Integral por Substituição e Integração por Partes - Guia Completo com Exercícios Resolvidos

1 Profa Me Alessandra Azzolini CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL Aula 9 INTEGRAL PELO MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO E INTEGRAÇÃO POR PARTES Profa Me Alessandra Azzolini Integral pelo método da substituição Até agora vimos algumas maneiras integrar algumas funções mas será que com o que temos seria fácil resolver 3x4 dx Para resolvermos esses tipos de integrais precisamos usar um teorema assim como a Regra da Cadeia que vimos em derivada Teorema Regra da cadeira para a integral Seja g uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de g Suponha que f seja uma função definida em I e que F seja uma primitiva de f em I Então fgxgx dx Fgx C Pela Rera da Cadeia ddx Fgx gx Fgx se fizermos a mudança de variável ou substituição u gx então gx Fgx dx Fgx C Fu du onde escrevendo F f obtemos gx Fgx dx fu dx Profa Me Alessandra Azzolini Regra da Substituição Se u gx for uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I então fgx gx dx fu du Observe que a Regra da Substituição para a integração foi demonstrada usando a Regra da Cadeia para a derivação Note também que se u gx então du gx dx Assim a Regra de Substituição diz que é permitido operar com dx e du após sinais de integração como se fossem diferenciais Exemplo 1 Use os dois métodos acima para calcular 3x4 dx obtemos Exemplo 1 3x4 dx u du3 u¹² 13 du 13 u¹² du 13 u²112 C 13 u³23 C u 3x4 du 3 dx dx du3 3 13 23 u² C 29 u³ C 29 3x4³ C Exemplo 2 x x²1³ dx xu³ du2x 12 u³ du 12 u⁴4 C u⁴8 C x²1⁴8 C u x²1 du 2x dx dx du2x Exercício 1 Utilizando o método da substituição calcule as integrais a 143x dx 1u du3 13 1u du 13 lnu C 13 ln43x C u 43x du 3 dx dx du3 b 15x dx 1u du 1u du lnu C ln5x C u 5x du 1 dx dx du Profa Me Alessandra Azzolini c e2x dx eu fracdu2 eu frac12 du frac12 eu du frac12 eu C frac12 e2x C u 2x du 2 dx dx fracdu2 d e2x3 dx frac12 e2x3 C e esenx cosx dx esenx C f fracx2sqrtx31 dx frac23 sqrtx3 1 C g fracsqrt1 lnxx dx frac23 sqrt1 lnx3 C h 3x 13 dx frac3x1412 C i frac4x2x2 3 dx ln 2x2 3 C j x2 12 2x dx fracx2133 C k sqrt2x1 dx fracsqrt2x133 C l 33x14 dx frac3x155 C m 5x2 12 10x dx frac5x2 133 C INTEGRAÇÃO POR PARTES Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito útil chamado integração por partes Se f e g são funções diferenciais então pela regra de diferenciação do produto Fx fx gx y u v y u v u v dy du v u dv Integrando cada membro temos dy du v u dv du v du v u dv u v v du u dv u v v du u dv u dv u v v du Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração não há necessidade de manter o C nesta última equação assim sendo obtemos fxgx dx fxgx gxfx dx a qual é chamada de fórmula de integração por partes Usando esta fórmula às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples Na prática é usual reescrever fazendo u fx e v gx Então du fx dx e dv gx dx Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para u dv u v v du Exemplo 1 x senx dx x cos x cos x dx x cos x cos x dx x cos x senx C u x du dx dv senx dx dv senx dx v cos x Exemplo 2 ln x dx ln x x x frac1x dx x ln x fracxx dx x ln x dx x ln x x C u ln x du frac1x dx dv dx dv dx v x Exemplo 3 x ex dx x ex ex dx x ex ex C u x du dx dv ex dx dv ex dx v ex Exercícios 2 Resolva as integrais indefinidas por partes a x cos x dx Resp x senx cosx C b x e2x dx Resp x e2x2 e2x4 C c x ln x dx Resp x² lnx2 x²4 C d x² cos x dx Resp x² senx 2xcosx 2senx C Profa Me Alessandra Azzolini Integrais Definidas Método da substituição Exemplo 1 Exemplo 2 Determine a área limitada pelo eixo x e pela fx 34 x com 2 x 1 1ª método from 2 to 1 34 x dx from 2 to 1 3u du 3 from 1 to 2 1u du 3lnu from 1 to 2 3ln4 x from 1 to 2 3 ln4 1 ln4 2 3 ln5 ln2 274887 Profa Me Alessandra Azzolini 3 Resolva as integrais definidas a from 1 to 0 2x 53 dx 68 b from 0 to 1 x²1 x3 dx 02310 c from 1 to 2 xx² 15 dx 6075 e from 0 to 1 x ex² dx 085914 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS STEWART James Cálculo volume I 5ª edição São Paulo SP Pioneira Thomson Learning 2006 GUIDORIZZI Hamilton L Um Curso de Cálculo Volume 1 Rio de Janeiro Editora LTC 2001 Disponível em httpswwwdicasdecalculocombrconteudosderivadasaplicacoesde derivadas acesso em 29 de setembro 2019 Profa Me Alessandra Azzolini