Derivada Implícita - Conceitos e Aplicações em Cálculo

1 Profa Me Alessandra Azzolini CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL Aula 6 DERIVADA IMPLICITA Profa Me Alessandra Azzolini 2 Profa Me Alessandra Azzolini Quando escrevemos temos que a função está escrita na forma explícita Observe um exemplo a função 6 está explicitada e pode ser derivada usando as regras normais de derivação Entretanto algumas vezes não conseguiremos isolar a função mas mesmo assim teremos que derivar a expressão Seja um exemplo no qual não conseguiremos isolar a função e escreveremos na forma 3 3 6 Neste caso teremos uma função implícita A operação do cálculo que nos permite determinar a derivada é chamada de diferenciação No caso de não conseguirmos isolar a função teremos a chamada diferenciação implícita Para derivarmos uma função basta lembrarmos de que é uma função de Então derivamos em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação a ou seja usaremos a regra da cadeia Um exemplo de função implícita é o Fólio de Descartes dado pela equação 3 3 6 conforme vemos na figura a seguir Função explicita 6 3 2 3 Função na forma implícita para forma explicita 2 0 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 4 0 2 4 ² 4 ² 3 Profa Me Alessandra Azzolini A função pode se apresentar sob a forma explícita ou isolada e sob a forma implícita As duas formas podem ser derivadas respeitando o fato que na derivação implícita devemos lembrar que e derivarmos sempre os termos de em relação a Assim em todo termo da expressão que contiver teremos A seguir estudaremos como podemos derivar sucessivamente uma função obtendo as chamadas derivadas de ordem superior Derivada em relação a x 2 4 2 Derivada em relação a x 2 3 7 8 2x 3² 7 0 2x 1 3² 71 0 2x 3² 7 0 Derivada em relação a y 2 3 7 8 2x 3² 7 0 2x 3² 1 7 0 2x 3² 7 0 4 Profa Me Alessandra Azzolini Seja a equação dada por 2 2 25 Determine a equação da reta tangente a esta equação no ponto 3 4 Derivando implicitamente teremos 2 2 25 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 No ponto 34 a derivada será igual a 3 4 A equação da reta tangente pode ser dada por 0 0 Como a derivada equivale numericamente à inclinação da reta tangente teremos 0 0 5 Profa Me Alessandra Azzolini 4 3 4 3 4 4 3 3 4 16 3 9 4 3 9 16 4 3 25 Veja o gráfico a seguir Encontre a derivadas em relação a x das funções abaixo que estão na forma implícita pela regra prática f x 4 5 7 43 54 0 43 54 0 54 43 4 5 7 43 54 0 54 43 Utilizando a Regra Prática 1º deriva x normalmente 2º deriva y normalmente e multiplica por y 6 Profa Me Alessandra Azzolini 2 7 8 5 2 7 8 5 2 ² 7 8 0 ² 8 2 7 ² 8 2 7 2 7 ² 8 2 2 ² 1 2 ² 2 23 3 2 6² 3 2 6² 3 3 6² 3 3 2 6² 3 3 2 3 2 6² 3 1 3 3 6 32 3² 6 32 3² 6 6 3² 6 6 3² 3² 6 6 3² 6 3² 3² 6 2 ² 2 2 1 1 2 32 4 6 2 7 Profa Me Alessandra Azzolini 1 1 1 ² ² 2 2 3 3 2 ² 2 2 ℎ 2 32 5 4 35 154 6 2 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS STEWART James Cálculo volume I 5ª edição São Paulo SP Pioneira Thomson Learning 2006 GUIDORIZZI Hamilton L Um Curso de Cálculo Volume 1 Rio de Janeiro Editora LTC 2001 ROGAWSKI Jon Cálculo Volume 1 Porto Alegre Bookman 2009