Lista de Exercícios: Introdução à Probabilidade e Estatística

Eee aie Od ee Pee Ee eo Universidade Federal do ABC Lista 2 Introdugao a Probabilidade e Estatistica Modelo Probabilistico GENFlce ENFNG 1 Umaurna contém 3 bolas uma vermelha uma verde e uma azul 4 Um dado é langado sucessivas vezes até a Considere o seguinte experimento Retire parecer um 6 na face virada para cima Neste uma bola da urna devolvaa e retire uma instante o experimento finaliza Qual é 0 espaco segunda bola Descreva 0 espaco amos amostral deste experimento Seja E o evento tral em que n langamentos sao necessarios para com 1 i b Repita o exercicio no caso em que a pri pletar o caxperimento Que evento representa meira bola retirada nao é devolvida U En 2 Proponha o espacgo amostral para os se 5 Um sistema esta formado por 5 compo guintes experimentos nentes cada uma das quais esta em funciona a Uma moeda é lancada duas vezes mento ou com falha Considere 0 experimento b Um dad da sio dos si que consiste em observar o estado de cada com 1 Ado WTA MOEA sao langacos Sl ponente Assuma que o resultado do experimento multaneamente esta dado por um vetor x x2 x3 X4 X5 onde x c Uma caneca cai de uma mesa é igual a se a iésima componente esta funcio d Duas cartas sao retiradas de um baralho nando e igual a 0 caso contrario de 52 cartas a Qual a cardinalidade do espacgo amostral e Um pacote de seis cartas numeradas é em deste experimento baralhado e os nimeros sao revelados um b Assuma que o sistema estaraé em funciona a um mento caso as componentes e 2 estejam f Lancar uma moeda até sair cara funcionando ou se as componentes 3 e 4 ra estao funcionando ou se as componentes 1 g Que horas seu relogio mostra agora 3 e 5 estao funcionando Seja W o evento em que o sistema esta funcionando Espe 3 Dois dados sao lancados Seja E o evento cifique 0s pontos amostrais de W em que a soma dos dados é impar seja F 0 evento c Seja A o evento em que as componentes em que pelo menos um dos nimeros na face vi 4e5 falham Qual a cardinalidade deste rada para cima seja 1 e seja G o evento em que evento asoma é 5 Descreva os eventos ENF EUFFN d Escreva todos os pontos amostrais do evento A W 6 O administrador de um hospital codifica os pacientes vítimas de arma de fogo que ingres sam na unidade hospitalar segundo tenham ou não plano de saúde código 1 se tem cobertura e código 0 se não tiver e de acordo a sua condição que é avaliada como boa b razoável r ou pés sima p Considere o experimento que consiste em codificar estes pacientes a Descreva o espaço amostral deste experi mento b Seja A o evento em que o paciente está em uma condição péssima Especifique os pontos amostrais de A c Seja B o evento em que o paciente não tem um plano de saúde Especifique os pontos amostrais de B d Apresente todos os pontos amostrais do evento B A 7 Distribuição de objetos em cubículos Considere a estrutura do espaço amostral decor rente de alocar k objetos bolas etc em n cu bículos caixas etc enumerados de 1 a n Esta classe de problemas aparece por exemplo na Fí sica Estatística quando é estudada a distribuição de k partículas prótons elétrons etc entre n estados que podem ser níveis de energia Na física estatística dizemos que as partículas distinguíveis e que não estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli no máximo uma partícula por sítio obede cem as estatísticas de MaxwellBoltzmann as partículas distinguíveis e que estão su jeitas ao princípio de exclusão de Pauli no máximo uma partícula por sítio obedecem as estatísticas de BoseEinstein as partículas distinguíveis e que estão su jeitas ao princípio de exclusão dizemos que obedecem as estatísticas de FermiDirac Descreva o espaço amostral para estes modelos de alocação de partículas 8 Considere o experimento aleatório que consiste em observar os primeiros n movimentos de uma partícula que se desloca aleatoriamente no conjunto Z 1 0 1 dos números inteiros A partícula começa sua trajetória na origem no instante 0 e a cada instante de tempo 1 2 3 a partícula se move aleatoriamente para a direita ou para a esquerda Descreva o espaço amostral deste experimento 9 Descreva o espaço amostral quando o ex perimento consiste em observar a trajetória com pleta do passeio aleatório Isto é se observar mos seus movimentos em todos instante de tempo n n N 10 Considere uma urna que que contém M bolas enumeradas 1 2 M onde M1 bolas tem a cor b1 Mr tem a cor br e M1 Mr M Suponha que retiramos uma amostra de tama nho n M sem substituição Descreva o espaço amostral do experimento 11 Mostre as seguintes relações a E F E E F b Se E F então F E c F F E F E e E F E E F d Para qualquer sequência de eventos E1 E2 defina uma sequência de even tos F1 F2 disjuntos dois a dois tais que para cada n 1 n i1Ei n i1Fi 2 12 Sejam E F e G três eventos Encontre uma expressão para os seguintes eventos a Apenas o evento E ocorre b Os eventos E e G ocorrem mas não o evento F c Pelo menos um dos eventos ocorre d Pelo menos dois dos eventos ocorrem e Os três eventos ocorrem f Nenhum dos eventos ocorre g No máximo um dos eventos ocorre h No máximo dois dos eventos ocorrem i Exatamente dois dos eventos ocorrem j No máximo três dos eventos ocorrem 13 Suponha que um experimento é reali zado n vezes Para qualquer evento E do es paço amostral seja nE o número de vezes que o evento E ocorre e defina f E nEn Mostre que f satisfaz os axiomas de uma probabili dade 14 Se PE 0 9 e PF 0 8 mostre que PE F 0 7 Em geral mostre a desigualdade de Bonferroni PE F PE PF 1 15 Mostre que a probabilidade de que exa tamente um dos eventos E ou F ocorra é igual a PE PF 2PE F 16 Prove que PE F PE PE F 17 Mostre que A B se e somente se 1A 1B e que AB se e somente se 1A1B 0 18 Mostre que se P e Q são duas probabili dades então aP bQ é uma probabilidade onde a b 0 e ab 1 Forneça um exemplo concreto de uma mistura deste tipo 19 Se P é uma probabilidade que axiomas satisfazem P2 e P2 20 Seja AnnN uma sequência de eventos a Mostre que se PAn 1 n N então PnNAn 1 b Mostre que se PAn 0 n N então PnNAn 0 21 Mostre que PEF G PEPF PG PE F G PE F G PE F G 2PE F G 3 Respostas dos Exercicios 1 Se denotarmos uma bola vermelha por Va ii E UF representa o evento em que a soma é uma verde por Ve e uma azul por A teremos que impar ou pelo menos um dos dois ntimeros sorte 0 espaco amostral sera dado por ados é o nimero 1 a Q Va Va Va Ve Va A iii FANG d4 4 D Ve Va Ve Ve Ve A A Va A Ve A A iv ENF 23 2 5 32 34 3 6 43 b Q Va Ve Va A Ve Va 45 52 5 4 5 6 6 3 65 Ve A A Va v ENFOGFNG A Ve 4 Uma escolha de espacgo amostral é dada por 2 a Q 00 0 1 Cd 0 1 onde 0 repre Q nxnXpan 2x 6i1n senta coroa representa cara 1 U 1 onde n x1xXy1 representa a situa b Q G a ii U1 2 345 634 0 13 cao em que o ntmero 6 foi sorteado pela primeira Ha varias opgoes dependendo de qual SJ vez no nésimo langamento e x representa o re o interesse de quem esteja observando o experi sultado do iésimo lancamento O evento 1 re mento presenta o evento no qual o numero 6 é sorteado i Q SN onde S representa que a caneca no primeiro lancamento quebrou e N representa que a caneca nao que C brou O evento U En representa o evento em ii Q 12 se o interesse for em registrar que o ntimero 6 nunca é sorteado o numero de partes da caneca espalhados no chao 5 apos a queda 5 a D 32 iii Q A B D E se o interesse for em sa b W 1111 L111 0 11 10 D ber se apés a queda a caneca ficou virada para 11 01 1 C 1 1 00 C1 0 10 C 1 09 D Acima ou para Baixo ou se a orelha da caneca 1 10 00 1 0 11 1 0 1 1 1 D 0 01 1 0 ficou para Direita ou para Esquerda 01 1 10 0 0 11 1 0 0 1 1 0 A 01 0 It d Se C denota o conjunto de cartas entao c 8 QAAcCeA 2 Em outras palavras d ANW 111 00 C1 0 0 0 Q consiste de todos os subconjuntos de duas car tas de um baralho de 52 cartas 6 a Q b 0 b Lr 07 Lp 0 p e O espaco amostral consiste de todas as per b A L p 0 p mutacoes do conjunto 2 3 4 5 6 c B 0b 07 0 p f Se registrarmos o nimero de langamentos d BLUA p 0 p C 5 Lr F necessaérios até sair cara Q 12 e Se o relogio for um digital podemos tomar 7 Modelo de MaxwellBoltzman Neste modelo como espaco amostral Q hmsh Qym de alocacao de particulas em cubiculos as parti Qn s As onde Q 122440 culas sao distinguiveis e um cubiculo pode com 0159 e Q 01 59 portar mais de uma particula Nestas condicdes o espaco amostral para este experimento é dado 3 O espaco amostral corresponde a este experi por Q 1 w n V i onde w mento é Q 1 1 2 66 ww2 6 0 nimero do cubiculo onde a iésima particula w 123456i 12 Desta forma temos é alocada Note que Q n que Modelo de FermiDirac Neste modelo as i ENF 2 1 4 6 2 D 4D 61 particulas sao consideradas indistinguiveis e 4 ocupacao miultipla de cubiculos néo é permi 15 O evento EAF E F U F E repre tida Neste caso Q wWn W senta o evento em que sO um dos eventos E ou Ooul Vj ed i1 w k Note que Q F ocorre Logo PEAF PIE F PIF E Modelo de BoseEinstein Neste modelo as PE PE NF PF PlEn FI particulas sao indistinguiveis e ocupagao mil tipla dos cubiculos é permitida Neste caso 16 Sendo que EnFE EENFeque ENF Cc E Q WWn Wj 2 00 Yi w k onde concluimos que PLE N F PE PLE n FI wj representa o numero de particulas presentes no cubiculo 7 Note que Q 75 17 Assuma que AC B Sejaw Q Temse trés casos 8 QD WW2Wn w 11 i n i Se w A entao w B e neste caso temse onde w 1 representa um passo 4 esquerda no que 14w 1gw 1 iésimo movimento e w 1 representa um passo ii Se w B A entao 14w 0 1 Ipw a direita no iésimo movimento iii Se w BE entao law 1gw 0 N Concluimos que 14 lg 9 Q 11 yien w 1 ou Li N Agora assuma que l4 1g Sejaw A Logo 1 1l4 Igw 1 Portanto 1gw 1 ou 10 Q wi w Adn i ak a sek ge forma equivalente w B la 12M Note que Q Mjn 1C 18 Comecemos notando que para qualquer 11d FR ke R Ej N 7 para i 2 2 evento E aP bQE aPE bQE Logo i Do fato que PE QE 0 para qualquer 12 a EN Flo aGe evento E seguese que aP bQE 0 b ENGN FC ii Se E F sao dois eventos disjuntos temos que c EUFUG aP bQE UF aPE U F bQE UF d ENF UENGUF NG aPEPFbQEQ aPEbQE ENF OG aPF bQF f EC a Fl AGC iii PbQQ aPQbQQ alb1 ze Eon Fo aGluCEnFeaGlyuEela b C C C FOG UCE oe MG 19 P2 satisfaz os axiomas i e ii jé que h EN FOG PE Cc c c i P2E 0 para qualquer evento E i ENF OGYUENFY AG UEYNFNG j ii se EF sao dois eventos disjuntos entaéo P2E U F PE U F2 2S p2k 13 f satisfaz as seguintes propriedades F ui 2 2E i fE 0 para qualquer evento E jé que or Lee ee P satisfaz os axiomas i e iii ja que nE 2 0 AUB i PE 0 para qualquer evento E e ii Se AN B 0 entao fAU B 48 pQ 2 1 nAnB iii PQ 1 1 FA fB iii fQ ue 1 20 Assuma que PA O para qualquer n Sendo que 0 PUnenAn PA 0 con 14 Sendo que 1 PEUF PEPFPENF a concluimos que PLE N F PE PF 1 cluimos que PUnenAn 0 5 Para concluir o exercício note que PnNAn 1 PnNAn 1 PnNA n e que se PAn 1 para todo n então PA n 0 para todo n 21 Verifique que EFG ABC com A B C disjuntos dois a dois onde A E E F G E F G B F E F G E F G e C G G F E Logo aplique as propri edades de uma probabilidade Outra solução Pelo Principio de Inclusão exclusão PE F G PE PF PG PE F PE G PF G PE F G Agora use que E F E F G C E F G E G E G F C E G F F G F G E C F G E e assim PE F PE F G C PE F G PE G PE G F C PE G F PF G PF G E C PF G E Somando PE F PE G PF G PEFG CPEFF CPFGE C3PEFG Agora substitua na fórmula de inclusão exclu são 6