Campo Elétrico de uma Lâmina Infinita Carregada

Campo elétrico devido à uma lâmina de cargas Suponha uma lâmina delgada plana e infinita sobre a qual exista uma distribuição superficial de cargas uniformemente distribuídas ρsCm2 Queremos determinar o campo elétrico num ponto P nas imediações desta lâmina A figura vêse uma lâmina plana e infinita uniformemente carregada com ρs Cm2 Vamos determinar o campo elétrico no ponto P situado nas vizinhanças da lâmina P 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 Vamos adotar o sistema de coordenadas cartesianas e imaginar que a lâmina ocupa todo o plano zy O ponto P encontrase em x y0 z0 sobre o eixo x z y Px y0 z0 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 x Suponha agora uma tira muito estreita de largura dy paralela ao eixo z passando pelo ponto x0yyz ou seja se estendendo de z até z z y 𝑑𝑦 x P 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 x0yyz No ponto P constatamos a existência de um campo elétrico provocado pela tira 𝑑𝐸 Como já vimos antes o campo de um filamento infinito em um ponto é z y y 𝑑𝑦 x P 𝑑𝐸 𝑅 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝑅 𝑎𝑅 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 A densidade linear de carga equivalente na nossa tira será 𝜌𝑙 𝜌𝑠𝑑𝑦 E o vetor posição 𝑅 pode ser escrito como z y y 𝑑𝑦 x P 𝑑𝐸 𝑅 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 𝑦𝑎𝑦 𝑥 𝑎𝑥 𝑅 𝑥 𝑎𝑥 𝑦𝑎𝑦 No ponto P z y y 𝑑𝑦 x P 𝑑𝐸 𝑅 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 𝑦𝑎𝑦 𝑥 𝑎𝑥 𝑅 𝑅 𝑥2 𝑦2 𝑑𝐸 𝜌𝑙 2𝜋𝜀0𝑅 𝑎𝑅 𝜌𝑠𝑑𝑦 2𝜋𝜀0𝑅 𝑎𝑅 Assim 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝑑𝑦 2𝜋𝜀0 𝑥2𝑦2 𝑥 𝑎𝑥𝑦 𝑎𝑦 𝑥2𝑦2 𝑎𝑅 𝑅 𝑅 𝑥 𝑎𝑥𝑦 𝑎𝑦 𝑥2𝑦2 z y y 𝑑𝑦 x P 𝑑𝐸 𝑅 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 𝑦𝑎𝑦 𝑥 𝑎𝑥 Devemos agora considerar a existência de simetrias no problema 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝑥𝑑𝑦 𝑎𝑥 2𝜋𝜀0 𝑥2𝑦2 𝜌𝑠𝑦𝑑𝑦 𝑎𝑦 2𝜋𝜀0 𝑥2𝑦2 z y x P 𝐸 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 Integrando finalmente obtemos a expressão do campo da lâmina em P 𝐸 𝑦 𝜌𝑠𝑥𝑑𝑦 2𝜋𝜀0 𝑥2𝑦2 𝑎𝑥 𝐸 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑥 O campo devido a toda a lâmina Aspecto do campo de uma lâmina plana infinita uniformemente carregada com um distribuição superficial ρs Cm2 Se ρs for positiva 𝐸 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑛 𝐸 Aspecto do campo de uma lâmina plana infinita uniformemente carregada com um distribuição superficial ρs Cm2 Se ρs for negativa 𝐸 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑛 𝐸 O campo devido à lâmina é definido em qualquer ponto do espaço mesmo sobre a própria lâmina A intensidade do campo independende da distância da lâmina Características do campo da lâmina plana infinita Exemplo numérico No espaço livre temos uma lâmina plana uniformemente carregada 𝜌𝑠 5 nCm2 localizada no plano y2 Determine o campo elétrico devido à lâmina nos pontos a Na origem b Em Mx2 y4 z3 valores em metros c Em Nx3y4 z1 O Solução a As coordenadas da origem x0y0z0 𝐸𝑂 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑛 5109 2𝜀0 𝑎𝑦 𝐸𝑂 5109 2 8851012 𝑎𝑦 𝐸𝑂 28248 𝑎𝑦 y2 y z x O b Para o ponto Mx2y4z3 𝐸𝑀 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑛 5109 2𝜀0 𝑎𝑦 𝐸𝑀 5109 2 8851012 𝑎𝑦 𝐸𝑀 28248 𝑎𝑦 Vm y2 y z x M O c Para o ponto Nx2y4z3 𝐸𝑁 𝜌𝑠 2𝜀0 𝑎𝑛 5109 2𝜀0 𝑎𝑦 𝐸𝑁 5109 2 8851012 𝑎𝑦 𝐸𝑁 28248 𝑎𝑦 Vm y2 y z x N Fontes básicas do campo eletrostático Carga pontual Linha infinita filamento carregada Lâmina plana carregada Considerações sobre essas fontes de campo Campo de um anel circular de raio a carregado uniformemente com 𝜌𝑙 𝐶𝑚 a Queremos determinar o campo elétrico em um ponto P situado d metros acima do centro do anel P d O 𝜌𝑙 a Precisamos definir um sistema de coordenadas para a tarefa P d OO a Adotando o sistema de coordenadas cilíndricas P zd z O ρ 𝜌𝑙 a Tomando um elemento infinitesimal de carga dq no anel P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝑑𝐸 𝜌𝑙 𝑅 a O campo devido a esse elemento de carga é o mesmo campo produzido por uma carga pontual P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝜌𝑙𝑎𝑑𝜙 𝑑𝐸 𝑑𝑞 4𝜋𝜀𝑜 𝑅 2 𝑎𝑅 𝜌𝑙 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑎𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑅 2 𝑎𝑅 𝑅 𝑎𝑑𝜙 O vetor posição pode ser escrito como 𝑅 𝑎 𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝜌𝑙𝑎𝑑𝜙 𝜌𝑙 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑎𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑅 2 𝑎𝑅 𝑅 𝑎𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑎𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑎2 𝑑2 2 𝑎 𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝑎2 𝑑2 𝑅 𝑎2 𝑑2 𝑎𝑅 𝑎𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝑎2 𝑑2 𝑑𝐸 Observando a simetria 𝑑𝐸 𝑎2𝜌𝑙𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑎2𝑑2 32 𝑎𝜌 𝑑𝑎𝜌𝑙𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑎2𝑑2 32 𝑎𝑧 𝑑𝐸 𝜌𝑙𝑎𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑎2 𝑑2 2 𝑎 𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝑎2 𝑑2 P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝜌𝑙𝑎𝑑𝜙 𝜌𝑙 𝑅 𝑎𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝑑𝐸 Desenvolvendo P zd z O ρ 𝜌𝑙 𝑎 𝑑𝐸 𝑑𝑎𝜌𝑙𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑎2𝑑2 32 𝑎𝑧 𝐸 Integrando sobre todo o anel 𝐸 𝜙0 2𝜋 𝑑𝑎𝜌𝑙𝑑𝜙 4𝜋𝜀𝑜 𝑎2𝑑2 32 𝑎𝑧 𝐸 𝑑𝑎𝜌𝑙 4𝜋𝜀𝑜 𝑎2𝑑2 32 𝜙0 2𝜋 𝑑𝜙 𝑎𝑧 𝐸 𝑑𝑎𝜌𝑙 2𝜀𝑜 𝑎2𝑑2 32 𝑎𝑧 Exercício proposto No espaço livre temos um anel circular de raio a2 m no plano xy cujo centro se encontra na origem O anel é uniformemente carregado com 𝜌𝑙 20 nCm Determine o campo elétrico devido ao anel nos pontos a Em Mx0 y0 z3 valores em metros b Em Nx0 y0 z3 valores em metros c Na origem Campo de um disco circular de raio a carregado uniformemente com 𝜌𝑠 𝐶𝑚2 a Queremos determinar o campo elétrico em um ponto P situado d metros acima do centro do anel P d O 𝜌𝑠 a Precisamos definir um sistema de coordenadas para a tarefa P d OO a Escolhendo o sistema de coordenadas cilíndricas P zd z O ρ 𝜌𝑠 Tomando um elemento infinitesimal de carga dq no disco a P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝑑𝐸 𝜌𝑠 𝑅 𝑑𝑞 𝜌𝑠𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌 C 𝜌𝑑𝜙 𝑑𝜌 O campo desse elemento de carga é o mesmo campo de uma carga pontual 𝑑𝐸 𝑑𝑞 4𝜋𝜀𝑜 𝑅 2 𝑎𝑅 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝑅 2 𝑎𝑅 a P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝑑𝐸 𝑅 𝜌𝑠 a P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝑑𝐸 𝑅 𝜌𝑠 O vetor posição pode ser escrito como 𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝑅 2 𝑎𝑅 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝜌2 𝑑2 2 𝜌𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝜌2 𝑑2 𝑅 𝜌2 𝑑2 𝑎𝑅 𝜌𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝜌2 𝑑2 𝜌𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 a P zd z O ρ 𝑑𝑞 𝑑𝐸 𝑅 𝜌𝑠 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝜌𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝜌2 𝑑2 2 𝜌𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 𝜌2 𝑑2 𝜌𝑎𝜌 𝑑 𝑎𝑧 Observando a simetria 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝜌2𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝜌2𝑑2 32 𝑎𝜌 𝜌𝑠𝜌𝑑𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝜌2𝑑2 32 𝑎𝑧 Desenvolvendo a P zd z O 𝐸 𝜌𝑠 𝑑𝐸 𝜌𝑠𝜌𝑑𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝜌2𝑑2 32 𝑎𝑧 Integrando em todo o disco 𝐸 න 𝜙0 2𝜋 න 𝜌0 𝑎 𝜌𝑠𝜌𝑑𝑑𝜙𝑑𝜌 4𝜋𝜀𝑜 𝜌2 𝑑2 32 𝑎𝑧 𝐸 𝜌𝑠𝑑 2𝜀𝑜 1 𝑑2 1 𝑎2 𝑑2 𝑎𝑧 Exercício proposto No espaço livre temos um disco circular de raio a2 m no plano xy cujo centro se encontra na origem O disco é uniformemente carregado com 𝜌𝑠 10 nCm2 Determine o campo elétrico devido ao disco nos pontos a Em Mx0 y0 z3 valores em metros b Em Nx0 y0 z3 valores em metros c Na origem