Lista de Exercícios: Variáveis Aleatórias Multidimensionais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC Lista 7 Introdução à Probabilidade e Estatística Variáveis Aleatórias Multidimensionais Variáveis Aleatórias Multidimensionais Discretas 1 Lançase simultaneamente uma moeda e um dado Os resultados possíveis são dados pela tabela abaixo MoedaDado 1 2 3 4 5 6 cara cara1 cara2 cara3 cara4 cara5 cara6 coroa coroa1 coroa2 coroa3 coroa4 coroa5 coroa6 Considere que tanto a moeda quanto o dado são honestos e portanto este espaço amostral é equiprovável a Obtenha a distribuição conjunta das variáveis aleatórias X número de caras no lançamento da moeda e Y número da face do dado voltada para cima b Obtenha as distribuições marginais de X e de Y c Verique se X e Y são independentes d Calcule através das tabelas PX2Y3 PX1 PX2 PX1Y5 PX0Y0 0 12 1 23 12 2 Considere a distribuição conjunta de X e Y YX 1 2 3 0 01 01 01 1 02 0 03 2 0 01 01 a Determine as distribuições marginais de X e Y b Obtenha as esperanças e variâncias de X e Y c Verique se X e Y são independentes d Calcule PX1Y0 e PY2X3 3 Suponha que 3 bolas sejam sorteadas de uma urna contendo 3 bolas vermelhas 4 bolas brancas e 5 bolas azuis Se X e Y representam respectivamente o número de bolas vermelhas e brancas escolhidas calcule a a distribuição conjunta das variáveis aleatórias X e Y b a distribuição marginal de cada variável aleatória X e Y c todas as distribuições condicionais entre X e Y 4 Com base nas tabelas obtidas nos itens anteriores calcule a a probabilidade de sortearmos 1 vermelha e 2 brancas b a probabilidade de sortearmos 1 vermelha c a probabilidade de sortearmos 2 brancas As variáveis X e Y são independentes d a probabilidade de sortearmos 1 vermelha e 2 brancas ou 1 branca e 2 vermelhas e a probabilidade de sortearmos 1 vermelha ou 2 brancas f a probabilidade de sortearmos 1 vermelha dado que as outras 2 bolas sorteadas são brancas g a probabilidade de sortearmos 2 brancas dado que a outra bola sorteadas é vermelha h o valor esperado de sortearmos bolas vermelhas i o valor esperado de sortearmos bolas brancas j o valor esperado de sortearmos bolas vermelhas dado que sorteamos 2 brancas k o valor esperado de sortearmos bolas brancas dado que sorteamos 1 bola vermelha Denimos a variável aleatória S que é a soma do número de bolas vermelhas com o número de bolas brancas e a variável P que é o produto do número de bolas vermelhas com o número de bolas brancas Calcule l o valor esperado da variável aleatória S m o valor esperado da variável aleatória P n a distribuição da variável aleatória S o a distribuição da variável aleatória P p Verique que ES EX EY q Verique que EP EXEY Porque isso já era esperado r Calcule a correlação entre X e Y X e Y se relacionam de forma linear 5 Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta YX 1 2 3 1 01 01 00 2 01 02 03 3 01 01 00 a Determine a distribuição da variável S X Y e calcule ES Podese obter a mesma resposta de outra maneira b Determine a distribuição da variável P XY e em seguida calcule EP c Mostre que embora E XY E X e Y não são independentes d Lançamse dois dados perfeitos X indica o número obtido no primeiro dado e Y o maior ou o número comum nos dois dados e Determine a distribuição conjunta de X e Y f As duas variáveis são independentes Porque 2 g As duas varidveis sao correlacionadas Porque 6 O exemplo a seguir ilustra que correlacio nula NAO implica independéncia Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuigao conjunta YX1 0 1 l 18 181s 0 18 0 18 1 18 18 18 a Mostre que EXY EX EY 0 que implica que corrX Y 0 b Justifique porque X e Y nao sao independentes Variaveis Aleatérias Multidimensionais Continuas 7 A funcao densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por fxy cxye y xy 0yoco a Determine c b Determine as densidades marginais de X e Y c Determine EX 8 A fungao densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por fxy e OY O0xw 0yoo Determine a PIXY b PIX al 9 O vetor aleatério X Y 6 chamado de uniformemente distribuido em uma regiao R do plano se para alguma constante c sua densidade conjunta é c sexy ER fxy oY a 0 caso contrario caso contrario a Mostre que l area da regiao R Suponha que X Y seja uniformemente distribuido ao longo do quadrado centrado em O O e com lados de comprimento 2 b Mostre que X e Y sao independentes com cada um sendo uniformemente distribuido ao longo de 1l c Qual é a probabilidade de que X Y esteja contido no circulo de raio 1 centrado na origem Isto é determine Ph y 1 3 10 A pontuacaéo de Carlos no boliche é normalmente distribuida com média 170 e desvio padrao 20 enquanto a de Sebastiao é normalmente distribuida com média 160 e desvio padrao 15 Se Carlos e Sebastiao jogam um jogo cada obtenha supondo que suas pontuacdes sejam varidveis aleatérias independentes a probabilidade aproximada de que a a pontuacgao de Carlos seja maior b o total de seus pontos supere 350 Covariancia 11 Sejam X e Y duas variaveis aleatorias com EX EY 00 Definimos a covariancia entre X e Y por Cov X Y EX EX YEY Mostre que 1Cov X Y Cov Y X 2Cov X X 0 3Cov aX bY abCov X Y 4CovX Y Z Cov X Z Cov Y Z 5VarX Y VarX VarY 2CovX Y 6Se X e Y sao independentes entao Cov XY 0 7Cov X Y E XY EXEY 12 Sejam X e Y duas varidveis aleatorias com EX EY oo Definimos o indice de correlagao entre Xe Y por X EX YEIY eo XY E VarX VarY O indice correlagao tem a seguinte propriedade CovXY Mostre que p X Y Wa Wat 4