Integrais de Linha: Campos Escalares e Vetoriais

DESCRIÇÃO Aplicação do conceito de integral de linha de campos escalares e campos vetoriais PROPÓSITO Calcular a integral de linha para campos escalares e vetoriais bem como a sua aplicação em campos conservativos e a do teorema de Green PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Calcular a integral de linha de campos escalares MÓDULO 2 Calcular a integral de linha de campos vetoriais MÓDULO 3 Calcular integrais de linha de campos conservativos MÓDULO 4 Aplicar o Teorema de Green BEMVINDO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS MÓDULO 1 Calcular a integral de linha de campos escalares INTRODUÇÃO Existem alguns problemas práticos para os quais é necessário calcular o efeito de uma função escalar sobre uma determinada trajetória Imagine que você conheça a densidade linear de massa de um objeto que tem a forma de uma curva Essa densidade linear define como a massa se distribui pelo comprimento do objeto em cada ponto dele Se essa densidade não for constante deve ser analisado o efeito desta função em cada ponto do objeto e depois somar todos esses valores A integral de linha de campos escalares é a ferramenta matemática que fornece uma solução para esses problemas Nós já conhecemos a integração simples que permitiria a integração de uma função real para um intervalo ab Essa integral simples permitiria resolver esse tipo de problema caso a função dependesse apenas de uma variável e a forma da curva fosse uma reta obtida pela variação dessa variável de a até b A integral de linha amplia essa possibilidade permitindo trabalhar com um campo escalar que depende de várias variáveis integradas por uma curva que tem um trajeto qualquer Neste módulo você vai conhecer a definição e como calcular a integral de linha INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES Iniciaremos nosso estudo apresentando uma curva parametrizada CURVA PARAMETRIZADA A curva paramétrica γ t a b R Rn com n inteiro maior do que 1 é percorrida variando o valor do parâmetro t Vejamos dois exemplos EXEMPLO 1 A curva γt cos t sen t para 0 t 2π Observe que xt cos t e yt sen t Assim x2t y2t 1 representando uma circunferência de raio 1 no plano XY com a variação do valor de t EXEMPLO 2 A curva γu 2 cos u 2 sen u u para 0 u 10 Observe que xu cos u yu sen u e zu u Assim x2u y2u 4 e zu u representando uma hélice circular no espaço XYZ com raio 2 e com z variando de 0 até 10 com a variação do valor do parâmetro u Considere que esta curva é derivável em seu domínio A derivada de γt representa a taxa de variação instantânea de γt em relação ao parâmetro t Portanto podemos usar uma aproximação tal que o comprimento de um arco pedaço desta curva será dado por s γ t t Com t tf ti sendo tf e ti os valores do parâmetro para o ponto inicial e final do pedaço da curva analisado É óbvio que essa aproximação será mais precisa para quando s 0 RELEMBRANDO O CONCEITO DE CAMPO ESCALAR Vamos relembrar a função escalar ou campo escalar já estudada em outra oportunidade AS FUNÇÕES ESCALARES SÃO FUNÇÕES F S ℝN ℝ ONDE S É UM SUBCONJUNTO DO CONJUNTO ℝN COM N INTEIRO E N 1 ASSIM CADA ELEMENTO X1 X2 XN S DE ENTRADA SERÁ ASSOCIADO A UM ÚNICO NÚMERO REAL DENOTADO POR F X1 X2 XN NA SUA IMAGEM Vamos considerar o caso onde essa função escalar f apresenta em seu domínio os pontos percorridos pela curva γt Assim γt S para t a b PROBLEMA A SER RESOLVIDO PELA INTEGRAL DE LINHA DE UMA FUNÇÃO ESCALAR Imaginemos agora um problema em que desejamos obter o efeito da função em cada arco pedaço dessa Curva C Imagine que conhecemos o valor da densidade linear de massa de um objeto δ que tem a forma de uma Curva C definida por uma parametrização γt Essa densidade linear é representada por uma função que tem um valor diferente em cada ponto dessa Curva C Por exemplo no caso do ℝ3 a densidade linear seria uma função δx y z Como o objeto tem a forma de uma curva definida por sua parametrização podemos dizer que a função densidade será dada por δ fγt onde γt representa cada ponto da curva Como a densidade linear de massa é a razão entre a massa pelo comprimento se desejarmos obter o valor da massa em um pedaço L do objeto ela será obtida por AMAAL 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim se fizermos esse pedaco ser tao pequeno quanto desejarmos isto é AL 0 podemos definir que Am fyt AL nviovt fat Vamos usar um raciocinio analogo ao da Soma de Riemann utilizada na definigao de integrais simples Vamos pegar o objeto na forma da curva e dividir em m pedacos A massa total pode ser obtida por MLIM am tiM Fr7r7 AT 1 1 M M 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Esse limite do somatorio quando existir sera representado na forma de uma integral e denominado integral de linha de um campo escalar Repare portanto que a integral de linha de fungdes escalares é uma ferramenta definida para determinar o valor do produto de uma fungao escalar pelo comprimento em uma trajetéria definida por uma curva No exemplo anterior foi usada a densidade linear de massa mas ha varias aplicagées praticas nas areas de Eletromagnetismo Fisica estudo de escoamento de fluidos entre outras Vamos agora definir matematicamente a integral de linha de uma fungao escalar Como exemplificado no item anterior a integral de linha de fungao escalar é semelhante a integral simples de uma fungao real com a seguinte diferenga A INTEGRAGAO E FEITA POR MEIO DE UMA TRAJETORIA DEFINIDA POR UMA CURVA OU LINHA QUALQUER E QUE O INTEGRANDO SERA O PRODUTO DE UMA FUNGAO PELO COMPRIMENTO DE UM PEDAGO INFINITESIMAL DA TRAJETORIA Seja uma curva paramétrica C definida por vt a b C R R com n inteiro maior do que 1 derivavel em todo seu dominio Seja uma funcdo escalar f S c R R coma imagem yt pertencente ao dominio S da funcao A integral de linha da fungao escalar f sobre C sera definida por B FFTDL FFT Ir 7 lpr Cc A 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Outra denominagao para essa integral é integral de linha com relagao ao comprimento de arco Essa denominagao é para diferenciar da integral de linha de campos vetoriais que sera estudada posteriormente Repare na simbologia a letra C colocada abaixo da integral representando que esta se integrando sobre a Curva C Como estamos obtendo uma integragao sobre a Curva C para cada ponto do percurso é obtido o valor de r vt vezes O comprimento infinitesimal A sto Lembrando que A sto vt0 At yb to Asf c yt y no fyt t Vamos agora particularizar para 0 caso do R2 e R3 considerando que a Curva C é definida pelas parametrizacgées yt xf y no caso do R2 e yt xt yt zt para R Assim B DxT2 py T 2 FX YDL J FXT YT DT DT DT Cc A 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal ou B DxT2 foyt 2 oz 7 2 FX Y ZDL FXT YT 211 DT DT DT DT Cc A 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Observe que apds a montagem da integral de linha o problema recai no calculo de uma integral definida simples com o integrando sendo uma fungao real EXEMPLO Calcule o valor da integral de linha Io f dl onde fx y 2xy 1eaCurvaC éa semicircunferéncia de centro na origem com raio 2ecomy 2 0 RESOLUCAO Vamos inicialmente definir a Curva C Como ela é uma semicircunferência de raio 2 temos que γt 2cos t 2 sen t Observe que x2t y2t 4cos2t 4sen2t que é uma circunferência no plano XY de raio 2 Como desejamos apenas a parte de cima dessa semicircunferência isto é y 0 O parâmetro t não irá variar de 0 até 2π que seria o caso da circunferência inteira e sim de 0 até π Montando o integrando da integral de linha fγt γ t Como γt 2cos t 2 sen t então xt 2 cos t e yt 2 sen t fx y 2xy 1 fγt 2 2 cos t2 sen t 1 8 cos t sen t 1 4 sen2t 1 fx y 4 sen2t 1 xt 2 sen t e yt 2 cos t γt 2 cos t 2 sen t γ t 2 cos t2 2 sen t2 4 cos2t 4 sen2t 4 2 Dessa forma C f dl π 0 fγt γ t dt π 0 24 sen2t 1 dt C f dl 8 1 2 cos 2t π 0 2tπ 0 4 cos2π cos0 2π 0 2π A integral de linha independe da parametrização utilizada para a curva Em outras palavras se usarmos duas parametrizações diferentes desde que as duas definam a mesma curva a integral de linha tem que dar o mesmo resultado EXEMPLO Calcule o valor da integral de linha C f dl onde fx y 2xy 1 e a Curva C é definida pela equação γu 2sen 2u 2cos 2u com π 4 u π 4 RESOLUÇÃO Observe que este exemplo é igual ao anterior pois γu 2sen 2u 2cos 2u com π 4 u π 4 representando a semicircunferência de raio 2 no plano XY com y 0 Assim γ u 2sen 2u 2cos 2u 4cos 2u 4 sen 2u Portanto γ u 4 cos 2u2 4 sen 2u2 16 cos2 2u 16 sen2 2u 16 4 E fx y 2xy 1 fγt 2 2sen2u2cos2u 1 fγt 8cos2usen2u 1 4sen4u 1 Dessa forma C f dl π 0 fγu γ u du π 4 π 4 44 sen4u 1du C f dl 16 1 4 cos 4u π 4 π 4 4u π 4 π 4 4 cosπ cos π 4 π 4 π 4 2π Observe que apesar da mudança de parametrização para a curva a integral de linha não mudou de valor Repare que quando o caminho C é uma reta sobre o eixo x y ou z a integral de linha se transforma na integral simples de uma função real EXEMPLO Se a Curva C for a reta no plano XY que une os pontos a0 e b0 assim C fx 0ds b a fxt 0 dxt dt 2 02dt b a fxt 0 dxt dt dt C fx 0ds b a fxt 0dxt b a fxdx Por fim para definirmos a integral de linha supomos que a equação que parametriza a curva apresenta derivada Outra forma é dizer que a curva é suave QUANDO TEMOS UMA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA QUE APRESENTA PONTOS ONDE NÃO EXISTE DERIVADA PARA CALCULAR A INTEGRAL DE LINHA DEVEMOS DIVIDIR O PERCURSO EM PEDACOS QUE JUNTOS OBTEM TODA A CURVA MAS QUE SAO INDIVIDUALMENTE SUAVES Observe a figura a seguir a curva nao apresenta derivadas no ponto c e d Repare que forma um bico tendo limites laterais diferentes da variagao da fungao Outra forma de nao ter a derivada no ponto é se a curva nao fosse continua Observe b yd yb yc c yf ya Se desejarmos calcular uma integral de linha do ponto t a até o ponto t b nao poderiamos aplicar a forma direta pois a curva nao é integravel em todo o percurso E possivel que vocé esteja se perguntando Qual seria a solucdo Dividir a trajetéria em trés trechos taatétc tcatétd tdatétb Assim Cc D B Frmps Firm r7 jor frit r7 oT FFerim r7 or Cc A C D 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Toda vez que conseguirmos dividir a Curva C dessa forma dizemos que ela é suave em partes EXEMPLO Determine a integral de linha do campo escalar ix y xy sobre a Curva C definida pelos pontos xy tais que yt t com 1sts1 RESOLUCAO Observe que nao existe a derivada para yt quanto t 0 Assim para realizar a integral de linha dividiremos a curva em duas partes t t 1st0 VWO ah ostst Obtendo a derivada de γt γt 1 1 1 t 0 11 0 t 1 Para ambos os casos γ t 1 1 2 Acontece que o valor de fx y xy em relação à parametrização da curva será fx y xy f γt t2t t3 1 t 0 t2 t t3 0 t 1 Assim C f dl 1 1 fγu γ u du 0 1 fγu γ u du 1 0 fγu γ u du C f dl 0 1 t3 2dt 1 0 t3 2 dt 2 1 4t4 0 1 2 1 4t4 1 0 C f dl 2 4 04 14 2 4 14 04 2 2 APLICAÇÃO DE INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES Vale a pena recordamos algumas aplicações possíveis da integral de linha para campos escalares Muitas dessas aplicações quando temos uma configuração em duas ou três dimensões são solucionadas por integrais duplas ou triplas Em relagao ao nosso problema atual trabalharemos um objeto no espacgo que possua uma dimensao Um objeto definido pela Curva C com equagao paramétrica yt pode ter seu comprimento medido considerando na integral de linha a fungao escalar como unitaria B COMPRIMENTO DL Ir 7 lpr Cc A 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Onde o ponto inicial da curva a ser medida se da para o parametro t a e o ponto final para o parametro t b EXEMPLO Qual é 0 comprimento total da hélice circular com a equagao paramétrica definida por yu 8 cos u 3 senu u parad Sus 5 RESOLUCAO Se yu 3 cos u 3senu u Yyu3senu 3cosu 1 Assim yu 9sen2u 9cos2u 1 9 1 10 Portanto 5 Comprimento dl 10 du 105 0 510 Cc 0 Dependendo das dimensées de um objeto podemos definir a massa do mesmo em relagao a sua dimensao pela densidade de massa Quando 0 objeto tiver apenas uma dimensao isto é uma linha a densidade linear de massa sera medida em kgm Assim cada parte infinitesimal do objeto dl tera massa dada por ALIM KGIM AL0 AL DL DM A DL 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Quando esse objeto tiver a forma de uma Curva definida pela equagao yt B MASSAM AFTDL J AF1 Ir 7 lpr Cc A 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal COMENTARIO O exemplo de aplicagao foi dado para grandeza de massa mas pode ser utilizado para diversas grandezas fisicas que podem ser definidas pelas suas densidades como carga elétrica corrente elétrica etc CENTRO DE MASSA A densidade linear de massa também pode ser usada para obter as coordenadas do centro de massa de um objeto O CENTRO DE MASSA E UM PONTO HIPOTETICO ONDE NA MECANICA CLASSICA SE CONSIDERA QUE TODA MASSA DO SISTEMA FiSICO ESTARA CONCENTRADA As coordenadas do centro de massa de um objeto sao obtidas dividindo o momento pela massa total Para um objeto com densidade linear dada por 6x y z as coordenadas do centro de massa de um corpo de massa m onde m Oytd podem ser obtidas pelas expressées C xpm J XAFTDL e e x M M yom J YAFTDL Y e e M M ˉZ C Z DM M C Z ΔΓ T DL M MOMENTO DE INÉRCIA O momento de inércia quantifica a dificuldade de mudar um estado de rotação de um objeto em torno de um eixo e de um ponto Quanto maior for o momento de inércia de um objeto mais difícil será girálo ou alterar sua rotação Podemos definir o momento de inércia para um sólido definido no espaço Seja um objeto no espaço com massa dada por sua densidade linear de massa δx y z Esse objeto tem forma definida por uma Curva C e sua equação paramétrica γt O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO X Ix C y2 z2 dm C y2 z2 δx y zdl O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Y Iy C x2 z2 dm C x2 z2 δx y zdl O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z Iz C x2 y2 dm C x2 y2 δx y zdl RESUMO DO MÓDULO 1 TEORIA NA PRÁTICA Um objeto tem a forma de uma hélice circular de raio 2 e altura π Sabese que a densidade linear de massa desse objeto vale δx y z 2y sen z Para esse objeto colocado no espaço xyz determine a massa do objeto sabendo que a forma do objeto pode ser parametrizada por γt 2cos t 2 sen t t com t π RESOLUÇÃO INTEGRAL DE LINHA DENSIDADES LINEARES MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 2 Calcular a integral de linha de campos vetoriais INTRODUÇÃO Nós já estudamos em outras oportunidades a função real a função escalar e a função vetorial Neste módulo definiremos o quarto tipo de função que está faltando os campos vetoriais OS CAMPOS VETORIAIS SÃO AS FUNÇÕES EM QUE TANTO OS ELEMENTOS DO DOMÍNIO QUANTO OS DA IMAGEM SÃO VETORES No módulo passado foi definida a integral de linha para campos escalares Aqui vamos definir e aplicar a integral de linha para campos vetoriais CAMPOS VETORIAIS Dependendo da definição do conjunto domínio e do contradomínio de uma função matemática definimos vários tipos diferentes de função A função real a função escalar e a função vetorial já foram estudadas por nós em outras oportunidades Vamos relembrálas FUNÇÃO REAL FUNÇÃO VETORIAL FUNÇÃO ESCALAR Tem domínio e contradomínio contidos no conjunto dos números reais Assim a entrada e a saída são números reais Tem dominio contido no conjunto dos numeros reais e contradominio no conjunto R com m inteiro e maior do que um Dessa forma sua entrada 6 um numero real mas sua saida é um vetor com m componentes Tem dominio contido no conjunto R com n inteiro maior do que um e contradominio no conjunto dos nuimeros reais Portanto sua entrada 6 um vetor com n componentes e a saida um numero real Nesse momento vamos definir o quarto tipo de fungao denominada campo vetorial O CAMPO VETORIAL E A FUNGAO QUE TEM DOMINIO CONTIDO NO CONJUNTO RNE CONTRADOMINIO CONTIDO NO CONJUNTO R COM ME NINTEIROS E MAIORES DO QUE 1 Em outras palavras tanto a entrada quanto a saida dessa fungao sao vetores O valor de men podem ser iguais ou até mesmo diferentes Um outro nome para os campos vetoriais é fungao de diversas variaveis reais a valores vetoriais Vamos definir formalmente o campo vetorial O CAMPO VETORIAL E AFUNGAO F S c RN R ONDESEUM SUBCONJUNTO DO CONJUNTO R E TANTO M QUANTO N SAO INTEIROS MAIORES DO QUE UM Assim a cada elemento x1 x2 wens Xn S CR sera associado um Unico vetor F x4 X2 wens Xn v Yor vers Vm R Portanto a imagem da fungao sera dada por im F FxX Xu Y Y Yu RM xx Xy Sc RM 1 2 meng N 1 2 meng M 1 2 meng N 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A imagem do campo vetorial 6 um vetor e cada uma de suas componentes serao fungées escalares que dependerdao das variaveis independentes de entrada Para o caso de uma fungao FScR3 RS podemos escrever o campo vetorial em relagao as suas fungdes escalares componentes como FX Y Z PX Y Z QX Y Z RX Y Z PX Y 2X QX Y ZV RX Y ZZ 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Seja o campo vetorial Fx y z eY 2z 10 In y1 xyz Determine as imagens de F para quando o elemento de entrada for 1 0 2 RESOLUCAO Repare que o campo vetorial F apresenta dominio no Ree imagem no R4 Assim tera em sua entrada um vetor de 3 componentes e a saida um vetor do 24 Dessa forma F10 2 e7 22210 InO1 102e7 18 0 1 O campo vetorial tem varias aplicagées praticas EXEMPLO O mapeamento de velocidade de um liquido isto 6é em cada ponto do espago definido por variaveis xyz tem definido um vetor velocidade com suas trés componentes v Vy vz que dependem das variaveis de entrada Outro exemplo é o valor de uma forga tridimensional em cada ponto de um sdlido Que também associa em cada ponto espacial xyz um vetor forga O campo elétrico em cada ponto do espao Quando estudamos campos escalares vimos 0 gradiente de uma fungao escalar que foi definida como OF OF OF VFX4 Xp es Xn 3 x1 X2 es Xn es oxy X1 Xoy oes Xn SN x Xoy oes Xv 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Repare que o gradiente de uma fungao escalar 6 um campo vetorial pois apresenta um vetor com n componentes na entrada e n fungdes escalares na saida O campo vetorial por ser um vetor obedece a todas as operagées e propriedades vetoriais EXEMPLO Determine o produto vetorial entre a imagem dos campos vetoriais Fx yZxty xzze Gx yZ 2yz 3xtyy1 no ponto 111 RESOLUCAO Calculando as imagens dos campos vetoriais no ponto 111 F11 1 1 11 11 20 1 G11 1 21 3 1141 14 2 xX y z F11 1XG11 1 12 0 104147 802 4 37 82 14 2 A integral de linha de um campo escalar f S c R R sobre uma Curva C definida pela equacdo parametrizada yt ja foi estudada e tem a forma B Frmps Furm r 7 or Cc A 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Podemos de forma analoga definir uma integral de linha para um campo vetorial A PRINCIPAL DIFERENGA E QUE O CAMPO VETORIAL APRESENTA COMO IMAGEM UM VETOR E NAO UM NUMERO REAL COMO NO CASO DO CAMPO ESCALAR Para definir essa integral de linha vamos seguir um exemplo pratico que seria o calculo do trabalho de uma forga sobre uma trajetoria Seja a Curva C definida pela equagao parametrizada yt Imagine um objeto tendo como trajetdéria a Curva C Assim a posigao do objeto para o instante t seria dada por Vt Seja um campo vetorial que representa uma forca F Considere que as posigées definidas pela trajetéria fagam parte do dominio do campo vetorial Assim em cada posigao teremos um valor para o vetor F No instante tp 0 objeto estara na posigao vto e sobre essa posicao existira um campo vetorial de valor Fyto F yto a om c yt yfo Necessitaremos definir um sentido para essa trajetéria Tanto faz qual seja mas apds a sua definiao a parametrizagao da curva deve respeitar o sentido escolhido Em nosso exemplo consideraremos sentido positivo da esquerda para direita Quando nao é informada a orientagao da curva considerase 0 sentido de percurso o do crescimento do parametro Aprendemos na Fisica que o trabalho que uma forga exerce sobre um deslocamento vale o produto escalar entre a forga e o vetor deslocamento ATENGAO Lembrese que o vetor deslocamento é o que tem inicio na posigao inicial do objeto e extremidade na posigao final Como consideramos o sentido positivo da esquerda para a direita o vetor deslocamento tera sempre esse sentido Durante o percurso a forga pode variar Assim temos que fazer o percurso tao pequeno quanto pudermos para usarmos a condicgao que a forga nao varia nesse trecho Dessa forma podemos dizer que o trabalho realizado pela forga Fyto para um deslocamento infinitesimal A y no ponto tp sera dado por ATFrTo AF To FrTo T7 47 FTo COM AT0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Considere que a equaao parametrizada da curva apresenta derivada isto 6 que a curva suave no seu dominio Como o vetor A Vto sera tao pequeno quanto desejarmos podemos afirmar que ele tera a diregao da reta tangente a curva e usara o teorema do valor médio para calcular esse vetor por meio da derivada AT To FTo ATFTo FT aT 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Entao Ar Fyty A Vt Fyto Vto Atcom At tendendo para zero COMENTARIO Observe a figura anterior como Vto tera a diregao da tangente a curva AT Fvto Vto At Fvto vto cos aAt Onde a é 0 angulo entre o vetor Fea tangente a curva da trajetoria no ponto fo Se considerarmos a componente do vetor Fna diregao e sentido da trajetoria F como F Fcos a AT FrTo FT AT F77o 70 AT 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em cada posiao da trajetéria tanto o médulo do campo vetorial quanto o angulo que o vetor forga faz com o deslocamento pode mudar Para calcular o trabalho total exercido pela forga F desde um instante t a até um instante t b necessitaremos somar todos os trabalhos realizados em cada trecho da trajetoria Seguindo um raciocinio analogo que foi feito com a Soma de Riemann dividiremos as trajetérias em partigd6es tao pequenas quantos desejarmos e calcularemos o trabalho para cada uma dessas partigées infinitesimais Quando o tamanho das partigoes tenderem a zero ou como outra forma de pensar quando o numero de partigées tenderem ao infinito o trabalho total sera obtido pelo somatorio do trabalho em cada partigao TLIM y aT LM Fr7r7 AT 1 1 yy M M 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal ATENGAO Quando o tamanho de cada particao tender a zero sera 0 mesmo que fazer a variagao da parametrizagao At tender a zero garantindo a aproximagao do vetor deslocamento através de sua derivada Esse limite semelhante ao da integral simples sendo definido como a integral de linha do campo vetorial F sobre a Curva C definida por y Lim Fr77 47 2FUD FT 1 yy A M 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Deduzimos a integral de linha para campo vetorial por meio de um exemplo pratico de calculo de trabalho Existem porém diversas outras aplicagées Toda vez que desejarmos obter o efeito de um campo vetorial sobre uma trajetdria a integral de linha para campo vetorial sera usada Vamos agora definir matematicamente a Integral de linha de um campo vetorial Como exemplificado no item anterior a integral de linha de campo vetorial é semelhante a integral de linha de campo escalar com a diferenga que desejamos o efeito da projegao do campo vetorial sobre a trajetéria e nao apenas o mddulo do campo Seja uma curva paramétrica C definida por vt b c R R com n inteiro maior do que 1 derivavel em todo seu dominio Seja uma fungdo escalar F S c R R coma imagem yt pertencente ao dominio S da fungao A integral de linha do campo vetorial F sobre C é definida por Br J FDP SAFPT P1DT Cc 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal ATENGAO E preciso tomar cuidado pois no integrando temos um produto escalar entre dois vetores e nado uma multiplicacdo simples Observe que apds a montagem da integral de linha e 0 calculo do produto escalar o problema recai no calculo de uma ou mais integrais simples com os integrandos sendo fungoées reais Quando essa curva for fechada podemos representar a integral pela simbologia a seguir Br 1 FDF FFT F1DT f JAFT FT Cc 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Lembrese também que caso a Curva C nao seja suave em todo seu dominio devemos dividir a trajetoria em pedagos onde a curva 6 suave da mesma forma que fizemos para integral de linha em campos escalares para curvas suaves em partes Da mesma forma a integral de linha de campo vetorial também independe da parametrizagao da curva utilizada Agora veremos dois exemplos para entender melhor EXEMPLO 1 Determine o valor da integral de linha C F d γ onde Fx y z 2x y 3z e a Curva C é definida pela equação γt 1 t2 2t t com 0 t 2 com orientação positiva no sentido do crescimento do parâmetro t EXEMPLO 1 RESOLUÇÃO Como Fx y z x y z e γt 1 t2 2t t então Fγt 2 2t2 2t 3t γt 2t 2 0 Assim Fγt γt 2 2t2 2t 2t 2 3t 0 4t3 4t 4t 4t3 8t C F d γ 2 0 4t3 8t dt t4 2 0 4t2 2 0 16 44 0 Vamos agora particularizar para o caso do ℝ3 Seja a Curva C definida pelas parametrizações γt xt yt zt Dessa forma γt xt yt zt dx dt t dy dt t dz dt t Considere o campo vetorial Fx y z Px y z Qx y z Rx y z Px y zˆx Qx y zˆy Rx y zˆz Assim C Fγt d γ b a Fγt γtdt C Fγt d γ b a Px y z dx dt Qx y z dy dt Rx y z dz dt dt Os valores de dx dt t dy dt t dz dt t são obtidos pelas coordenadas de γt Esta expressão pode ser simbolizada como C Fγt d γ C P dx Qdy Rdz A forma px y zdx Qx y zdy Rx y zdz é denominada de forma diferencial definida Para o caso do ℝ2 só não teríamos a parcela R dz EXEMPLO 2 Determine o valor de C x2dx 2y dy sendo a Curva C definida por γt 2t2 cos t com 0 t π 2 Considere a orientação positiva da curva no sentido do crescimento do parâmetro t RESOLUÇÃO Pelo enunciado Fx y z x2 2y Assim C x2dx 2y dy π 2 0 2t2 2 dx dt 2cos t dy dt dt Mas dx dt 2t2 4t e dx dt cos t sen t Então C x2dx 2y dy π 2 0 4t4 4t 2cos t sent dt π 2 0 16t5 2cos t sen t dt C x2dx 2y dy π 2 0 16t5 sen 2t dt 16 1 6t6 π 20 1 2cos 2t π 20 8 3 π6 64 π6 24 RESUMO DO MÓDULO 2 TEORIA NA PRÁTICA Um campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Q localizada na origem do sistema cartesiano apresenta uma equação dada por E x y z k Q x2y2z2 3 2 x ˆx y ˆy z ˆz Voltsm onde k é uma constante real positiva Determine a diferença de potencial elétrico entre os pontos finais e iniciais de uma Curva C dada pela equação γt t t t com 1 t 2 sabendo que a diferença de potencial é dada pela equação V Vf Vi C E d γ Volts RESOLUÇÃO CAMPOS VETORIAIS MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 3 Calcular integrais de linha de campos conservativos INTRODUÇÃO O rotacional e o divergente de um campo vetorial são dois operadores diferenciais aplicados em um campo vetorial que são bastantes utilizados em diversas áreas de aplicação Esses operadores quando aplicados a campos reais apresenta um significado físico como será estudado neste módulo Baseado no resultado de alguns operadores diferenciais o campo vetorial pode ser classificado como campo conservativo ESSE TIPO DE CAMPO TEM UMA PROPRIEDADE IMPORTANTE A SUA INTEGRAL DE LINHA INDEPENDER DO CAMINHO DE INTEGRAÇÃO DEPENDENDO APENAS DO PONTO FINAL E INICIAL Na física por exemplo trabalhase com diversos tipos de campos conservativos que são associados a suas funções potenciais Podemos citar o campo gravitacional e o campo elétrico Os campos conservativos também serão estudados neste módulo OPERADORES DIFERENCIAIS Antes de estudarmos o campo conservativo precisamos definir alguns operadores diferenciais para um campo vetorial Já estudamos em outras oportunidades o gradiente de um campo escalar COMENTÁRIO O gradiente é um operador aplicado em uma função que tem saída real e tem como resultado um vetor composto pelas derivadas parciais da função que foi operada matematicamente Além do gradiente podemos definir dois outros operadores diferenciais que são o rotacional e o divergente que serão aplicados em campos vetoriais ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL Seja um campo vetorial FS c R38 R83 representado por suas fungdes componentes da forma FX Y Z PX Y ZX QX Y ZY RX Y ZZ 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Suponha que as fungdes P Q e R sao funcgdes escalares que admitem derivadas parciais em S Assim 0 rotacional de F simbolizado por rot F é também um campo vetorial definido por ROTE AR AQ Xx AP AR y AQ AP z IV 75 i AY AZ AZ AX AX AY 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Essa expressado também pode ser representada por meio do calculo de um determinante RoTF AX AY AZ P Q R 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal aa a 3 Definindo 0 operador V Ox dy bz no R o determinante acima pode ser analisado como rot F V x F por isso que V x F também é uma simbologia usada para o rotacional de F Observe que 0 rotacional 6 um operador aplicado a um campo vetorial e tem como resultado também um campo vetorial O rotacional sd sera definido para um campo do R e seu caso particular no R2 COMENTARIO A interpretagao geométrica do rotacional de um campo vetorial é que ele 6 um vetor que representa quanto o campo se rotaciona em torno de um ponto por isso o nome rotacional Se um campo apresenta rotacional nulo é denominado de campo irrotacional EXEMPLO Determine o rotacional do campo vetorial Fx y z 2x2z ˆx 3xyz ˆy y2 ˆz no ponto 112 RESOLUÇÃO rot Fx y z ˆx ˆy ˆz δ δx δ δy δ δz P Q R Assim rot Fx y z ˆx ˆy ˆz δ δx δ δy δ δz 2x2z 3xyz y2 Resolvendo o determinante rot Fx y z δ δy y2 δ δz 3xyz ˆx δ δz 2x2z δ δx y2 ˆy δ δx 3xyz δ δy 2x2z ˆz rot Fx y z 2y 3xyˆx 2x2 0 ˆy 3yz 0ˆz rot Fx y z 2y 3xyˆx 2x2 ˆy 3yzˆz Para 112 rot F11 2 2 3ˆx 2ˆy 32ˆz ˆx 2ˆy 6ˆz Como lembrado no item anterior o gradiente de uma função escalar f é um campo vetorial Existe uma propriedade que diz que para qualquer função escalar rotVf 0 Seja um campo vetorial FS coc R25 R com n inteiro maior do que 1 representado por suas fungdes componentes da forma F F fos wos fn Considere que as derivadas parciais de primeira ordem de todas as componentes no dominio de Fexistem Assim define o divergente de um campo vetorial representado por div FE por DIVE OF oF 4 aFy aX ax aXy 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal a 2a a Definindo o operador V 5 ox Ox no R o divergente pode ser considerado o produto escalar entre o operador V e o 1 2 n campo vetorial F Por isso também se usa a simbologia V F para representar o divergente de um campo vetorial F Observe que 0 divergente é aplicado em um campo vetorial mas tem como resultado um campo escalar NO CASO DE UMA FUNGAO F S c R R COMA SEGUINTE REPRESENTACAO No caso de uma fungdo F Sc R Rcom Fx yZ Plzyzx Qx yZy RX y ZZ 2 oP dQ aR div FX 2 32 YZ Z KMZ Fy GM PARA O CASO DO R2 COM FX Y PX YX QX YY Para o caso do R2 com Fx y Px yX Qx yv P aQ div Fx y 3 OGY oy Y EXEMPLO Determine o divergente do campo vetorial Fx yZ 2xz k 3xyz y y z no ponto 112 RESOLUCAO Se Fx yz Px y zk Qx y Zyv Rx y Zz entao 2 6P 2Q aR div Fx YZ F YZ FG Z ZY 2Z vB 8 52 2 2 2 div Fx y Z wa 2 z ay SXxZ S y 4xz 3xz 0 7xy No ponto 112 div F112 7117 A INTERPRETACAO GEOMETRICA DO DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL E QUE ELE MEDE QUANTO UM CAMPO SE ESPALHA DIVERGE A PARTIR DE UM PONTO POR ISSO O NOME DIVERGENTE Pode também ser analisado que se temos um campo vetorial que mede um fenémeno fisico o ponto onde o divergente é diferente de zero sao os pontos onde o campo criado fonte de campo ou destruido sumidouro de campo Existe uma propriedade que mostra que para um campo vetorial divrot F 0 Por fim o divergente pode ser combinado com o gradiente definindo um novo operador diferencial denominado de Laplaciano de um Campo Escalar v4 V2F V VFOU V2F DIV Grab F 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para 0 caso de um campo escalar fxyz com dominio no R F oF x WZ aF 2 VF XY 2 5 Y2 YZ 5 YZ 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para o caso de um campo vetorial define o Laplaciano de um Campo Vetorial v7F pelo laplaciano de cada componente do campo vetorial Assim no caso do R3 com FX Y Z PX Y ZX QX Y ZY RX Y ZZ 2c V2 2 2 VFX Y Z VPX Y ZX V7QX Y Z VRX Y ZZ 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O campo vetorial FScRG R com n inteiro e maior do que 1 sera um campo conservativo se existir um campo escalar f S c R R tal que VFFEMS A FUNCAO ESCALAR F E DENOMINADA DE FUNCAO POTENCIAL DE FEM 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Um ponto importante que podemos citar é que se F for continuo em S a fungao potencial f sera continua e derivavel no dominio S Observe que 0 campo vetorial sera conservativo se puder ser representado pelo gradiente de uma fungao escalar De inicio para que isso seja possivel o dominio e a imagem precisam ter a mesma dimensao COMENTARIO Repare que se 0 dominio estiver em R a imagem obrigatoriamente deve estar em R Em outras palavras nao existe campo conservativo para um campo vetorial FScR 5 R com n diferente de m Para o caso den 2 en 3 que Sao os casos principais de nossos problemas uma condigao necessaria mas nao suficiente para que o campo vetorial seja conservativo é que rot F seja nulo isto é que o campo seja irrotacional Ou seja 0 rotacional nulo é necessario para que um campo seja conservativo Quando 0 rotacional do campo é diferente de zero o campo com certeza nao é conservativo Apenas um cuidado pode ocorrer campos com rotacional nulo que nao sao conservativos Por isso que a condigao nao é suficiente Mais a frente analisaremos a condiao suficiente para garantir que um campo vetorial seja conservativo EXEMPLO Verifique se o campo vetorial Fx yZ 2xz k 3xyz yt y z um campo conservativo RESOLUCAO Ja calculamos em um exemplo anterior o rotacional deste campo vetorial Assim rot Fx y z 2y 3xyk 2x2 y 3yzz Repara que esse campo no 6 irrotacional pois existem pontos onde o rotacional nao é nulo Assim podemos garantir que o campo vetorial F nao é conservativo Na Fisica trabalhamos com diversos campos conservativos w EXEMPLO O campo elétrico sera representado pelo gradiente de uma fungao escalar que denominamos de potencial elétrico Por isso que 0 campo é conservativo e tera propriedades relacionadas a sua integral de linha Essas propriedades serao vistas no préximo item Quando o campo vetorial for conservativo vamos verificar que podemos aplicar um teorema semelhante ao Teorema Fundamental do Calculo que denominaremos de Teorema Fundamental para Integrais de Linha Seja C uma curva suave definida por yt coma s t b Seja Fum campo vetorial continuo e conservativo com fungao gradiente f entaéo o Teorema Fundamental para Integrais de Linha nos diz que B 1 J F1 DF Nn VFT FT DT FFB FA Cc 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em outras palavras a integral de linha sé depende do valor da fungao potencial nos pontos final e inicial Dizemos que a integral de linha de um campo conservativo independe da trajetoria A INTEGRAL DE LINHA DE QUALQUER CAMPO VETORIAL INDEPENDE DO PARAMETRO SE O CAMPO FOR CONSERVATIVO ALEM DE INDEPENDER DA PARAMETRIZAGAO A INTEGRAL DE LINHA INDEPENDERA DO CAMINHO TRAGADO SE O CAMPO FOR NÃO CONSERVATIVO A INTEGRAL DE LINHA DEPENDERÁ DO CAMINHO PERCORRIDO ENTRE OS PONTOS INICIAIS E FINAIS Um ponto importante é que a volta do teorema não vale para qualquer região Em outras palavras se o valor da integral de linha de um campo for independente do caminho para todas as curvas dentro de uma região dependendo apenas dos pontos inicial e final só podemos garantir que esse campo será conservativo se a região for uma região conexa Outra conclusão importante do teorema é que caso o campo seja conservativo a integral de linha através de um percurso fechado será obrigatoriamente nula Ou se o valor da integral de linha através de qualquer percurso fechado for nulo o campo será conservativo Os teoremas e suas conclusões não foram demonstrados mas essas demonstrações podem ser estudadas se for o caso nas obras de referência deste tema Obs Uma região será conexa se quaisquer dois pontos da região puderem ser sempre ligados por uma poligonal totalmente contida na região B Por exemplo uma região que é dividida em duas regiões separadas não é uma região conexa DICA Toda vez que formos calcular a integral de linha de um campo vetorial temos que observar antes se o campo é ou não conservativo pois assim podemos resolvêla de forma muito mais rápida EXEMPLO Seja o campo conservativo Fx y 1 4xy 2x2 y2 Determine a sua integral de linha entre o ponto inicial 11 até o ponto final 22 Sabese que a função potencial de F vale fx y x 2x2y 1 3y3 para todo seu domínio ℝ2 RESOLUÇÃO O enunciado já informa que o campo é conservativo Repare que rot Fx y 0 ˆx ˆy ˆz δ δx δ δy δ δz 1 4xy 2x2 y2 0 δ δy 0 δ δz 2x2 y2 ˆx δ δz 1 4xy δ δx 0 ˆy δ δx 2x2 y2 δ δy 1 4xy ˆz 0 0ˆx 0 0ˆy 4x 4xˆz 0 Mostrando que o campo atende a condição necessária por ser irrotacional isto é seu rotacional é nulo para todos os pontos xyz O enunciado já forneceu a função potencial do campo vetorial observe f x 1 4xy Fx f y 2x2 y2 Fy Provando que f F Resolvendo a integral de linha repare que o exemplo não informou qual é o caminho a ser traçado pois ao afirmar que o campo era conservativo a integral de linha só depende do seu ponto inicial e final C Fγt d γ fγb fγa f22 f11 C Fγt d γ 2 2 22 2 1 323 1 1 12 1 1 313 38 3 Vamos apenas escolher um caminho para provar que a integral de linha para este campo vetorial para qualquer caminho tem que fornecer o valor calculado Seja o caminho γt t t para 1 t 2 Neste caso γt 11 e Fγt 1 4t2 t2 Fγt γt 1 4t2 t2 1 5t2 C F d γ 2 1 Fγt γtdt 2 1 1 5t2 dt t2 1 5 t3 3 2 1 C F d γ 2 1 5 8 3 1 3 1 35 3 38 3 Fornecendo o mesmo valor obtido anteriormente Esse conceito de campo conservativo pode parecer novo para você mas já foi utilizado diversas vezes em seus estudos de Física OS CAMPOS GRAVITACIONAL ELÉTRICO E DE FORÇA DA MOLA SÃO CONSERVATIVOS E VOCÊ APRENDEU QUE O TRABALHO QUE ESSAS FORÇAS EXERCIAM SÓ DEPENDIA DOS PONTOS INICIAL E FINAL Outra forma de abordar isso era com a criação da Energia potencial que dependia apenas do ponto do objeto Só resta buscarmos uma forma de verificar se um campo é conservativo isto é uma condição suficiente para essa garantia Antes disso necessitamos definir alguns pontos Uma curva será simples se nenhum ponto dela se intercepta Uma região B será simplesmente conexa quando toda curva simples fechada dentro de sua região contornar apenas pontos que pertence à região B Em outras palavras a região B não pode ter buracos ou ser constituída por regiões separadas veja Regiao Simplesmente Conexa Regides que nao sao Simplesmente Conexas Agora vamos definir uma condigao suficiente para o campo vetorial ser conservativo SEJAF S c RN RN PARA N 2 OU N 3 UM CAMPO VETORIAL DIFERENCIAVEL EM S SE O DOMINIO S FOR SIMPLESMENTE CONEXO E O ROT F FOR NULO ENTAO F SERA UM CAMPO CONSERVATIVO Assim a condigao de simplesmente conexo para 0 dominio do campo vetorial garante que caso 0 campo seja irrotacional o campo vetorial sera conservativo Os casos mais comuns serdo aqueles em que o dominio da fungao sera 0 proprio R Podemos observar que o conjunto R é simplesmente conexo Assim para esse caso basta garantirmos que o campo vetorial seja irrotacional Para 0 caso do R2 seja Fx y Px yX Qx yV entao o rotacional do campo sera KX Y Z RoTF 0 z TAX AY AZ lax ay P Q 0 POIS P E Q SO DEPENDEM DE X EY 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 6Q OP Neste caso para 0 rotacional ser nulo x ae 0 xX Oy 6Q OP 2 6Q OP Assim dizemos que se F for conservativo entao wx By E se 0 dominio do campo vetorial F for simplesmente conexo e wx em todos os seus pontos entao F é conservativo EXEMPLO Seja o campo vetorial Fx y 4xy x2 y2 Verifique se é um campo conservativo RESOLUÇÃO Como o domínio de F é o ℝ2 que é um conjunto simplesmente conexo basta verificarmos se será um campo irrotacional No caso do ℝ2 basta verificarmos se δQ δx δP δy com Fx y Px yˆx Qx yˆy Q x x x2 y2 2x P y y 4xy 4x Como Q x P y então o campo não é irrotacional e não será conservativo EXEMPLO Seja o campo vetorial Fx y 8 3xy2 2y2 3yx 2 Verifique se é um campo conservativo RESOLUÇÃO Como o domínio de F é o ℝ2 que é um conjunto simplesmente conexo então basta verificarmos se será um campo irrotacional No caso do ℝ2 basta verificarmos se δQ δx δP δy com Fx y Px yˆx Qx yˆy Q x x 2y2 3yx2 6xy P y y 8 3xy2 6xy Como Q x P y com domínio no ℝ2 o campo será conservativo Por fim para o caso de um campo ser conservativo existem formas de obter a sua função potencial Essa metodologia não será vista neste módulo mas pode ser estudada se for o caso nas referências deste tema RESUMO DO MÓDULO 3 TEORIA NA PRÁTICA Sabese que um campo elétrico gerado por determinada carga puntiforme localizada na origem do sistema cartesiano tem uma equação dada por Ex y z 100 x2y2z2 3 2 x ˆx y ˆy z ˆz Voltsm Esse campo é conservativo e apresenta uma função potencial dada por Vx y z 100 x2y2z2 1 2 Voltsm Determine a integral de linha para o campo elétrico entre os pontos 2 23 2 e 22 4 1 através de uma Curva C A Curva C será contida na interseção de um paraboloide e um cone RESOLUÇÃO INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO CONSERVATIVO MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO MÓDULO 4 Aplicar o Teorema de Green INTRODUÇÃO O cálculo de uma integral de linha e o de uma integral dupla podem ser relacionados por meio do chamado Teorema de Green Através dele você obtém a integral de linha de um campo vetorial resolvendo uma integral dupla de uma função real Vamos estudálo TEOREMA DE GREEN O Teorema de Green permite relacionar a integral de linha por meio de uma curva fechada simples C com a integral dupla sobre a região B formada por esta curva A região B será formada por todos os pontos da fronteira C e os pontos dentro da curva fechada veja a figura Necessitamos orientar a curva assim para o Teorema de Green a orientação positiva será quando a curva for percorrida no sentido antihorário apenas uma vez Vamos agora enunciar o teorema A demonstração desse teorema para uma região retangular pode ser estudada se for o caso nas obras de referência que se encontram no fim deste tema Quando se trata de uma região qualquer a demonstração do teorema é bastante complexa DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE GREEN SEJA C UMA CURVA PLANA SIMPLES FECHADA CONTÍNUA POR TRECHOS E ORIENTADA POSITIVAMENTE SEJA B A REGIÃO DELIMITADA POR C SEJAM AS FUNÇÕES ESCALARES P E Q DERIVÁVEIS EM UM CONJUNTO ABERTO QUE CONTENHA D ENTÃO 0Q oP 6 PX YDX QX YDY ff DS OX ayY Cc B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Determine a integral de linha x4 y Jax x y Jay sobre a curva yt cos t sen t com 0 s tf 277 percorrida no sentido Cc do crescimento do parametro t RESOLUCAO Se desejassemos resolver a integral de linha da forma direta Com yt cos t sent ytsent cost 43 343 ant 4 3 4 V3 4 v3 ov tao ferred eP foo c Com yt cos t sent yt sent cos t I cos sent sen t cost sentcos tat costsen t sent cost sentcos tat Que seria uma integral definida resolvida usando a substituigdo de variavel que vai requerer muito trabalho Utilizando o Teorema de Green a integral saira de uma forma mais simples Observe que ao crescer 0 parametro a curva é percorrida no sentido antihorario que é o sentido definido como positivo para o teorema de Green aQ aP Px ydx Qx ydy ff s Hy js c B dP PQxy x4y9 5 8y 5Q Qx y 3 y ee 3x2 xX Assim oQ oP Sf s js ff 3x2 3y dxay ff 3x2 3ydxdy x oy B B B Ao analisarmos a Curva C fechada que se trata de uma circunferéncia de raio 1 Assim fica mais simples resolver a integral dupla pelas coordenadas polares 2my1 2m Spalx y dxdy 9193 pdede 4J3p dede Qm143 aon at al 3 3m 1oJg3e dedd 65 3 zp mae Observe que estamos trabalhando com fungées e areas no R2 Se considerarmos que Fx y Px yk Qx yy entao eQ oP 4k 3 ey é o seu rotacional com diregao do eixo x isto 6 perpendicular ao plano XY Portanto o Teorema de Green pode ser representado por FDr ff vxF ZDS Cc B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Se a regido B for uma uniao finita de regides simplesmente conexas podemos também aplicar o Teorema de Green Veja a figura na qual a regiao B sera a uniao das regides B e Bo B 1 B 1 Seja C o contorno da regiao B no sentido positivo e Cz o contorno de Bg no sentido positivo Repare que na fronteira que une as duas regides C e Co estarao em sentidos contrarios e se anularao Assim se considerarmos C 0 contorno apenas externo da regiao podemos dizer que 0Q P ff 5x ay DS PX YDX QX YDY PX YDX QX YDY BUB CUC Cc 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Quando a regiao B nao for simplesmente conexa isto 6 quando apresentar furos teremos que fazer uma adaptagao do Teorema de Green para sua aplicagao aplicandoo por meio de uma diminuigao de areas Seja a regiao B abaixo desenhada 2 Cy Observe que a regiao B agora sera definida por uma area entre duas curvas que serao suas fronteiras C e Co Ambas as curvas sao orientadas em seu sentido positivo isto é antihorario Dessa forma podemos afirmar que aQ oP Sf ie oy DS PX YDX QX YDY J PX YDX QX YDY B C1 C2 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A combinagao acima pode ser feita para quantos buracos houver na regiao Se vocé quiser fazer o contorno externo C no sentido antihorario e os contornos que definem os buracos no sentido horario 0 sinal muda para essa integral de linha dos buracos Suponha que a regiao B é definida externamente pelo contorno C orientado no sentido positivo e tem dois buracos definidos respectivamente por Cz e C3 ambos orientados no sentido negativo horario assim 0Q oP I lox ay JOS P YDX Qx YYDY PX YDX QX YDY PX YDX QX YDY B C1 C2 C3 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O Teorema de Green pode também ser utilizado como outra forma de se calcular a area de uma regido B Na verdade sera o calculo da area por meio de uma integral de linha Lembrando que se o teorema nos apresenta a seguinte relagao aQ oP 6 PX YDX QX YDY ff DS OX daY Cc B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Mas sabemos que a area da regiao B pode ser calculada como AffDS B 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal aQ aP Se observarmos o Teorema de Green na parte da integral dupla seria o mesmo que fazer o termo z a igual a 1 Existem varias possibilidades para esta combinagao E para cada uma delas teremos uma integral de linha diferente a ser calculada através da curva fechada C que contorna a area analisada PX Y 0E QX Y X Affds 4 xdy B Cc PX Y Y E QX Y 0 A B ds C y dx P X Y 1 2Y E Q X Y 1 2X A B ds C 1 2x dy 1 2ydx A escolha do tipo utilizado dependerá da curva que determina a área Sempre devemos buscar a integral mais simples Exemplificaremos este cálculo na seção Teoria na prática deste módulo RESUMO DO MÓDULO 4 TEORIA NA PRÁTICA Determine a área da elipse de equação 3x2 2y2 6 através de uma integral de linha RESOLUÇÃO TEOREMA DE GREEN MÃO NA MASSA VERIFICANDO O APRENDIZADO CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Este tema apresentou e aplicou o conceito da integral de linha de campos escalares e vetoriais No primeiro módulo foi definida e calculada a integral de linha de campos escalares No segundo módulo foi definido o campo vetorial e calculada a integral de linha de campos vetoriais com sentido um pouco diferente da integral de linha de campos escalares No terceiro módulo foram apresentados os operadores diferenciais rotacional e divergente e aplicada a integral de linha em campos conservativos Por fim no quarto módulo foi apresentado o Teorema de Green que relaciona o cálculo de uma integral de linha a uma integral dupla Esperamos que ao fim deste tema você saiba definir um campo vetorial calcular integrais de linha usar os operadores diferenciais e aplicar o Teorema de Green AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS APOSTOL T M Cálculo Vol II 2 ed Nova Jersey John Wiley Sons 1969 GUIDORIZZI H L Cálculo Vol III 5 ed São Paulo LTC 2013 STEWART J Cálculo Vol II 5 ed São Paulo Thomson Learning 2008 EXPLORE Pesquise mais sobre integrais triplas e suas aplicações na Internet e em nossas referências Além disso sugerimos a pesquisa e leitura do artigo Integrais de linha em um campo escalar da Khan Academy CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES