Integrais Indefinidas - Conceitos e Aplicações

1 Profa Me Alessandra Azzolini CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL Aula 7 INTEGRAIS INDEFINIDAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Reconhecer que uma função possui infinitas funções primitivas Reconhecer a integral como um conjunto infinito de funções primitivas Profa Me Alessandra Azzolini 2 Profa Me Alessandra Azzolini Antiderivada Se F for definida por 3 Profa Me Alessandra Azzolini Podemos escrever Como a antidiferenciação é a operação inversa da diferenciação os teoremas sobre antidiferenciação podem ser obtidos dos teoremas sobre diferenciação Assim sendo os teoremas a seguir podem ser provados a partir dos teoremas correspondentes da diferenciação O Teorema 4 estabelece que para determinar uma antiderivada de uma constante vezes uma função achamos primeiro uma antiderivada da função multiplicandoa em seguida pela constante O Teorema 5 estabelece que para determinar uma antiderivada da soma de duas funções achamos primeiro a antiderivada de cada uma das funções separadamente e então somamos os resultados ficando subentendido que ambas as funções estão definidas no mesmo intervalo O Teorema 5 pode ser estendido a um número qualquer finito de funções Teorema 6 Se f1 f2 fn estão definidas no mesmo intervalo c1f1x c2f2x cnfnx dx c1 f1x dx c2 f2x dx cn fnx dx onde c1 c2 cn são constantes Teorema 7 Se n for um número racional xn dx xn1 n1 C n 1 Uma função F será chamada de Integral Indefinida quando não há limites de integração Fx C e Definida quando há limites de integração valor Definição de Integral Indefinida Se Fx é uma primitiva de fx a expressão Fx C é chamada integral indefinida da função fx e é denotada por fx dx Fx C Lembrando que é uma antiderivada ou um primitiva de f se Fx fx Exemplo Fx x2 é uma antiderivada primitiva de fx 2x pois Fx 2x Profa Me Alessandra Azzolini Integrais básicas Integral de constante n dx então Fx nx C fx 5 5 dx 5 dx 5x C fy 3 3 dy 3 dy 3y C Integral de polinômios xn dx então Fx xn1 n1 C fx 2x 2x dx 2 x dx 2 x11 11 C 2x22 C x2 C fx x2 x2 dx x21 21 C x33 C fx 1x3 x3 dx x3131 C x22 C 12x2 C Integral de polinômios fx x x dx x12 dx x121121 C x3232 C 23 x32 C 2 x323 C 2 x33 C Profa Me Alessandra Azzolini Integral da função logarítmica neperiano fx 1x 1x dx lnx C Integral da função seno e cosseno fx senx senx dx então cosx fx cosx cosx dx então sen x Integral de exponencial fx ex ex dx então Fx ex C Profa Me Alessandra Azzolini Propriedades Operatórias 1ª Se Fx kfx então k fxdx fx 5 ex 5 ex dx 5ex C 2ª Se Fx fx gx então fxdx gxdx fx x2 senx x2 dx sen x dx x33 cosx C 3ª Se fx ux vx então uxdx vxdx fx x3 1x x3 dx 1x dx x44 lnx C 7 Profa Me Alessandra Azzolini Exercícios Calcule as integrais indefinidas utilizando a tabela de integrais a 2x3 dx 2x44 C x42 C b x2 3xdx x33 3 x22 C x33 3x22 C c 5xdx 5x x22 C d 5x dx 5lnxC e x2 6x dx x33 6lnx C f senx cosx dx cosx senx C g 1x3 x2 5x dx x22 x33 5 x22 C 12x2 x33 5x22 C h ³x dx x13 dx x13 113 1 C x13 113 1 C 4x334 C 34 x43 C 3 ³x44 C i 2ex dx 2ex C j senx 5ex dx cosx 5ex C k 3x4 5x2 x dx 3x55 5x33 x22 C 8 Profa Me Alessandra Azzolini l 3x2 4x2 dx 3x2x2 4x2 dx 3 4x2 dx 3x 4x2121 C 3x 4x11 C 3x 4x C m 1x2 dx x2121 C x11 C 1x C n 1x3 dx x22 C 12x2 C o ³x2 dx 3x55 C 3 ³x55 C Tabeas de Integrais Indefinidas 1 kfxdx k fxdx 10 fx gxdx fxdx gxdx 2 k dx kx C 11 1x dx lnx C 3 xn dx xn1n1 C n 1 12 ax dx axln a C 4 ex dx ex C 13 cos x dx sen x C 5 sen x dx cos x C 14 cossec2 x dx cotg x C 6 sec2 x dx tg x C 15 cossec x cotg x dx cossec x C 7 sec x tg x dx sec x C 16 11x2 dx sen1 x C 8 1x21 dx tg1 x C 17 cosh x dx senh x C 9 senh x dx cosh x C 18 tg x ln sec x C 9 Profa Me Alessandra Azzolini 10 Profa Me Alessandra Azzolini REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS STEWART James Cálculo volume I 5ª edição São Paulo SP Pioneira Thomson Learning 2006 GUIDORIZZI Hamilton L Um Curso de Cálculo Volume 1 Rio de Janeiro Editora LTC 2001 Disponível em httpswwwdicasdecalculocombrconteudosderivadasaplicacoesde derivadas acesso em 29 de setembro 2019