Campo Magnético Estacionário e Elementos de Corrente

Magnetostática Campo magnético estacionário Fontes do campo magnetostático Imã permanente Campo elétrico variando linearmente Corrente contínua Corrente contínua Lei de Biot Savart I 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 elemento de corrente Am 𝑅 P 𝑑𝐻 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 Am A contribuição para o campo devido ao elemento de corrente 𝑎𝑅 𝐻 ර 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 𝐴𝑚 A existência de uma corrente está condicionada a circuitação da corrente em um caminho fechado Somando a contribuição de todos os elementos de corrente Como não existem cargas magnéticas ainda não encontramos o monopólo magnético o nosso elemento fundamental de campo magnético será o elemento de corrente Distribuição superficial de corrente 𝐾 𝐴𝑚 𝐾 𝑘𝑦 𝑎𝑦 𝐴𝑚 x y z corrente 𝐾𝑑𝑠 𝑘𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑎𝑦 𝐴 𝑚 x y z dy dx ds Nessa distribuição o elemento de corrente será Para um ponto P nas vizinhanças da distribuição de corrente x y z dy dx ds P 𝑅 𝑑𝐻p 𝐾 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 𝑑𝑠 Somando a contribuição de todos os elementos de corrente 𝐻 න 𝑠 𝐾 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 𝑑𝑠 𝐴𝑚 𝐾𝑑𝑠 𝑘𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑎𝑦 𝑎𝑅 Distribuição espacial de corrente Ԧ𝐽 𝐴𝑚2 Ԧ𝐽 𝐽𝑦 𝑎𝑦 𝐴𝑚2 x y z Ԧ𝐽 Ԧ𝐽 𝐽𝑦 𝑎𝑦 𝐴𝑚2 x y z dy Ԧ𝐽 Nessa distribuição o elemento de corrente será Ԧ𝐽𝑑𝑣 𝐽𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑦 𝐴 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Ԧ𝐽 𝐽𝑦 𝑎𝑦 𝐴𝑚2 x y z dy Ԧ𝐽 Nessa distribuição o elemento de corrente será Ԧ𝐽𝑑𝑣 𝐽𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑦 𝐴 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Para um ponto P nas vizinhanças da distribuição de corrente P 𝑅 𝐻 න 𝑣 Ԧ𝐽 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 𝑑𝑣 𝐴𝑚 Campo magnético devido a um filamento de corrente retilíneo e infinito z y I P x Vamos considerar um elemento de corrente sobre o filamento 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 𝐼𝑑𝑧𝑎𝑧 𝑑𝐻p 𝐼 𝑎𝑧 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 𝑑𝑧 z y I P 𝐼 Ԧ𝑑𝑙 𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝑧𝑎𝑧 𝜌𝑎𝜌 𝑎𝑅 𝑅 𝜌2 𝑧2 𝑎𝑟 𝑅 𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝜌2 𝑧2 x 𝑑𝐻p 𝐼 𝑎𝑧 𝑎𝑅 4𝜋 𝑅 2 𝑑𝑧 𝐼 𝑎𝑧 4𝜋𝜌2 𝑧2 𝜌𝑎𝜌 𝑧𝑎𝑧 𝜌2 𝑧2 𝑑𝑧 𝑑𝐻p 𝐼𝜌𝑎𝑧 𝑎𝜌 4𝜋𝜌2 𝑧232 𝑑𝑧 𝐼𝑧 𝑎𝑧 𝑎𝑧 4𝜋𝜌2 𝑧232 𝑑𝑧 0 𝑑𝐻p 𝐼𝜌𝑎𝜙 4𝜋𝜌2 𝑧232 𝑑𝑧 𝐻p න 𝑧 𝐼𝜌𝑎𝜙 4𝜋𝜌2 𝑧232 𝑑𝑧 A somando a contribuição de todos os elementos de corrente é feita pela integração 𝐻p 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 𝐴m Campo magnético devido a um filamento de corrente retilíneo e infinito I 𝐻 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 𝐴m Lei circuital de Ampere A lei circuital de Ampere está para a magnetostática o que representa a Lei Gauss para a eletrostática A integral de linha do campo magnético 𝐻 em qualquer percurso fechado resultará na corrente elétrica enlaçada por esse percurso Matematicamente 𝐼 ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 Exemplos a Caminho 1 3 A X 3A X 2A b Caminho 2 2 A X 2A c Caminho 3 4 A 6A d Caminho 4 0 A X 3A e Caminho 2 2 A X 3A f Caminho 3 1 A 6A X 3A 6A X 2A X 3A X 3A 6A X 2A X 2A X 2A Aplicação da Lei circuital de Ampere cabo coaxial a raio do condutor central b raio da blindagem interno c raio da blindagem externo Região 1 𝑎 𝜌 𝑏 𝐻 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 𝐴𝑚 Como a corrente enlaçada no caminho definido é I Nota a corrente I se distribui uniformemente nas seções dos condutores interno e externo I b a X 𝜌 I Região 2 0 𝜌 𝑎 𝐻 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 Como a corrente enlaçada no caminho definido será 𝜌 a 𝐼 𝐼 𝐼 𝜋𝜌2 𝜋 𝑎2 𝐼 𝜌2 𝑎2 𝐼 𝐻 𝜌2 𝑎2 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 𝐼𝜌 2𝜋𝑎2 𝑎𝜙 𝐻 𝐼𝜌 2𝜋𝑎2 𝑎𝜙 𝐴m para 0 𝜌 𝑎 Região 3 𝑏 𝜌 𝑐 𝐻 𝐼 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 Como a corrente enlaçada no caminho definido é I I sendo I uma parcela apenas da corrente de retorno na blindagem I b a X 𝜌 c I 𝐼 𝜋𝜌2𝜋𝑏2 𝜋 𝑐2𝜋 𝑏2 𝐼 𝜌2𝑏2 𝑐2 𝑏2 𝐼 𝐻 𝐼 2𝜋𝜌 𝑐2 𝜌2 𝑐2 𝑏2 𝑎𝜙 𝐴m para 𝑏 𝜌 𝑐 𝐼 𝐼 𝐼 𝜌2𝑏2 𝑐2 𝑏2 𝐼 𝑐2𝑏2 𝜌2 𝑏2 𝑐2 𝑏2 𝐼 𝐼 𝐼 𝑐2 𝜌2 𝑐2 𝑏2 𝐼 Região 4 𝑐 𝜌 Como a corrente enlaçada no caminho definido é I I 0 Logo 𝐻 𝐼 𝐼 2𝜋𝜌 𝑎𝜙 0 𝐴m I b a X 𝜌 I para c 𝜌 Comportamento do 𝐻 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝜌 𝐻 Aplicação da Lei circuital de Ampere lâminas planas de corrente Aplicando a Lei de Ampere no caminho fechado 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 1 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 1 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 2 2 1 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 1 1 𝐻 𝑑𝑥 𝑎𝑥 න 1 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 𝑅 𝐻 Avaliando o trecho 11 L ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐻𝑥1𝐿 න 1 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 2 2 1 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 1 1 𝐻 𝑑𝑥 𝑎𝑥 න 1 2 𝐻 𝑑𝑧 𝑎𝑧 න 2 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 𝑅 𝐻 𝑅 𝑅 𝐻 𝐻𝑥1 𝑎𝑥 ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐻𝑥1𝐿 0 න 2 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 2 2 1 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 1 1 𝐻 𝑑𝑥 𝑎𝑥 න 1 2 𝐻 𝑑𝑧 𝑎𝑧 න 2 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 𝑅 𝐻 𝑅 𝑅 𝐻 𝐻𝑥12 𝑎𝑥 ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐻𝑥1𝐿 0 𝐻𝑥2𝐿 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 2 2 1 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z 𝑅 𝑅 𝐻 𝐻 𝐻𝑥2 𝑎𝑥 ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 1 1 𝐻 𝑑𝑥 𝑎𝑥 න 1 2 𝐻 𝑑𝑧 𝑎𝑧 න 2 2 𝐻 𝑑𝑥 𝑎𝑥 න 2 1 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐻𝑥1𝐿 0 𝐻𝑥2𝐿 0 𝐼 2 2 1 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 1 1 𝐻 𝑑𝑥 𝑎𝑥 න 1 2 𝐻 𝑑𝑧 𝑎𝑧 න 2 2 𝐻 𝑑𝑥 𝑎𝑥 න 2 1 𝐻 𝑑𝑧 𝑎𝑧 𝐼 𝑅 𝐻 𝑅 𝐻 𝐻𝑥21 𝑎𝑥 𝐻𝑥1𝐿 𝐻𝑥2𝐿 𝐼 2 2 1 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z L 𝐻𝑥1𝐿 𝐻𝑥2𝐿 𝐾𝑦𝐿 𝐻𝑥1 𝐻𝑥2 𝐾𝑦 1 Aplicando agora Lei de Ampere no caminho fechado 3 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 3 3 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 3 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 2 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 න 2 3 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐼 2 2 3 3 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z L 𝐻𝑥3 𝐻𝑥2 𝐾𝑦 Fica claro que o resultado que será obtido é 2 Comparando as equações 1 e 2 𝐻𝑥3 𝐻𝑥2 𝐾𝑦 𝐻𝑥1 𝐻𝑥2 𝐾𝑦 Concluímos que 𝐻𝑥1 𝐻𝑥3 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X x z 𝐻𝑥1 𝐻𝑥2 𝐻𝑥 Fica claro que perceber que 𝐻𝑥1 𝐻𝑥2 Assim a circuitação completa ර 𝐻 Ԧ𝑑𝑙 𝐻𝑥𝐿 0 𝐻𝑥𝐿 0 𝐾𝑦𝐿 𝐻𝑥𝐿 𝐻𝑥𝐿 𝐾𝑦𝐿 2𝐻𝑥 𝐾𝑦 𝐻𝑥 1 2 𝐾𝑦 E podemos escrever 𝐻 1 2 𝐾𝑦 𝑎𝑦 𝑎𝑧 1 2 𝐾𝑦 𝑎𝑥 𝐴𝑚 Generalizando 𝐻 1 2 𝐾 𝑎𝑛 𝐴𝑚