Lista de Exercícios: Teorema de Green - Cálculo Diferencial e Integral II

Lista 02 Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Seja 𝛾 𝑥2 𝑦 12 1 orientada no sentido antihorário calcule 𝐼 𝑦 33 3𝑥2𝑦 ln𝑥2 𝑒𝑥𝑑𝑥 2𝑥3 𝑠𝑒𝑛1 𝑦2𝑑𝑦 𝛾 2 Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva 𝑦3𝑑𝑥 𝑥3𝑑𝑦 𝐶 𝐶 é o círculo 𝑥2 𝑦2 4 3 Encontrar o trabalho realizado por 𝐹 4𝑥 2𝑦𝑖 2𝑥 4𝑦𝑗 para mover uma partícula uma vez no sentido antihorário ao redor da curva 𝑥 22 𝑦 22 4 representada a seguir 4 Calcule 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥2𝑑𝑦 𝐶 Onde 𝐶 é a curva ilustrada na figura a seguir 5 Calcule 𝐼 𝑒𝑥3 𝑦2𝑑𝑥 𝑥 𝑦5𝑑𝑦 𝐶 a 𝐶 é a reunião 𝛾1 𝑦 0 00 à 10 𝛾2 𝑥 1 10 à 11 e 𝛾3 𝑦 𝑥 11 à 00 Lista 02 Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 6 Calcule 𝑥1𝑒𝑦𝑑𝑥 𝑒𝑦𝑙𝑛𝑥 2𝑥𝑑𝑦 𝐶 onde 𝐶 é a fronteira da região limitada por 𝑥 𝑦4 1 e 𝑥 2 orientada no sentido antihorário 7 Utilizando Green pedese a circuitação do campo 𝐹 𝑥2 𝑦2 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦3 2𝑦𝑒𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑦através da fronteira 𝑥 0 𝑦 0 𝑦 𝑥 𝑦 1 𝑥2 𝑦2 4 orientada no sentido horário 8 Seja 𝐶 uma curva simétrica em relação ao eixo 𝑦 mostrada na figura abaixo Sabendose que a área da região delimitada por 𝐶 e pelo eixo 𝑥 vale 16 calcule o trabalho realizado pela força 𝐹𝑥 𝑦 𝑥2 4 𝑥𝑦3 𝑖 2𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦𝑗 ao longo da curva 𝐶 9 Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑥2 𝑦2 Calcule 𝐹𝑑𝑟 𝐶 onde 𝐶 é a fronteira do quadrado 𝐷 11 11 orientada no sentido anti horário 10 Considere um campo vetorial 𝐹 definido em 𝑅2 20 20 satisfazendo a relação rot𝐹 0 em todos os pontos do domínio Supondo que 𝐹 𝑑𝑟 𝐶1 6 e 𝐹𝑑𝑟 𝐶2 9 onde 𝐶1 é o círculo de raio 1 e centro 20 e 𝐶2 é o círculo de raio 1 e centro 20 orientados no sentido antihorário Calcule 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 onde 𝐶 é o círculo de raio 4 e centro 00 orietado no sentido antihorário 11 Considere o campo definido em 𝑅2 00 𝐹 𝑦 𝑥2 4𝑦2 𝑥 𝑥2 4𝑦2 Calcule a integral de linha de 𝐹 ao longo da circunferência de raio 1 centrada na origem e percorrida no sentido antihorário Sugestão Isole a singularidade utilizando a equação da elipse 𝐶1 𝑥2 4𝑦2 𝑎2 Lista 02 Teorema de Green EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Respostas 1 2 24𝜋 3 16𝜋 4 104 3 5 6 16 5 7 23 14 3 8 32 9 2𝜋 10 15 11 𝜋 16