Lista de Exercícios: Introdução à Probabilidade e Estatística

a a ae TRO DE MATEMATICA COMPUTACAO E COGNICAO Universidade Federal do ABC Lista 6 Introdugao a Probabilidade e Estatistica Variadveis Aleatérias Continuas a Determine PX 20 1 Seja X uma variavel aleatoria com fungao densi ne dade de probabilidade dada por b Qual é fungao distribuigéo acumulada de X c Qual é a probabilidade de que de 6 componentes f clx se 1Xl como esse pelo menos 3 funcionem por pelo me 0 caso contraério nos 15 horas Que suposigdes vocé esta fazendo a Qual é o valor de c we a 9 b Qual é a fungao distribuicho acumulada de X 5 Um posto de gasolina é abastecido com gasolina uma vez por semana Se o volume semanal de vendas em a milhares de litros é uma varidvel aleatoria com fungao 2 Um sistema formado por uma pega original mais ye densidade de probabilidade uma sobressalente pode funcionar por uma quantidade de tempo aleatoria X Se a densidade de X é dada em 51x seOxl unidades de meses por fx 0 caso contrario fx Cxe2 sex 0 qual deve ser a capacidade do tanque para que a pro VO 0 caso contrario babilidade do fornecimento nao ser suficiente em uma qual é a probabilidade de que o sistema funcione por dada semana seja de 0 01 pelo menos 5 meses 6 Calcule EX se X tem uma fungao de densidade 3 Considere a funcao dada por C2xx3 seOx4 a fx xx se 2 txe sex 0O 0 caso contrario fx as 0 caso contrario Poderia f ser uma funcao densidade de probabilidade b Caso positivo determine C Repita considerando que a clx2 se Ixl fungao f seja dada por fx 0 caso contrario C2x x se0x3 c fx ie 5 i caso contrario x sz Sse x 5 Fx O sex5 4 A funcao densidade de probabilidade de X que representa a vida util de certo tipo de equipamento ele 7 O tempo de vida medido em horas de uma val tronico dada por vula eletrénica é uma variavel aleat6ria com funcao den 1 sox 10 sidade de probabilidade dada por fx 5 2 0 sex 10 x fx xe sex 0 0 caso contrario Calcule o tempo de vida esperado dessa válvula 8 Trens em direção ao destino A chegam na esta ção em intervalos de 15 minutos a partir das 7 00 da manhã enquanto trens em direção ao destino B che gam à estação em intervalos de 15 minutos começando as 7 05 da manhã a Se certo passageiro chega à estação em um horá rio uniformemente distribuído entre 7 00 e 8 00 da manhã e pega o primeiro trem que chega em que proporção de tempo ele vai para o destino A b E se o passageiro chegar em um horário uniforme mente distribuído entre 7 10 e 8 10 da manhã 9 Você chega na parada de ônibus as 10 00 sa bendo que o ônibus chegará em algum horário unifor memente distribuído entre 10 e 10 30 a Qual é a probabilidade de que você tenha que esperar mais de 10 minutos b Se as 10 15 o ônibus ainda não tiver chegado qual é a probabilidade de que você tenha que es perar pelo menos mais 10 minutos 10 Se Y tem distribuição uniforme no intervalo 0 5 qual a probabilidade de que as raízes do polinômio px 4x2 4xY Y 2 sejam ambas reais 11 Se X é uma variável aleatória normal com pa râmetros µ 10 e σ2 36 calcule PX 5 P4 X 16 PX 8 PX 20 e PX 16 12 O volume anual de chuvas em mm em certa região é normalmente distribuído com µ 40 e σ 4 Qual é a probabilidade de que a contar deste ano se jam necessários mais de 10 anos antes que o volume de chuva em um ano supere 50 mm Que hipóteses você está adotando 13 Um homem praticando tiro ao alvo recebe 10 pontos se o tiro estiver a 1 cm do alvo 5 pontos se esti ver entre 1 e 3 cm do alvo e 3 pontos se estiver entre 3 e 5 cm do alvo Determine o número esperado de pontos que ele receberá se a distância do ponto de tiro até o alvo for uniformemente distribuída entre 0 e 10 14 Suponha que X seja uma variável aleatória nor mal com média 0 5 Se PX 9 0 2 qual é o valor de VarX aproximadamente 15 Seja X uma variável aleatória normal com mé dia 12 e variância 4 Determine o valor de c tal que PX c 0 10 16 Se 65 por cento da população de uma grande comunidade são a favor de um aumento proposto para as taxas escolares obtenha uma aproximação para a pro babilidade de que uma amostra aleatória de 100 pessoas contenha a pelo menos 50 pessoas a favor da proposta b entre 60 e 70 pessoas inclusive a favor c menos de 75 pessoas a favor 17 A espessura de uma forja de duralumínio em mm é normalmente distribuída com µ 22 86 e σ 0 0762 Os limites de especificação foram dados como 22 86 0 127 mm a Que percentual de forjas será defeituoso b Qual é o valor máximo permissível de σ que per mitirá que não exista mais de 1 forja defeituosa em 100 se as espessuras forem de µ 22 86 e σ 18 Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro λ Defina Y por Y X 1 onde X denota a parte inteira de X Qual a distribui ção de Y 19 Encontre a função de densidade de e2X e de logX onde X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 1 20 Determine a densidade de Y X onde X tem distribuição normal padrão 2 Respostas dos Exercicios 1 acf clxdx 13 34 4 b Fx 3 9dx2dx 3x 4 4 2 1 i PX 20 20 eax de 2 a Como J xe dx 2xe 4e temos que re fio we x8 108 0 para x s 10 Joo cxe dx 13c 14 2 5 como b Px 5 f xerdx 410e24e9 AZ 3 ae PX 15 73 Assumimos independéncia dos eventos 3 a Nao em que o tempo de funcionamento excede as 15 horas b Nao 3