Variáveis Aleatórias e Probabilidades: Exercícios e Cálculos

Lista 5 Variáveis Aleatórias 1 Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna que contém 8 bolas brancas 4 pretas e 2 laranjas Suponha que ganhemos 2 00 para cada bola preta sele cionada e percamos 1 00 para cada bola branca selecio nada Suponha que X represente nosso ganho Qual são os valores possíveis de X e quais são as probabilidades associadas a cada valor 2 Suponha que um dado seja rolado duas vezes Quais são os possíveis valores que as seguintes variáveis aleatórias podem assumir a o máximo valor que apa rece nas duas vezes que o dado é jogado b o mínimo valor que aparece nas duas vezes que o dado é jogado c a soma das duas jogadas d o valor da primeira jogada menos o valor da segunda jogada 3 Se o dado do anterior é honesto calcule as pro babilidades associadas as variáveis aleatórias nas letras a a d 4 Calcule a esperança e variança das seguintes dis tribuições a Variável Aleatória Binomial b Variável Aleatória Geométrica c Variável Aleatória Bernoulli 5 Dada a função de distribuição acumulada Fx 0 se x 1 01 se 1 x 2 03 se 2 x 3 07 se 3 x 4 08 se 4 x 5 1 se 5 x Calcule a função de probabilidade da variável cuja fda é F Calcule ainda o valor esperado e a variância de X Determine as seguintes probabilidades P1 X 2 PX 4 PX 3 PX 4 6 Um atirador acerta na mosca do alvo 20 dos tiros Qual a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no 10o tiro 7 Uma urna contém N bolas brancas e M bolas pretas A bolas são selecionadas aleatoriamente uma de cada vez até que saia uma bola preta Se supormos que cada bola selecionada seja substituída antes que a próxima bola seja retirada qual é a probabilidade de que a sejam necessárias exatamente n retiradas b sejam necessárias pelo menos k retiradas 8 Um livro de jogos de azar recomenda a seguinte estratégia de vitóriapara o jogo de roleta aposte R 100 no vermelho Se der vermelho o que tem probabi lidade de ocorrer pegue o lucro de R100 e desista Se o vermelho não aparecer e você perder a aposta o que tem probabilidade de de ocorrer faça apostas adicio nais de R 100 no vermelho em cada um dos próximos dois giros da roleta e então desista Se X representa seu lucro quando você sair da mesa a determine PX O b você está convencido de que a estratégia é de fato uma estratégia de vitória Explique a sua res posta c calcule EX Observação Roleta 18 casas vermelhas 18 pretas e duas verdes 9 A cada noite diferentes meteorologistas nos dão a probabilidade de chuva no dia seguinte Para julgar quão boa é a previsão do tempo feita por essas pessoas vamos classificálas da forma a seguir se um meteorolo gista diz que choverá com probabilidade p então ele ou ela recebe rá uma nota de 1 1 p2 se chover 1 p2 se não chover Vamos então anotar as notas ao longo de um determinado período de tempo e concluir que o meteorologista com a maior nota média é aquele que melhor prevê o tempo Suponha agora que certo me teorologista esteja ciente de nosso mecanismo de notas e queira maximizar sua nota esperada Se essa pessoa acredita verdadeiramente que choverá amanhã com pro babilidade p que valor de p ele ou ela deve declarar de forma a maximizar a nota esperada 10 Suponha que durante o voo de forma inde pendente os motores de um avião tenham probabili dade 1 p de falharem Se um avião precisa da maioria de seus motores operando para completar um voo de forma bemsucedida para que valores de p um avião com 5 motores é preferível em relação ao um avião de 3 motores 11 Jogase um dado equilibrado Qual é a pro babilidade de serem necessários 10 lançamentos até a primeira ocorrência de um seis 12 Seja X uma variável aleatória discreta com PX 0 025 PX 1 0125 PX 2 0125 PX 3 05 Faça um gráfico da função de probabilidade e da função de distribuição acumulada Calcule o valor esperado e a variância de X Determine as seguintes probabilidades P0 X 1 PX 2 PX 3 PX 25 13 Um alvo é feito com uma tábua quadrada pin tada de branco com exceção de um círculo no seu cen tro que é pintado de preto As regras de uma prova são definidas da seguinte forma o atirador que acertar no centro preto ganha 18 pontos se acertar na parte branca da tábua ganha 8 pontos e se não acertar na tábua perde 2 pontos a Um atirador atira no alvo defina formalmente o espaço dos resultados deste experimento e a va riável aleatória X número de pontos b O desempenho do atirador pode ser as sim resumido Pacertar no centro 02 e Pacertar na parte branca 07 Calcule média e variância do número de pontos para o atirador 14 O número médio mensal de acidentes aéreos en volvendo aviões comerciais em todo o mundo é igual a 3 3 Qual é a probabilidade de que a ocorram pelo menos 2 acidentes desse tipo no próximo mês b ocorra no máximo 1 acidente no próximo mês 15 Um bit 0 ou 1 de informação é transmitido por um canal com ruído Seja p a probabilidade de que seja erradamente recebido Para melhorar a transmissão uma alternativa é utilizar um decodificador de maioria de dois em três ou seja enviar de forma independente 3 vezes a mesma informação registrando como resultado aquela que foi recebida pelo menos duas vezes Para quais valores de p o decodificador de maioria de dois em três é melhor que a transmissão pela única vez 16 Suponha que o número de vezes que uma pes soa fica resfriada durante um ano tem distribuição de Poisson com parâmetro λ 4 Um novo remédio para prevenir resfriados reduz este parâmetro para λ 2 para 75 das pessoas e não faz efeito em 25 restantes Se uma pessoa tomou este remédio durante um ano e pegou resfriado 2 vezes qual é a probabilidade de que o remédio funciona para esta pessoa 17 A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1m2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos pequenas bolhas na pintura de acordo com uma variável aleatória Poisson com taxa λ 1 por m2 Uma chapa é escolhida ao acaso Qual é a probabilidade de a encontrarmos pelo menos 1 defeito b encontrar no máximo 2 defeitos c encontrar de 2 a 4 defeitos 18 Numa central telefônica o número de chama das chega segundo uma distribuição de Poisson com media de 8 chamadas por minuto Determinar qual é a probabilidade de receber durante um minuto a 10 ou mais chamadas b menos do que 9 chamadas 19 Uma urna contém 3 bolas numeradas 1 2 e 3 Primeiro uma bola é retirada da urna Se sair a bola i selecionase i peças com reposição de um lote contendo 60 de peças defeituosas Seja X o número de peças defeituosas na amostra 2 a Ache o conjunto de valores possíveis de X e a sua distribuição de probabilidade b Porque não temos distribuição binomial em a c Calcule EX 20 Um banco de sangue necessita sangue tipo 0 Rh negativo Suponha que a probabilidade de uma pes soa ter este tipo de sangue seja 01 Doadores perma nentes chegam ao hemocentro para fazer sua doação ro tineira Calcule a a probabilidade de que o terceiro doador com san gue tipo 0Rh negativo seja o sétimo a chegar b a probabilidade de que o primeiro doador com sangue tipo 0Rh negativo apareça no máximo em 5 tentativas c a probabilidade de que 3 doadores com sangue tipo 0Rh negativo apareçam antes de 4 doado res com outros tipos de sangue 21 Um supermercado vende uma caixa com 20 lâmpadas das quais 4 são defeituosas e as restantes boas Um comprador decide testar 5 das lâmpadas ob viamente sem reposição escolhidas ao acaso e comprar a caixa caso haja no máximo duas defeituosas entre as lâmpadas testadas Qual é a probabilidade de comprar a caixa Qual é a distribuição do número de itens de feituosos 22 Para cada item a seguir diga se o problema pode ser modelado por uma variável aleatória binomial geométrica ou de Poisson Justifique a Suponha que 40 da classe é do sexo feminino Qual é a probabilidade de que 6 de 10 estudantes a serem sorteados seja feminino b Se dois dados são lançados até que um duplo seis é obtido qual é a probabilidade que será neces sário a no máximo 24 lançamentos b pelo menos 10 lançamentos c Número de itens defeituosos em um lote de 5 itens d Número de clientes que chegam em 20 minutos numa loja e Número de vermelhos em 15 rodadas de uma ro leta f Suponha que temos dados que sugerem que 3 das unidades de uma empresa de discos rígidos são defeituoso Qual a probabilidade de que o primeiro disco rígido defeituoso seja a quinta uni dade testada g Vinte e cinco por cento dos clientes que entram numa mercearia entre usam o caixa expresso Considere cinco clientes selecionados aleatoria mente e seja X o número entre as cinco que usam o caixa expresso Qual é a probabilidade de que dois clientes tenham usado o caixa expresso h Número de greves por ano no Brasil i Suponha que um cliente em uma loja de animal de estimação quer comprar dois hamsters para sua filha mas ele quer dois machos ou duas fê meas ou seja ele quer apenas dois hamsters em alguns meses Se há 10 hamsters cinco do sexo masculino e cinco do sexo feminino que é a pro babilidade de tirarmos os dois do mesmo sexo da gaiola j Número de defeitos por lote de DVD k Ao tirar 5 cartas de um baralho embaralhado a probabilidade de uma mão ter exatamente um par é de cerca de 0 42257 Se você quiser que a probabilidade de tirar um par dentro de n reti radas independentes seja pelo menos 0 99 então quantas retiradas devem ser feita 23 Ao tirar 5 cartas de um baralho embaralhado a probabilidade de uma mão ter exatamente um par é de cerca de 0 42257 Se você quiser que a probabili dade de tirar um par dentro de n retiradas independen tes seja pelo menos 0 99 então quantas retiradas devem ser feita 24 Suponha que sejam necessários pelo menos 9 votos de um júri formado por 12 jurados para que um réu seja condenado Suponha também que a probabili dade de que um jurado vote na inocência de uma pessoa culpada seja de 0 2 enquanto a probabilidade de que o jurado vote na culpa de uma pessoa inocente seja de 0 1 Se cada jurado age independentemente e se 65 dos réus são culpados determine a probabilidade de que o júri chegue a conclusão correta Que percentual de réus é condenado 3 Respostas dos Exercícios 1 PX 2 413 PX 1 1691 PX 0 191 PX 1 3291 PX 2 891 PX 3 0 PX 4 691 2 a X 1 2 3 4 5 6 b X 1 2 3 4 5 6 c X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 d X 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 3 a PX 1 136 PX 2 336 PX 3 536 PX 4 736 PX 5 14 PX 6 1136 b PX 1 1136 PX 2 14 PX 3 736 PX 4 536 PX 5 736 PX 6 136 c PX 2 136 PX 3 118 PX 4 112 PX 5 19 PX 6 536 PX 7 16 PX 8 536 PX 9 19 PX 10 112 PX 11 118 PX 12 136 4 Ver Ross 7 Exemplo 8a do Ross página 195 8 a 05917 b Não Calcule a esperança c 0108 9 ES p p1 1 p2 1 p1 p2 Derivando e igualando a zero temos p p Faça o teste da segunda derivada e veja que p p é um máximo local 10 O número de motores que falham é uma variável ale atória binomial com probabilidade 1 p e p respectiva mente Para um avião de três motores a probabilidade de que ele faça um voo bem sucedido é igual a proba bilidade de que três ou dois motores funcionem Esta probabilidade é p23 2p Para um avião de cinco motores a probabilidade de que ele faça um voo bem sucedido é igual a probabilidade de que três quatro ou cinco motores funcionem Esta probabilidade é p36p2 15p 10 Logo queremos que p36p2 15p 10 p23 2p que resolvendo temos 12 p 1 11 dica geométrica P 0 032 14 Suponha que N o número de acidentes de avião men sal é dado por uma variável aleatória de Poisson então uma vez que EN λ sabemos o parâmetro λ da dis tribuição A partir disso podemos calcular as probabi lidades pedidas PN 2 1 PN 2 1 PN 0 PN 1 Logo PN 2 1 e035 e035035 1 086 b PN 1 P0 P1 22 a Binomial b Geométrica c Binomial d Poisson e Binomial f Geométrica g Binomial h Poisson i Nenhuma hipergeométrica j Poisson k Geométrica 4 24 Seja FE o evento que um juri torna uma decisao cor Agora reta e seja G o caso de um pessoa é culpada entao PEG PEG PE PEGPG PEGcPGC ou um menos a probabilidade de o juiri cometer um erro A partir da enunciado do problema sabemos que eondenar um homem inocente Isto é PG 065 e PGL 035 Seja PEG é a probabilidade de chegarmos a decisao 12 correta dado que o réu é culpado Para alcangar o de PEGC y Joso9 cisao correta devemos ter nove ou mais votos culpados zg assim b Logo igual aPEG 10 de modo que 12 gig 512i PEIG a i Jos 02 PE 0 794570 65 1 00 35 0 86647 t que é 0 caso em que a pessoa é culpada e pelo menos nove membros votam culpado como a probabilidade de que o jiri toma a decisao cor Isto acontece porque reta Para calcular o percentual de réus que estao con vecgao precisamos computar PVotar CulG 1 PVotar InoG 1 02 08 Assim podese calcular P E G usando a soma PEGPG PESGPG acima Encontramos PEG 0 79457 0 794570 65 0 00 35 0516 5