslocamento significa que estamos nos deslocando na direção do campo elétrico em sentido contrário ao mesmo Para deslocamentos infinitesimais 𝐸 𝑙 𝜃 𝜋 𝑑𝑉ቤ 𝑑𝑙 𝑚𝑎𝑥 𝐸 Supondo agora um deslocamento perpendicular às linha de campo 𝜃 𝜋 2 𝐸 𝑙 𝜃 𝜋 2 Δ𝑉 𝐸 Δ𝑙 𝐸 Δ𝑙 cos 𝜋 2 0 𝑑𝑉 𝑑𝑙 0 logo Significado de 𝑑𝑉 𝑑𝑙 0 Não existe variação do potencial ao longo do caminho Este caminho é chamado de linha equipotencial Vimos claramente uma relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico Essa relação pode ser expressa matematicamente através do operador gradiente 𝐸 𝑉 𝑥 𝑎𝑥 𝑦 𝑎𝑦 𝑧 𝑎𝑧 Sendo Em coordenadas cartesianas 𝑉 𝑉 𝑥 𝑎𝑥 𝑉 𝑦 𝑎𝑦 𝑉 𝑧 𝑎𝑧 Em coordenadas cilíndricas 𝑉 𝑉 𝜌 𝑎𝜌 1 𝜌 𝑉 𝜙 𝑎𝜙 𝑉 𝑧 𝑎𝑧 Em coordenadas esféricas 𝑉 𝑉 𝑟 𝑎𝑟 1 𝑟 𝑉 𝜃 𝑎𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑉 𝜙 𝑎𝜙 Exercícios Capítulo 4 Livro texto oitava edição 415 420 421 424