Lista de Exercícios: Introdução à Probabilidade e Estatística

TRO DE MATEMATICA COMPUTACAO E COGNICAO Universidade Federal do ABC Lista 9 Introdugao a Probabilidade e Estatistica Desigualdades e Teoremas Limites 2n 10000 1 Um arqueiro aponta a um alvo de 20 cm de 3n 100000 raio Seus disparos atingem o alvo em média a 5 cm do centro deste Assuma que cada disparo é independente de qualquer outro disparo Limite su 5 No contexto do problema anterior verifique periormente a probabilidade do atirador errar 0 alvo que no proximo disparo S 1 im P 5 1 a no n 2 2 Suponha que X seja uma varidvel aleatoria com média e variancia iguais a 20 O que é possivel para todo 0 dizer sobre PO X 40 6 Considere uma moeda desonesta com proba 3 Com sua experiéncia um professor sabe que bilidade p de sair cara Seja S o nimero de caras ob a nota de um estudante na prova final uma variével tidas em n langamentos independentes desta moeda aleatoria com média 75 Escreva um limite semelhante ao problema anterior a Fornecga um limite superior para a probabi Calcule o valor deste limite lidade de que a nota de um estudante ex ceda 85 Suponha além disso que o professor saiba que a variancia da nota de m estudante 7 Dez dados honestos sao langados Encontre é igual a 25 aproximadamente a probabilidade de que a soma dos ntimeros assim obtidos esteja entre 30 e 40 b O que se pode dizer sobre a probabilidade de J que a nota de um estudante esteja entre 65 e 85 8 Suponha que um programa de computador c Quantos estudantes teriam que fazer a prova tem n 100 paginas de cédigos Seja X 0 ntimero para assegurar com probabilidade minima de de erros na iésima pégina Suponha que as varidveis 09 que a média da turma esteja entre 755 aleatorias X tem distribuicao Poisson de parametro Nao use o Teorema Central do Limite 100 1 e que sao independentes Seja Y Xj 0 ntimero jl 4 Uma moeda honesta é lancada de forma in total de erros Utilize o Teorema Central do Limite dependente n vezes Seja S 0 ntimero de caras ob PAat 4Proximar PIY 90 tidas nesses n langamentos Use a desigualdade de hebysh limit inferi Che ven pare obter rrr an te Inferior para a 9 Uma amostra aleatéria de n itens é tomada probabilidade de que diste de 5 menos do que 01 oa ele ta 2 nd n de uma distribuigao com media p e variancia 0 0 amance a Utilizando 0 Teorema Central do Limite deter 1n 100 mine o menor nimero de itens a serem considerados para que a seguinte relacao seja satisfeita 15 A diretoria de uma escola de segundo grau quer estimar a proporgao p de estudantes que conse Sn o PI ul 099 guiram entender de forma satisfatoria as mensagens 4 transmitidas numa exposicao de arte Essa propor cao devera ser estimada com um erro de 5 para um coeficiente de confianca de 90 10 Uma Pessoa possthh 100 lampadas cujos tem a Qual é 0 tamanho de amostra necessario para pos de vida sao exponenciais independentes com mé atender as exigéncias da diretoria dia de 5 horas Se as lAmpadas sao usadas uma de cada vez sendo a lampada queimada imediatamente b Que tamanho devera ter a amostra sabendo substituida por uma nova obtenha uma aproxima que p esta entre 020 e 060 E sabendo que cao para a probabilidade de que ainda exista uma p 020 lAmpada funcionando apés 525 horas c Numa amostra de 150 estudantes 60 apre sentaram desempenho satisfat6ério num teste aplicado na saida da exposigao Qual seria 11 Mostre que lim on s Sugestao hon intervalar de p nesse caso para Considere uma sequéncia de variaveis aleatérias iid com distribuigaéo Poisson e utilize o Teorema Central do Limite 16 Umarevista semanal em artigo sobre a par ticipagao das mulheres em curso superior de adminis tragao pretende estimar a proporcao p de mulheres 12 Seja Xnys1 uma sequéncia de varidveis neste curso aleatorias tal que a Quantos estudantes de administragéo devem 1 lim EX a ser entrevistados de modo que a proporgao ve p seja estimada com um erro de 004 e uma 2 lim V ar Xn 0 probabilidade de 0 98 Mostre que Ve 0 Jim P Xn 0 b Se tivermos a informagaéo adicional de que a proporgao p é pelo menos 35 vocé consegui ria diminuir o tamanho amostral calculado no 13 Um provedor de acesso a Internet esta mo item anterior Justifique nitorando a duracao do tempo de conex6es de seus clientes com o objetivo de dimensionar seus equi pamentos A média é desconhecida mas o desvio 17 Um estudo da prefeitura indica que 30 das padrao é considerado igual a V50 minutos Uma criangas da cidade tém deficit de atencdo na escola amostra de 500 conexoes resultou em um valor médio Numa amostra de 200 criangas qual a probabilidade observado de 25 minutos O que dizer da verdadeira de pelo menos 50 criancas tenham esse problema média com confianga y 092 18 Utilize a desigualdade de Chebyshev para 14 Suponha que X represente a duragao da mostrar que para toda funcao continua f 01 R vida de uma peca de equipamento Admitase que 100 pegas sejam ensaiadas fornecendo uma duracaéo a k n k de vida média de 501 2 horas Suponhase que o des Pt fs 1 x Q vio padrao seja conhecido e igual a 4 horas Construa K0 um intervalo de confianga de 95 para a média uniformemente em x 01 quando n oo 2 Respostas dos Exercicios 1 Seja X a distancia do ponto atingido ao centro do 6 Sejam X1 X9 Xp varidveis aleatérias indepen alvo Note que X 0 Seja Y uma varidvel aleatéria dentes cada uma assumindo os valores 0 e 1 com pro definida como sendo igual a 20 caso X 20 e0em babilidade p e 1p respectivamente Por convengao outro caso Logo X Y Tomando esperanga temos assumiremos que representa cara e 0 representa co que roa Logo S XX2X representa o nimero EX EY 20PX 20 de caras em n langamentos Temos que Como EX 5 temos que PX 20 S 12 Observagao Poderfamos simplesmente ter apli El 7 DEX P cado a desigualdade de Chebyshev ist e devido a independéncia temos que 2 PIO X 40 P20 X 20 20 5 LZ 1 20 19 1PX 20 20 1 2 2 Var YVarX pC p n ne 4 n 3 aPX 85 EX85 1517 7 bPG5 X 85 1PX75 10 128 ave EXi pe VarX p1 p para todo ii n 25 12n Aplicando a desigualdade de Chebyschev cP DXi 75 5 Bn Logo n 10 temos que S pd p ae aa Pi plze 4 Sejam Xj X2Xn varidveis aleatérias indepen n en dentes cada uma assumindo os valores 0 e 1 com para todo 0 Isto implica que probabilidade 5 Definiremos que 1 representa cara 5 e 0 representa coroa Logo S X XgXy lim Pj pe1 representa o namero de caras em n lancamentos Te momen mos que 7 Seja X o numero sorteado pelo iésimo dado e seja Sn 1 1 o E SEX 5 Sig X a soma dos ntiimeros sorteados nos lan n ne 2 2 e devido a independéncia temos que camentos dos 10 dados Logo P30 Si9 40 pied 508 403 Utilizando a aproxima 5 1g 1 vos viost Viost P Var VarX cao dada pelo Teorema Central do Limite temos que n n2 4 An 404 305 il P30 Sjo 40 a5 OFGa onde t é ja que EX 1 e VarX 1 para todo ii 2 fungao de distribuigao acumulada de uma varidvel 12 Aplicando a desigualdade de Chebyschev aleatoria com distribuigao normal padrao temos que 8 Note que EY 100 e que VarY 100 logo Ss 1 l PY 90 Pa 2100 Pelo Teorema Central PUT l Foapan do Limite P o Sy PaG 1 0 1587 Substituindo temos que os limites inferiores forne 5 5 cidos pela desigualdade de Chebyschev sao a1 9 Note que P ul FP ws Fl i b1 iw ec1 a0 respectivamente P se xP I Pelo Teorema Central do Li te PlM Suxme Wy S gM yy 5 Analogamente ao problema anterior temos que mite P7 vno 77 CP OP 5 i 1 20 1 onde t é a funcao de distribuicgao PJ e1 acumulada de uma varidvel aleatéria com distri no2 den buigéo normal padrao Logo encontre n tal que O resultado segue desta desigualdade of 0 995 3 10 Andlogo ao exercicio 9 onde f é a funcao de distribuigéo acumulada de 11 Considere uma sequéncia Xns1 de varidveis wma varidvel aleatoria com distribuicao normal pa aleatorias independentes identicamente distribuf drao the Vpp A aproximagao devese ao das com distribuigéo Poisson de parametro 1 S Teorema Central do Limite Na pratica tomase n Of t Pelas propriedades da fun X tem distribuicao Poisson de parfmetro n y ne ine prep a cao M segue que y 2Mty 1 2 Logo temos que a tne RL Lo ons 14 que p 6 des ne Vpp g Tez Jaq Pp n conhecido e portanto limitamos a expressao p1 p n PlSn n 2 Is Ke ds k por 14 que é seu valor maximo no intervalo 0 1 Como 005 e y 090 entao ty 165 Logo oon Bx Sain op Wy PISn o nl 1 n 2725 Tomase n 272 yn a Pl vn o Teorema Centra b A funcao fp p p tem um maximo ab do Limite implica que soluto em J 01 em p 4 Desta forma se 0 valor n nk 1 desconhecido de p pertence ao intervalo 02 06 li lim e yi 00 5 n0o k 9 mitamos o valor de fp por 14 e n deve ser como k0 ee no problema anterior n 272 onde Pt rnsao de stn cae aeurmlaca de Se 0 p 02 entéo fp 016 Logo uma varidvel a eatoria com distribuigao normal pa 17424 Tomase n 174 drao ays os c Na pratica substituise a proporgao desconhe 12 Chebyschev cida X pela proporcao amostral p Da expressao P yne Snnp ye t 13 O inorval c confianga para men com vari Vpdp pdp Vpdp emos que ancia o conheci ae coe ciente e conflanga y ou ta pap pAp y100 é dado por X a X aS onde Xy é Ps po zy e uM intervalo de oa VA vn confianga para a proporcao desconhecida com coefi a média amostral e a é tal que 1 a com 1 L tal Oa 096 P 2 ciente de confianca y onde z e y estao relacionados dr 1 755X er 50 6 OR 90 Rortanto através da equagao y z z 20z 1 BE 19 99 An T co No problema n 1506 4 040y 095 e 14 Andélogo ao exercicio 14 portanto z 196 Logo J 03216 04784 15 Seja X Bernoullip assumindo os valores 0 e 1 onde X 1 se o iésimo estudante entendeu a 16 Idem Exercicio 16 mensagem de forma satisfatéria e 0 em outro caso n XxX 17 Vamos considerar 0 caso em que cada crianga tem L s aT a mesma probabilidade de ter este problema Defi Logo X representa a proporgao dos nindo estudantes que entenderam a mensagem de forma sa tisfatoria e é uma estimativa do valor desconhecido p 1 sea jésima crianga tem esse problema A estimativa intervalar para a proporcao desconhe Xj 0 cc cida é dada por um intervalo da forma X Xnél onde é a margem de erro A estimativa intervalar temos que X X1X209 Binomial200 0 30 com margem de erro tem coeficiente de confianga A probabilidade a ser calculada é y se y PX p Note que 200 200 ne SnD ne PX 50 1 Jo3 0 7200K y P yapp yap p yap p eon P Vne Sn P yne Vamos aproximar esse valor Sabemos que Vpp npip Vpp X Binomial200 030 Logo EX 200 03 Otn Dtnc 60 e VarX 200 0307 42 Assim sendo 4 aproximamos a distribuição de X pela distribuição de uma variável aleatória Y com Y N60 42 Logo PX 50 PY 50 PY 60 42 50 60 42 1 Φ1 42 0 940 onde Φt é a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória com distribuição normal pa drão 18 Este exercício é opcional Dica Sejam X1 X2 Xn variáveis aleatórias independentes cada uma assumindo os valores 0 e 1 com pro babilidade p e 1 p respectivamente Seja Sn X1 X2 Xn o número de caras em n lançamen tos Defina o polinômio rnp E f Sn n e estude a expressão rnp f p 5