Lista 1: Exercícios de Probabilidade e Estatística Combinatória

Lista 1 Introdução à Probabilidade e Estatística Combinatória 1 Quantas placas de carro podem ser feitas se ao invés de utilizar 3 letras e 4 números forem utili zados 2 letras seguidas de 4 números E se nenhuma letra ou número possa se repetir 2 a Quantos inteiros entre 10000 e 100000 exis tem cujos dígitos são somente 6 7 ou 8 b Quantos inteiros entre 10000 e 100000 exis tem cujos dígitos são somente 0 6 7 ou 8 c Quantos inteiros entre 1000 e 9999 inclu sive existem com todos os dígitos distintos Desses quantos são ímpares Desses quantos são pares 3 Considere o mapa abaixo Suponha que ini cialmente você se localiza no ponto A e que você deve se mover apenas para a leste e para norte b b A B b C L N O S a De quantas formas é possível ir de A e C b De quantas formas é possível ir A e C pas sando por B c De quantas formas é possível ir A e C não passando por B d De quantas formas é possível ir de A até C e depois retornar a B 4 Dados 20 pontos não colineares no plano Quantas retas podem ser formadas ligando dois pon tos Quantos triângulos podem ser formados li gando uma tripla de pontos 5 Um trem do metro é composto de 32 carros é embarcado por 25 passageiros cada um entrando em um dos carros completamente ao acaso Qual é a probabilidade de todos os passageiros entrarem carros diferentes 6 Numa estante temos 13 livros 6 de cálculo 3 de geometria analítica e 4 de física básica De quantas maneiras é possível ordenar os livros se a Não colocarmos nenhuma restrição b Se pedirmos para que os livros de cálculo se jam colocados primeiro depois os de geome tria analítica e por fim os de física básica c Se pedirmos para que os livros do mesmo as sunto fiquem juntos 7 Imagine que na coleção de livros anteriores 3 livros de cálculo eram iguais Agora de quantas maneiras é possível ordenar os livros se a Não colocarmos nenhuma restrição b Se pedirmos para que os livros de cálculo se jam colocados primeiro depois os de geome tria analítica e por fim os de física básica c Se pedirmos para que os livros do mesmo as sunto fiquem juntos 8 Quantas conjuntos de três letras é possível formar tal que nenhum par de letras seja formado por letras consecutivas 9 Um estudante precisa vender 3 CDs de sua coleção que conta com 7 CDs de jazz 6 de rock e 4 de música clássica Quantas escolhas ele possui se a ele quiser vender quaisquer CDs b ele quiser vender os três do mesmo estilo c ele quiser vender pelo menos dois do mesmo estilo 10 Quantos anagramas combinação de letras podem ser criados com as letras das palavras a MISSISSIPPI b LISTA c PROBABILIDADE d BANANA 11 Considere um grupo de 13 pessoas Se to dos apertam as mãos quantos apertos de mão tere mos 12 Neste grupo há 9 mulheres e 6 homens As mulheres se beijam entre si com 3 beijos homens não se beijam e mulheres e homens trocam somente 1 beijo Quantos beijos teremos nos cumprimentos 13 Quantas soluções inteiras positivas têm a equação x y z w 23 14 Qual a probabilidade de tirar 7 jogando dois dados 15 Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações a O número de maneiras de distribuir r bolas idênticas em n caixas distintas com pelo me nos k bolas na primeira caixa b O número de maneiras de distribuir r bolas idênticas em n caixas distintas com nenhuma caixa com menos de duas bolas c O número de maneiras de distribuir r bolas idênticas em n caixas distintas tal que as duas primeiras caixas tenham juntas p bolas 16 Formule os seguintes problemas em termos de soluções inteiras de equações e distribuição de bolas em caixas a Seleção de seis sorvetes a partir de 31 sabores b Seleção de cinco camisas de um grupo de cinco vermelhas quatro azuis e duas ama relas c Seleção de 12 cervejas de 4 tipos com pelo menos duas de cada tipo d Seleção de 20 refrigerantes de 4 tipos com número par de cada tipo e não mais que oito do mesmo tipo 17 a De quantas maneiras podemos dispor 8 peças brancas idênticas e 8 peças pretas idênticas num tabuleiro de xadrez 8 x 8 b Quantas são simétricas a disposição fica a mesma quando rotacionamos o tabuleiro de 180 graus 18 Para jogar uma partida de futebol 22 cri anças dividemse em dois times de 11 cada Quantas divisões diferentes são possíveis 19 Em uma caixa há 100 bolas enumeradas de 1 a 100 Cinco bolas são escolhidas ao acaso Qual a probabilidade de que os números correspondentes as cinco bolas escolhidas sejam consecutivos 20 Um apostador possui 18 fichas e quer apostalas em 4 cavalos de modo que a aposta em cada cavalo seja de pelo menos uma ficha de quan tos modo o apostador pode realizar sua aposta 21 Uma pessoa tem 12 amigos dos quais 5 se 2 rao convidados para uma festa 23 Temos 20 mil reais que devem ser aplicados a Quantas escolhas existem se dois dos amigos ntre 4 carteiras diferentes Cada aplicagao deve ser estiverem brigados e por esse motivo nao pu feita em midltiplos de mil reais e os investimentos minimos que podem ser feitos sao de 223 e 4 mil derem comparecer que p reais ntas estratégias de aplicacao diferentes b Quantas escolhas existem se dois dos amigos a Quanta ategia aphicaga 9 existem se puderem ir apenas se forem juntos a uma aplicagao tiver que ser feita em cada car teira 22 oe se Most d IucSes intel b aplicagoes tiverem que ser feitas em pelo me a lostre que o numero de solugoes inteiras nos 3 das quatro carteiras nao negativas de uma equagao da forma Xp x Xx n com n inteiro é nr1l 24 Quantas sequéncias de cinco letras é pos r1 sivel formar tal que nenhum par de letras seja con secutivo b Quantas solugoes inteiras nao negativas tém a equagao x yzw 23 3 Respostas dos Exercicios 1 262610101010 262510987 13 7 2 a 33333 243 14 O espaco amostral pode ser escolhido como i j b 34444 768 comiél6ej7 16 Logo o espaco amostral c 9987 e 2240 jé que temos 5 escolhas paraa tem 36 elementos unidade 8 para o milhar 8 para a centena e 7 para a Os eventos favordveis nesse caso sO OS pares que dezena satisfazem i j 7 que sao 71 6 Pares existem 2296 Logo a probabilidade é 16 10 4 6 10 4 6 3 a b 5 5 c 5 5 15 a O ntmero de maneiras de distribuir r bolas idénticas em n caixas distintas com pelo menos k bo 4 2 e 7 las na primeira caixa é igual ao nimero de solugdes nao negativas da equagao xj x2 x n com x k 6 a 13 Outro modo de descrever a equagéo acima é fazendo b 634 x x1 k 0 que garante que xj k xj k x2 c 3634 r n ou seja o nimero de maneiras é igual ao numero de solugoes nao negativas da equagaéo 7a B xj x2 X nk b i314 b O nimero é igual ao ntimero de solucées da equa c 613141 Gao xy X2 xX n com xX 2 De modo analogo ao anterior fazendo xj x 2 0 8 Assumindo que o alfabeto contém 26 letras E 4 assegura que todo Hy Maron dee 2 teremos anes wo ee numero de maneiras é igual ao nimero de solucoes nao que a letra a nao é consecutiva a z negativas da equagéo xj x2 x n2r O ntimero total de subconjuntos irrestritos é C26 3 2600 A partir deste nimero subtraimos 17 a Dica multinomial De 64 casas queremos esco o numero de casos com trés letras consecutivas tais her 8 para colocar as pecas brancas 8 para as pretas e como J K L Ha 24 destes Em seguida subtrair 48 para deixarmos vazias o nimero de casos com dois mas nao trés letras b Dica Basta dispor 4 pecas pretas e 4 brancas consecutivas que as letras sejam A B existem 23 em metade do tabuleiro casos B C 22 casos X Y 22 casos Y Z 23 casos assim 552 ao todo A resposta é assim 2600 22 Dica Observe que o ntmero de solugoes nao 24 552 negativas da equagao xj X2 x né igual ao nimero de solucoes positivas da equagao 9 a 7 b 3 5 5 XpX2xX nr o que pode ser visto fazendo a troca de varidveis yj x 1 10 a ain b 5 22 Usando o exercicio anterior temos 47 11 5 15600 4