Integrais Definidas - Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações

1 Profa Me Alessandra Azzolini CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL Aula 8 INTEGRAIS DEFINIDAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Reconhecer que uma função possui infinitas funções primitivas Reconhecer a integral como um conjunto infinito de funções primitivas Profa Me Alessandra Azzolini 2 Profa Me Alessandra Azzolini Integrais Definidas Seja f uma função contínua num intervalo ab O limite recebe o nome de Integral definida da função f sobre o intervalo ab e será indicado pela notação Teorema Fundamental do Cálculo TFC Se fx é contínua em um intervalo fechado ab e Fx Integral temos que 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐹𝑥𝑎𝑏 𝐹𝑏 𝐹𝑎 3 Profa Me Alessandra Azzolini Exemplo 1 𝑓𝑥 𝑥3 5𝑥2 𝑥 10 Basta dividirmos a área em pequenos retângulosáreas 4 Profa Me Alessandra Azzolini Exemplo 2 Quando aparece uma função como a seguinte e pedese a área geralmente não temos problemas em calcular 𝐴 b h 2 24 2 4 𝑢 𝑎 2𝑥 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 2 0 2 0 2 𝑥11 1 1 0 2 2𝑥2 2 0 2 𝑥20 2 22 0² 4 𝑢 𝑎 Caso I Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de fx e o eixo x quando fx 0 𝐀 𝐟𝐱 𝐝𝐱 𝐛 𝐚 Exemplo 3 Determine a área limitada pelo eixo x e pela curva fx x com 0 x 3 𝐱 𝐝𝐱 𝐱𝟐 𝟐 0 3 𝟑 𝟎 𝟑𝟐 𝟐 𝟎𝟐 𝟐 𝟗 𝟐 𝟒 𝟓 𝒖 𝒂 𝐹𝑥𝑎𝑏 𝐹𝑏 𝐹𝑎 5 Profa Me Alessandra Azzolini Caso II Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de fx e o eixo x quando fx 0 𝐀 𝐟𝐱 𝐝𝐱 𝐛 𝐚 Exemplo 4 Determine a área limitada pelo eixo x e pela curva fx x2 3x 4 com 1 x 4 x2 3x 4 dx 𝟒 𝟏 𝐱𝟑 𝟑 𝟑𝐱𝟐 𝟐 𝟒𝒙 1 4 𝟒𝟑 𝟑 𝟑 𝟒𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 𝟏𝟑 𝟑 𝟑𝟏𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟔𝟒 𝟑 𝟒𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟔𝟒 𝟑 𝟒𝟖 𝟐 𝟏𝟔 𝟏 𝟑 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐𝟎 𝟖𝟑 𝟐𝟎 𝟖𝟑 𝒖 𝒂 6 Profa Me Alessandra Azzolini Exemplo 5 Encontre a área total entre a curva 𝑦 1 𝑥2 e o eixo x sobre o intervalo 02 1 𝑥2𝑑𝑥 2 0 1 𝑥²𝑑𝑥 1 𝑥²𝑑𝑥 2 1 1 0 𝑥 𝑥3 3 0 1 𝑥 𝑥3 3 1 2 𝑥 𝑥3 3 0 1 𝑥 𝑥3 3 1 2 1 13 3 0 03 3 2 23 3 1 13 3 1 1 3 0 2 8 3 1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3 6 3 2 𝑢 𝑎 Caso III Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de fx e gx quando fx gx 𝐴 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 7 Profa Me Alessandra Azzolini Exemplo 6 𝐴 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐴 𝑥 6 𝑥² 𝑑𝑥 𝑥² 𝑥 6 𝑑𝑥 2 0 2 0 𝑥3 3 𝑥2 2 6𝑥 0 2 23 3 22 2 62 03 3 02 2 60 8 3 4 2 12 0 8 3 14 34 3 𝑢 𝑎 1133 𝑢 𝑎 Como resolver Para encontrarmos a área devemos seguir alguns passos 1 Igualar as duas funções e os pontos de intersecção 2 Esboçar a região a área que queremos determinar 3 Verificar pelo gráfico qual é a função que aparece primeiro olhando de cima para baixo e montar a integral 4 Resolver a integral 8 Profa Me Alessandra Azzolini Exemplo 7 Calcule a área da região limitada pelos gráficos de fx 3 x² e gx x 1 3 x2 x 1 𝑥2 𝑥 3 1 0 𝑥2 𝑥 2 0 𝑥 2 𝑜𝑢 𝑥 1 𝐴 3 x² 𝑥 1 𝑑𝑥 1 2 3 𝑥² 𝑥 1 𝑑𝑥 1 2 𝑥² 𝑥 2 𝑑𝑥 1 2 𝑥3 3 𝑥2 2 2𝑥 2 1 13 3 12 2 21 23 3 22 2 22 1 3 1 2 2 8 3 4 2 4 1 3 1 2 2 8 3 2 4 9 3 1 2 8 3 1 2 8 1 2 5 9 2 45 𝑢 𝑎 9 Profa Me Alessandra Azzolini Propriedades 10 Profa Me Alessandra Azzolini Exercício 1 Resolva as integrais definidas 𝒂 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟐 𝟎 𝒃 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 𝟖 𝟎 2 Determine a área limitada pelo eixo x e pela curva fx senx com 0 x π 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 π 0 𝑐𝑜𝑠𝑥0 π 𝑐𝑜𝑠π cos 0 𝑐𝑜𝑠π cos0 1 1 2 u a 11 Profa Me Alessandra Azzolini 3 Determine a área limitada pelo eixo x e pela curva fx x2 9 com 3 x 3 𝑥2 9dx 𝟑 𝟑 𝑥3 3 9𝑥 3 3 33 3 93 33 3 93 27 3 27 27 3 27 9 9 27 27 18 54 36 36𝑢 𝑎 4 Calcule a área da região limitada pelos gráficos de fx 1 x2 e gx 3 1 x2 3 0 x2 4 0 x2 4 x2 4 x 2 ou x 2 1 x2 3dx 𝟐 𝟐 1 x2 3dx 𝟐 𝟐 x2 4 dx 𝟐 𝟐 𝑥3 3 4𝑥 2 2 2³ 3 4 2 23 3 42 12 Profa Me Alessandra Azzolini 8 3 8 8 3 8 8 3 8 8 3 8 16 3 16 32 3 1067 𝑢 𝑎 TRABALHO DE INTEGRAL DEFINIDA Resolução 5 Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas e pelo gráfico Resp ua 13 Profa Me Alessandra Azzolini 6 A é o conjunto do plano limitado pelas retas pelo eixo e pelo gráfico de Resp ua 14 Profa Me Alessandra Azzolini 7 Calcule a área da região compreendida entre os gráficos e y com X Resp ua 15 Profa Me Alessandra Azzolini 8 A é o conjunto de todos os pontos tais que Resp ua 9 A é o conjunto de todos os pontos tais que X Resp ua 16 Profa Me Alessandra Azzolini 10 A é o conjunto de todos os pontos tais que com Resp ua 11 A é a região do plano compreendido entre o eixo e pelo gráfico com Resp ua 17 Profa Me Alessandra Azzolini 12 A é o conjunto do plano limitado pelas retas e pelo gráfico de Resp ua REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS STEWART James Cálculo volume I 5ª edição São Paulo SP Pioneira Thomson Learning 2006 GUIDORIZZI Hamilton L Um Curso de Cálculo Volume 1 Rio de Janeiro Editora LTC 2001