Análise de Sistemas de Controle: Pólos e Zeros

Sistemas de 1ª e 2ª ordem Sistemas de Controle Pólos e zeros Suponha a seguinte função de transferência A expansão em frações parciais de Gs pode ser escrita como Sem perda de generalidade Sistemas de Controle 1 1 m i i n i i s z G s s p 1 n i i i K G s s p 1 2 1 2 n p t p t p t n g t K e K e K e 2 Pólos e zeros Se Gs tende a infinito quando s tende a p p é dito um pólo Os pontos nos quais função Gs se anulam são chamados de zeros da função de transferência Sistemas de Controle Definição de pólo s p G s Definição de zero 0 s z G s 3 Pólos e zeros Pólos Raízes do denominador da função de transferência Zeros Raízes do numerador da função de transferência Exemplo Considere a seguinte função de transferência Determine quantos e quais são o pólos e zeros Sistemas de Controle 2 2 2 10 1 5 15 20 125 s s G s s s s s s s 4 Pólos e zeros A análise de sistemas lineares invariantes no tempo no domínio da frequência através de funções transferência apresenta várias vantagens Possibilidade de avaliar qualitativamente o comportamento do sistema em questão apenas com base nos polos e nos zeros da função de transferência Tal análise é feita através do posicionamento dos pólos e dos zeros no plano complexo s visto posteriormente LGR Sistemas de Controle 5 Pólos e zeros Considere o sistema linear abaixo onde Us representa o sinal de entrada Ys o sinal de saída e Gs a função de transferência apresentada abaixo Sistemas de Controle 2 1 4 s G s s s spoly0s Gs2s1s4 GssyslincG plzrGs 6 Pólos e zeros Exemplo Determine o diagrama de pólos e zeros Sistemas de Controle 2 75 20 75 G s s s 2 2 10 1 5 15 s s G s s s s s 2 2 20 200 s G s s s 7 Sistemas de 1ª e 2ª ordem O polinômio do denominador é composto pelo produto de termos de primeira e segunda ordem que representam respectivamente raízes reais e raízes complexas da função de transferência Logo informações sobre o comportamento podem ser obtidas apenas com base na localização dos termos de primeira e segunda ordem que compõem cada sistema Sistemas de Controle 8 Sistemas de 1ª e 2ª ordem Sistemas de Controle ZEROS POLOS 9 Sistemas de 1ª e 2ª ordem Sistemas de Controle 10 Grau Relativo A função de transferência apresenta n pólos e m zeros o que a caracteriza como sendo uma função de transferência de grau relativo nm Definição de grau relativo em sistemas lineares diferença entre o número de polos e de zeros da função de transferência do sistema Grnm Sistemas de Controle 11 Ganho DC Obtido através da relação entre o sinal de saída em regime permanente deste processo e o seu sinal de entrada Considere a seguinte função de transferência Admitindo que no processo representado pela função de transferência é excitado com um sinal constante sua saída será um valor constante em regime permanente Sistemas de Controle 12 Ganho DC O sinal de excitação do processo para análise do ganho DC deve ser um sinal constante Para um sinal constante e de amplitude unitária temse Resultando em Sistemas de Controle 13 Ganho DC Exercício Determine o ganho DC para os sistemas considerando entrada do tipo Sistemas de Controle 2 75 20 75 G s s s 2 2 10 1 5 15 s s G s s s s s 2 2 20 200 s G s s s spoly0s num75 dens220s75 Gnumden GssyslincG dcgainhornerGs0 tlinspace010100 ycsimsteptGs plottyxgrid 14 Sistemas de 1ª Ordem Exemplo Sistema elétrico composto por uma resistência e um capacitor relações e Sistemas de Controle 0 0 1 i Ri t v t v t i t dt v t C 0 v t iv t 15 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Diagrama de blocos 0 0 i RI s V s V s I s V s sC 0 1 1 i V s V s RCs 16 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Função de transferência 0 0 0 i RI s V s V s I s V s sC I s sCV s Substituindo Is 0 0 0 1 1 1 1 i i RV s sC V s V s V s RC V s RCs s RC 17 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle 0 1 1 i V s RC V s s RC Pólo 1RC Nenhum zero Ganho DC 0 1 lim 1 s A RC s A s s RC Considerando o sinal de entrada vit constante e de amplitude igual a A 18 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle 0 1 1 i V s RC V s s RC Observe que a equação Y s k G s U s s p 1 k RC 1 p RC A resposta temporal yt para entrada do tipo degrau unitário 1 k Y s s s p A B Y s s s p 19 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Encontramos A e B k A p k B p k k p p Y s s s p Usamos a 1 1 1 pt k k k p p y t U s G s e s s p p 1 O valor em regime de yt é obtido usando o teorema do valor final 0 0 1 lim lim s s k k k y sU s s s p s s p p 20 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle A constante de tempo t pt k y t e p 1 1 t p t k y t e p t 1 Quando tt k 0632 y t p 21 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Tempo de estabilização ts É o intervalo de tempo necessário para a resposta temporal entre em regime permanente quando o sistema é alimentado por um sinal do tipo degrau 3 5 4 2 s s t t t t Tempo de subida tr Tempo necessário para que a forma de onda vá 01 a 09 do valor final 22 10 90 295 5 95 r r t t t t 22 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle 23 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Ganho DC 1 U s s 0 lim DC s Ganho G s k G s s p 0 lim DC s k k Ganho s p p Se kp 1 GanhoDC Se kp 1 GanhoDC Se kp 1 GanhoDC 24 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Resposta no tempo k G s s p pt k y t e p 1 p 0 p 0 0 p spoly0s k1 p1 tlinspace010100 Gssyslincksp ycsimsteptGs plottyxgrid 25 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Resposta no tempo 0 p 0 p 0 p instável Res Ims k G s s p 26 Sistemas de 1ª Ordem Sistemas de Controle Resposta no tempo 0 p 0 p 0 p instável Res Ims k G s s p Resposta lenta Resposta rápida 27 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Suponha como exemplo o sistema massa mola e amortecedor As equações deste sistema é feita no balanço de todas as forcas k b m F t Kx t F t Bx t F t Mx t 0 0 0 K B M k b m F t F t F t F t 28 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle K 1 s F s X s 1 s 1 M B kF s b F s Fm s F t Kx t Bx t Mx t k b m F t F t F t F t 2 F s KX s BsX s Ms X s m k b F s F s F s F s 29 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle 2 2 1 1 X s M B K F s Ms Bs K s M s M 2 2 1 2 n n X s M F s s s 2 n K M B KM Frequência natural não amortecida Fator de amortecimento 30 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle n K M Ganho DC DC 2 2 0 1 1 1 Ganho lim 2 s n n M s s s s K Pólos de um sistema de 2ª ordem 2 2 2 2 n n n G s s s 2 1 2 2 1 1 n n n n p p Dependem do valor de e n 31 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Sistema subamortecida Sistema criticamente amortecido 0 1 1 Sistema superamortecido 1 2 12 1 n n p j 2 12 1 n n p 12 n p 2 12 1 n n p 32 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Sistema subamortecido 2 12 12 2 1 1 n n n d d n p j p j 2 2 2 2 n n n X s F s s s Frequência natural amortecida 2 n n d n d G s s j s j Para uma entrada em degrau unitário 2 2 2 1 2 n n n X s s s s 33 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Sistema subamortecido Frações parciais 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n n n n n d n n n d n d s s X s s s s s s s s s Transformada inversa de Laplace 2 2 1 2 cos sin 1 1 sin tan 1 n n t d d t d x t e t t e t 1 1 2 1 d n 34 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Sistema subamortecido 2 2 cos sin 1 0 1 1 cos nt d d d n d x t e t t x t t 1 35 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Sistema criticamente amortecido 12 n p 2 2 2 2 n n n X s F s s s Para uma entrada em degrau unitário 2 2 1 n n X s s s Transformada inversa de Laplace 1 n n x t e t 1 36 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Sistema superamortecido 2 2 2 2 n n n X s F s s s Para uma entrada em degrau unitário 2 2 2 1 1 1 n n n n n X s s s s Transformada inversa de Laplace 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 1 s t s t n e e x t s s s s 1 2 12 1 n n p 37 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Exemplo 2 2 1 1 X s M B K F s Ms Bs K s M s M 2 12 4 2 2 Ba KM B p M M 38 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Exemplo Polos podem ser reais ou complexos em função dos valores atribuídos aos parâmetros M B e K Condição Tipo de pólo M10Kg e K10Kgs2 Valor de B Valor dos pólos Pólos distinto reais B200 Kgs 005 19095 Pólos reais múltiplos B20 Kgs 1 1 Pólos imaginários B2Kgs 01j0995 01j0995 Pólos Imaginários puros B0 Kgs j j 2 B KM 0 B 2 B KM 2 B KM 39 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Condição Tipo de pólo M10Kg e K10Kgs2 Valor de B Resposta no tempo Pólos distinto reais B200 Kgs Pólos reais multiplos B20 Kgs Pólos imaginários B2Kgs Pólos Imaginários puros B0 Kgs 2 B KM 0 B 2 B KM 2 B KM 005 1995 01 01003 000025 t t y t e e 1 01 01 t t y t te e 01 01 01 01018 cos 0995 00204 sin 0995 t t y t e t e t 01 01cos y t t 40 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Para o caso analisado os parâmetros M e K foram especificados fixos e foi ajustado o parâmetro B de maneira a produzir todas as possíveis respostas temporais de um sistema de segunda ordem estável O valor de regime é obtido considerando para B0 Para o caso em que B0 o sistema dinâmico não tem amortecimento e o valor do deslocamento oscila em torno do obtido acima t 0 2 1 1 1 lim 01 s M x s B K s K s M s M 41 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos reais distintos 1 2 k G s s p s p 1 2 1 2 1 k k Y s U s s p s p s s p s p Assumir que Us degrau unitário 1 2 1 2 1 k A B C Y s s s p s p s s p s p Frações parciais para encontramos A B e C 42 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos reais distintos 1 2 k A p p 1 2 1 k B p p p 2 1 2 k C p p p Aplicando a transformada inversa de Laplace 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 p t p t k k k y t U s G s t e e p p p p p p p p 1 O valor de regime é obtido aplicando o teorema do valor final 0 1 2 1 2 1 lim s k k y s s s p s p p p 43 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos reais múltiplos k G s s p s p 1 k k Y s U s s p s p s s p s p Assumir que Us degrau unitário 2 1 k A B C Y s s s p s p s s p s p Frações parciais encontramos A B e C 44 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle 2 k A p k B p 2 k C p Aplicando a transformada inversa de Laplace 1 2 2 pt pt k k k y t U s G s t te e p p p 1 O valor de regime é obtido aplicando o teorema do valor final 2 0 1 lim s k k y s s s p s p p Pólos reais múltiplos 45 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Aproximação por sistemas de 1ª ordem 1 2 Y s K G s U s s p s p Sistemas de segunda ordem que possuem polos reais podem ser analisados como dois sistemas de 1º ordem em serie considerando 1 2 K k k 46 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Aproximação por sistemas de 1ª ordem 1 2 Y s K G s U s s p s p Se a constante de tempo de um dos polos for muito menor Podese aproximar o sistema de segunda ordem por FT de primeira ordem considerando somente o efeito relativo ao polo com a maior constante de tempo Este polo é chamado de pólo dominante p2 Entretanto devese manter o ganho DC da função de transferência original ou seja Um sistema de 2º ordem com polos reais um polo é considerado dominante quando apresentar a constante de tempo no mínimo dez vezes maior que a do outro pólo 1 2 1 2 1 Y s K K G s U s s p s p p s p 47 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Aproximação por sistemas de 1ª ordem k p1 p2 τ1 τ2 Ganho DC y 500 20 100 100 10 60 200 10 20 100 10 10 100 50 2 20 10 2 10 10 1 100 10 100 Preencha a tabela e esboce a resposta temporal yt para cada caso Scilab Considere ut do tipo degrau unitário Realize a simulação e analise o tempo de estabilização dos sistemas É possível aproximar algum sistema por um sistema de 1ª ordem Justifique 48 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos Complexos conjugados é mais conveniente reescrever a função de transferência da seguinte forma 2 2 2 1 2 2 n n n k G s s p s p s s 2 n K M 1 k M 1 K Ganho DC 2 2 1 1 M G s B K Ms Bs K s M s M 49 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos 2 2 2 1 2 2 n n n k G s s p s p s s 2 12 2 1 n n n p j k Os parâmetros se relacionam diretamente com a característica da resposta temporal de um sistema de 2º ordem considerando o sinal de entrada do tipo degrau n As raízes do denominador são também os polos de função de transferência e são dadas pelas expressões 50 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos Para o caso específico em que 0ξ1 a parte real das raízes complexas será negativa e os polos complexos conjugados estarão localizados no semiplano esquerdo do plano s 2 12 12 2 1 1 n n n d d n p j p j 51 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos 2 2 2 2 n n n G s s s A resposta analítica do sinal de saída para uma entrada degrau do sistema 2 2 2 1 2 n n n Y s U s G s s s s 2 2 n d A Bs C Y s U s G s s s 2 1 d n 52 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos A Usando o método de fracções parciais B 2 n C Ajustando os termos obtemos 2 2 2 n n d s Y s s s 2 2 2 2 2 1 n d n d n d s Y s s s s 2 1 d n 53 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos Aplicando a transforma inversa de laplace 2 2 2 2 2 1 n d n d n d s Y s s s s 2 cos sin 1 n n t t d d y t t e t e t 1 54 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos Valor em regime como estamos usando uma entrada degrau unitário é o mesmo valor de ganho DC 2 cos sin 1 n n t t d d y t t e t e t 1 Aplicamos o teorema do valor final 2 2 2 2 n n n G s s s 2 2 2 0 0 1 lim lim 2 n s s n n y sU s G s s s s s 55 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos Com base na seguinte equação 2 cos sin 1 n n t t d d y t t e t e t 1 A resposta em regime do sistema depende de e a resposta transitória depende de d 56 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos 57 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos 2 2 2 2 n n n G s s s 2 cos sin 1 n n t d t d y t t e t e t 1 58 Sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Pólos Complexos Quando a parte real do polo complexo conjugado é positiva a resposta temporal não entra em regime pois o fator exponencial da equação tende a aumentar 2 cos sin 1 n n t d t d y t t e t e t 1 2 12 1 n n p j 59 Desempenho sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle 60 Desempenho sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle tr rise time tempo necessário para que a variável de saída do sistema passe de 0 a 100 do seu valor final r d t 61 Desempenho sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle p d t tp peak time tempo necessário para que a variável de saída alcance seu valor máximo O tempo de pico depende diretamente da frequência natural amortecida do sistema d 2 1 d n 62 Desempenho sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle 4 2 s n t 3 5 s n t ts settling time tempo necessário para que a variável de saída do sistema alcance e permaneça dentro de uma faixa próxima de seu valor final usualmente 2 63 Desempenho sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle Mp maximum peak valor máximo que a variável de saída do sistema alcança em relação ao valor de regime permanente 2 1 M p e 64 Desempenho sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle 4 s n t Note que M p s n t Isso significa que a duração do período transitório pode variar sem alteração do máximo sobressinal pelo ajuste da frequência natural não amortecida 65 Desempenho sistemas de 2ª Ordem Sistemas de Controle a b pólos Mp ts 5 2 26 8 160 15 113 10 300 10 900 15 350 30 1500 25 225 2 b G s s as b Preencha a tabela e esboce a resposta temporal yt para cada caso Considere o sinal de entrada do tipo degrau unitário n 66