Aulas de Cálculo de Múltiplas Variáveis - Cronograma e Conteúdos

Cálculo de Múltiplas Variáveis Professora Rosane Cordeiro Rafael Aula 2009 Onde estamos Cronograma da Disciplina 0908 Apresentação da Ementa e Professora 1608 Recordando Limites e Derivadas 2308 Recordando integrais Funções vetoriais e de várias variáveis 3008 Funções vetoriais e de várias variáveis FALTA DE ENERGIA 0609 Aula de 3008 Exercícios de fixação 1309 Integrais Múltiplas 2009 Integrais Múltiplas 2709 Exercícios de Fixação e Correção 0410 AV1 1110 Vista de prova reavaliação 1810 Campos vetoriais Int de linha em campos escalares e vetoriais 2510 Operadores diferenciais Teorema de Green 0111 Exercícios e correção 0811 AV2 2211 Vista de prova reavaliação 2911 Av3 0612 Vista de prova Coordenada Polar Não tem como falar sobre coordenadas polares sem antes recordar as coordenadas cartesianas Então observemos a situação abaixo x y 𝜃 y x o Pxy Denotamos P rθ onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido antihorário da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP caso PO Se P O denotamos P 0θ para qualquer θ Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares Relaciona número e ângulo Apresenta eixo polar imaginário Exemplo represente a coordenada polar 5 40º Coordenada Polar Eixo polar Polar origem P540º Coordenada Polar Analisando o gráfico podemos afirmar que Cos 𝜽 𝐶𝐴 𝐻𝐼𝑃 𝑋 𝑅 Rcos𝜽 PxyCR𝜽 Sen 𝜽 𝐶𝑂 𝐻𝐼𝑃 𝑦 𝑅 Rsen 𝜽 Teorema de Pitágoras R² x²y² 1 Transforme em coordenadas cartesianas a coordenada polar P4 30º Para realizarmos essa transformação precisaremos das 3 fórmulas básicas Teorema de Pitágoras R² x²y² Cos 𝜽𝑋 𝑅 rcos𝜽 Sen 𝜽 𝑦 𝑅 rsen 𝜽 Cos 𝟑𝟎𝑥 4 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 4𝑐𝑜𝑠30 𝑥 𝑒 𝑥 4 3 2 𝑜𝑢 𝑥 2 3 Sen 𝟑𝟎𝑦 4 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 4𝑠𝑒𝑛30 𝑦 𝑒 𝑦 4 1 2 𝑜𝑢 𝑦 2 P4 30 Pxy P𝟐 𝟑 2 2Transforme em coordenadas polares as coordenadas polares P2 3 2 Teorema de Pitágoras R² x²y² Teorema de Pitágoras R² x²y² R² 4 12 R² 16 R 4 tg𝜃𝐶𝑂 𝐶𝐴 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 tg𝜃 3 3 tg𝜃30 P𝟐 𝟑 2 PR 𝜽 P𝟒 𝟑𝟎 Mas como isso funciona em integrais duplas Identifique a região de integração e calcule a integral em coordenadas polares de 0 1 0 1𝑥² 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦𝑑𝑥 A função de integração é uma circunferência logo precisamos pensar na região em função de xy e nesse sentido temos 𝑅 𝑥𝑦 ൝ 0 𝑥 1 0 𝑦 1 𝑥² Outra questão a ser pensada é em como seria a representação gráfica x Os valores de x estão entre 0 e 1 enquanto os de y são maiores que 0 𝜋 2 1 Então a região de integração em coord Polares será 𝑅 𝑅𝜃 ൝ 0 𝑟 1 0 𝜃 𝜋 2 Integrais triplas Servem para calcular o volume dos sólidos tridimensionais e também a massa em sólidos com densidade inconstante 𝜌 𝑚 𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 V Somatório do volume de vários cubinhosVolume do cilindro PROPRIEDADES DA INTEGRAL TRIPLA Podemos apresentar algumas propriedades para a integral tripla A demonstração de todas elas é feita por meio da sua definição pela Soma Tripla de Riemann Sejam as funções fxyz e gxyz integráveis em B e k uma constante real B fx y z gx y z dxdy dz B fx y z dxdy dz B gx y z dxdy dz Se fxy 0 em S B fx y z dx dy dz 0 Sejam B1 e B2 tais que B1 B2 B e B1 B2 B fx y z dxdy dz B fx y z dxdy dz B fx y z dxdy dz Se fxyz gxyz em B B fx y z dxdy dz B gx y z dxdy dz Cálculo da Integral Tripla Integral tripla Para o caso da integral tripla a solução será transformar a integral em uma integral dupla e uma integral simples Vamos dividir em dois casos Quando B é um paralelepípedo neste caso os três intervalos de integração serão definidos por números e sem dependência entre as variáveis Quando os intervalos de integração de pelo menos uma variável depende das demais Integral tripla sobre um paralelepípedo Seja fxyz uma função escalar integrável definida em BR3 O conjunto B é um paralelepípedo definido por B x y z R3 a x b c y d e g z h com a b c d g e h reais B fx y z dV B fx y z dx dy dz b a d c h g fx y z dz dy dx No caso do exemplo o intervalo ab corresponde à variável x o intervalo cd corresponde à variável y e por fim o intervalo gh corresponde à variável z Exemplo h g c a b 8 xz 1 y2 dx dy dz a b 8 x dxc d y2 dyg hz 1 dz Determine o valor de B3xy zy 2xz dx dy dz em que B está contido em uma caixa definido por 1 x 2 1 y 3 e 0 z 1 Usando as integrais iteradas B3xy zy 2xz dx dy dz 1 0 1 3 2 13xy zy 2xz dx dy dz Integrando agora parcialmente em relação ao y mantendo z constante Integral tripla sobre um volume genérico Vamos integrar parcialmente em relação à variável x mantendo as variáveis y e z constantes Assim de forma análoga à integral dupla Determine displaystyle iiintB sqrtx2 y2 dx dy dz em que B é a região interna ao paraboloide de equação z x2 y2 com z leq 9 Dessa forma displaystyle iiintB sqrtx2 y2 dx dy dz iintS int9x2 y2 sqrtx2 y2 dz dx dy Na qual S é o círculo de equação x²y² 9 Agora o problema caiu na resolução de uma integral dupla Como ela tem simetria polar mudaremos para variável polar Lembrando que x ρcosθ e y ρsenθ assim ρ² x² y² A região S em coordenadas polares vale 0 ρ 3 com 0 θ 2π 1 Determine o valor de ₁³ ₁¹ ₀² x y z dz dy dx 2 Determine o valor de ₀π2 ₁¹ ₀³ 92 x² cosz y 1 dy dx dz 3 Determine o valor da integral V x² z dx dy dz em que V é o sólido contido no cilindro com eixo principal no eixo z e base inferior no plano XY O cilindro tem raio da base 2 e altura 4 4 Determine o valor de ₁¹ ₀²y ₀y2 6y dV 5 Determine o valor da integral V x dx dy dz em que V é um sólido definido pela interseção do plano de equação x 2y z 4 e os planos coordenados 6 Determine o valor de V 6π dx dy dz em que V é a região limitada inferiormente pelo paraboloide z x² y² e superiormente pela esfera x² y² z² 2