Cálculo do Campo Magnético Gerado por Lâminas e Anéis de Corrente

Magnetostática II Exemplo 1 campo de uma lâmina de corrente Uma lâmina plana ocupando o plano z0 apresenta uma distribuição de corrente 𝐾 10𝑎𝑥 𝐴𝑚 a Determine o campo magnético no ponto P 224 b Determine o campo magnético no ponto P 228 c Determine o campo magnético no ponto P 224 x y z P 224 𝐻 𝐾 𝐻 1 2 𝐾 𝑎𝑛 𝐻 1 2 10𝑎𝑥 𝑎𝑧 𝐻 50𝑎𝑦 𝐴𝑚 x y z P 228 𝐻 𝐾 𝐻 1 2 𝐾 𝑎𝑛 𝐻 1 2 10𝑎𝑥 𝑎𝑧 𝐻 50𝑎𝑦 𝐴𝑚 x y z P 224 𝐻 𝐾 𝐻 1 2 𝐾 𝑎𝑛 𝐻 1 2 10𝑎𝑥 𝑎𝑧 𝐻 50𝑎𝑦 𝐴𝑚 Exemplo 2 campo duas lâminas planas e paralelas com distribuições de corrente Em z0 temos uma lâmina plana que apresenta uma distribuição de corrente 𝐾 3𝑎𝑦 𝐴𝑚 Em zd temos uma segunda lâmina paralela à primeira que apresenta uma distribuição de corrente 𝐾 3𝑎𝑦 𝐴𝑚 Determine o campo magnético em todas as regiões do espaço z x y 𝑘 3𝑎𝑦 𝑘 3𝑎𝑦 Região 1 0 z d 𝐻1 1 2 𝐾1 𝑎𝑧 1 2 3𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 2 𝑎𝑥 x z X 𝐻1 𝐻2 X X X X X X X X X X X yX X O campo devido à lâmina em z0 𝐻2 1 2 𝐾2 𝑎𝑧 1 2 3𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 2 𝑎𝑥 O campo devido à lâmina em zd O campo total entre às lâminas 𝐻 𝐻1 𝐻2 3𝑎𝑥 𝐴𝑚 zd z0 Região 2 z d 𝐻1 1 2 𝐾1 𝑎𝑧 1 2 3𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 2 𝑎𝑥 x z X 𝐻1 𝐻2 X X X X X X X X X X X yX X O campo devido à lâmina em z0 𝐻2 1 2 𝐾2 𝑎𝑧 1 2 3𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 2 𝑎𝑥 O campo devido à lâmina em zd O campo total em z d 𝐻 𝐻1 𝐻2 0 zd z0 Região 3 z 0 𝐻1 1 2 𝐾1 𝑎𝑧 1 2 3𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 2 𝑎𝑥 z x X 𝐻1 𝐻2 X X X X X X X X X X X yX X O campo devido à lâmina em z0 𝐻2 1 2 𝐾2 𝑎𝑧 1 2 3𝑎𝑦 𝑎𝑧 3 2 𝑎𝑥 O campo devido à lâmina em zd O campo total em z0 𝐻 𝐻1 𝐻2 0 zd z0 Exemplo 3 Campo de um anel circular raio a percorrido por uma corrente I Z I a Z 𝐼 Ԧ𝑑𝑙𝐼𝑎𝑑𝜙 𝑎𝜙 a P 𝑅 𝑎 𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝑅 𝑎2 𝑧2 𝑎𝑅 𝑅 𝑅 𝑎 𝑎𝜌𝑧 𝑎𝑧 𝑎2𝑧2 𝐻 ර 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 No ponto P de coordenadas 00z Z 𝐼 Ԧ𝑑𝑙𝐼𝑎𝑑𝜙𝑎𝜙 a P 𝑅 𝑎 𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝐻 ර 𝐼𝑎𝑑𝜙𝑎𝜙 4𝜋 𝑎2 𝑧2 𝑎𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝑎2 𝑧2 𝐻 ර 𝐼𝑎2𝑑𝜙𝑎𝑧 4𝜋 𝑎2 𝑧2 32 ර 𝐼𝑎𝑧𝑑𝜙𝑎𝜌 4𝜋 𝑎2 𝑧2 32 𝐻 Z 𝐼 Ԧ𝑑𝑙𝐼𝑎𝑑𝜙 𝑎𝜙 a P 𝑅 𝑎𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝐻 ර 𝐼𝑎2𝑑𝜙𝑎𝑧 4𝜋 𝑎2 𝑧2 32 ර 𝐼𝑎𝑧𝑑𝜙𝑎𝜌 4𝜋 𝑎2 𝑧2 32 𝐻 Da simetria 0 𝐻 𝐼𝑎2 4𝜋 𝑎2 𝑧2 32 න 𝜙0 2𝜋 𝑑𝜙𝑎𝑧 𝐻 𝐼𝑎2 2 𝑎2 𝑧2 32 𝑎𝑧 Am Z 𝐼 Ԧ𝑑𝑙𝐼𝑎𝑑𝜙 𝑎𝜙 a P 𝐻 𝐻 𝐼𝑎2 2 𝑎20 2 32 𝑎𝑧 Para z 0 centro do anel 𝐻 𝐼 2𝑎 𝑎𝑧 Am Exemplo 4 Campo de um filamento retilíneo de comprimento finito percorrido por uma corrente I z x y I O campo no ponto P de coordenadas 0 yd 0 z x y I 𝐻 𝛼1 𝛼2 d P 𝐻 𝐼 4𝜋𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 𝑠𝑒𝑛 𝛼1 𝑎𝑢 Exemplo Determine o campo magnético no ponto P x04 y03 z0 m devido a existência de uma corrente de 8 A percorrendo um filamento coincidente com o eixo x desde x até à origem que em seguida prossegui sobre o eixo y da origem até y x y z 8 A P x04 y03 z0 8 A x y z 8 A P x04 y03 z0 α2 α1 Para resolver esse problema temos que fazêlo por partes Considerando apenas o trecho percorrido pela corrente sobre o eixo x temos que determinar d e os ângulos α1 e α2 x y z 8 A P x04 y03 z0 α2 α1 𝛼1 90𝑜 𝛼2 tan1 04 03 531𝑜 𝑑 03 𝐻1 8 4𝜋 03 𝑠𝑒𝑛531𝑜 𝑠𝑒𝑛 90𝑜 𝑎𝑧 12 𝜋 𝑎𝑧 𝐻1 𝐼 4𝜋𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 𝑠𝑒𝑛 𝛼1 𝑎𝑢 Considerando agora o trecho percorrido pela corrente sobre o eixo y temos que determinar d e os ângulos α1 e α2 x y z 8 A P x04 y03 z0 α2 α1 x y z 8 A P x04 y03 z0 α2 α1 𝛼1 tan1 03 04 369𝑜 𝛼2 90𝑜 𝑑 04 𝐻2 8 4𝜋 04 𝑠𝑒𝑛 90𝑜 𝑠𝑒𝑛 369𝑜 𝑎𝑧 8 𝜋 𝑎𝑧 𝐻2 𝐼 4𝜋𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 𝑠𝑒𝑛 𝛼1 𝑎𝑢 x y z 8 A P x04 y03 z0 O campo total no ponto P será a soma da contribuição dos dois trechos 𝐻𝑃 𝐻1 𝐻2 12 𝜋 𝑎𝑧 8 𝜋 𝑎𝑧 20 𝜋 𝑎𝑧 𝐴𝑚 𝐻𝑃 8 A Exercício Determine o campo magnético no centro de uma espira quadrada de lado L10 cm percorrida por uma corrente de 5 A como mostrado na figura O centro da espira coincide com a origem z x y L01 m I5A Solução Podemos decompor o problema em quatro partes e calcular a contribuição de cada um dos lados x y 5 A α1 α2 𝛼1 45𝑜 𝛼2 45𝑜 𝑑 𝐿 2 005 𝐻 𝐼 4𝜋𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛼2 𝑠𝑒𝑛 𝛼1 𝑎𝑢 5 4𝜋 005 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 𝑠𝑒𝑛 45𝑜 𝑎𝑧 z 𝐻 5 4𝜋 005 2 2 2 2 𝑎𝑧 𝐻 5 2 4𝜋 005 𝑎𝑧 Como as contribuições dos demais lados serão idênticas o campo no centro da espira será 𝐻 4 5 2 4𝜋 005 𝑎𝑧 𝐻 5 2 𝜋 005 𝑎𝑧 Am Exercícios Capítulo 7 Livro texto oitava edição 73 75