Cronograma da Disciplina de Cálculo: Ementas e Atividades

Estácio Cronograma da Disciplina 0908 Apresentação da Ementa e Professora 1608 Recordando Limites e Derivadas 2308 Recordando integrais Funções vetoriais e de várias variáveis 3008 Funções vetoriais e de várias variáveis FALTA DE ENERGIA 0609 Aula de 3008 Exercícios de fixação 1309 Integrais Múltiplas 2009 Integrais Múltiplas 2709 Exercícios de Fixação e Correção 0410 AV1 1110 Vista de prova reavaliação 1810 Campos vetoriais Int de linha em campos escalares e vetoriais 2510 Operadores diferenciais Teorema de Green 0111 Exercícios e correção 0811 AV2 2211 Vista de prova reavaliação 2911 Av3 0612 Vista de prova Cálculo de Múltiplas Variáveis Integral dupla em Retângulos Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas chegamos à definição de integral definida Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e no processo chegar à definição de integral dupla Volumes e Integrais Duplas De modo semelhante vamos considerar uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R ab X cd e vamos inicialmente supor fx y 0 O gráfico de f é a superfície com equação z fx y Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de f Nosso objetivo é determinar o volume de S Professora Rosane Cordeiro Rafael O objetivo é calcular o volume de sólidos como da figura abaixo Integrais duplas Partimos a região 𝑅 em pequenos retângulos e se arbitrário que chamaremos ponto amostra 𝒙𝒊 𝒚𝒋 em cada Rij poderemos aproximar a parte de S que está acima de cada 𝑅𝑖𝑗 por uma caixa retangular fina ou coluna com base 𝑅𝑖𝑗 e altura 𝑓𝑥𝑖 𝑦𝑖 como mostrado na Figura 1 O volume dessa caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes obteremos uma aproximação do volume total de S Cada vez que partimos a região em retângulos menores mais próximo a soma dos volumes das caixas estará do volume do sólido 1309 O volume exato do sólido é dado pela soma de Rieman Utilizando o teorema fundamental do Cálculo com a mesma idéia obtevese que Neste caso o cálculo da integral é feito considerando uma das variáveis como constante e integrando com relação a outra EXEMPLO1 Ao pensar em calcular uma integral devemos 1 Olhar o comportamento dela 𝑅 2𝑥 𝑥𝑦 𝑑𝐴 𝑅 02 𝑋13 R integral de uma região A derivar com relação a uma área Trocar A por dydx ou dxdy 2 Teorema de Fubini Respeite a ordem dos extremos de integração Exemplo 0 2 1 32𝑥 𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 Calcule D x 2y dA onde D é a região limitada pelas parábolas y 2x² e y 1 x² Exemplo 0 2 0 𝑥² 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 0 𝑥² 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑥² 𝑥2 0 𝑥2 න 0 2 𝑥²𝑑𝑥 𝑥³ 3 0 2 8 3 0 8 3 SOLUÇÃO As parábolas se interceptam quando 2x² 1 x² ou seja x² 1 logo x 1 Dada a integral 0 1 0 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 a Calcule a integral dupla c Inverta a ordem de integração e calculea න 0 1 න 0 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 0 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 0 𝑥 𝑥 0 𝑥 න 0 1 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 2 ½ Observamos que a região D ilustrada na Figura 8 é uma região do tipo I mas não do tipo II e podemos escrever 1 2 𝑦 𝑦² 𝑑𝑥𝑑𝑦 න 0 2 න 1 𝑒𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 න 1 2 𝑦2 𝑦 𝑑𝑦 ቚ 𝑦3 3 𝑦2 2 1 2 8 3 4 2 1 3 1 2 16 12 6 2 3 6 5 6 න 1 𝑒𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑒𝑥 1 න 0 2 𝑒𝑥1𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑥 𝑒22 𝑒0 0 𝑒2 2 1 𝑒² 3 D x y 1 x 1 2x² y 1 x² Ex Calcule a integral dupla 3𝑥𝑦3 2𝑥2 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 onde 𝑆 é o retângulo 1 𝑥 3 e 1 𝑦 4 Vamos integrar primeiro em 𝑥 I න 3𝑥𝑦3 2𝑥2 𝑦𝑑𝑥 3𝑦3 𝑥2 2 2 𝑥3 3 𝑦𝑥 1 3 3 1 3𝑦3 32 2 2 33 3 𝑦3 3𝑦3 12 2 2 13 3 𝑦1 24 2 𝑦3 56 3 4𝑦 Como o limite inferior é y 2x² e o superior é y 1 x² a Equação 3 leva a Agora calcula a segunda integral 𝐼𝐼 න 24 2 𝑦3 56 3 4𝑦 4 1 𝑑𝑦 24 2 𝑦4 4 56 3 𝑦 2𝑦2 1 4 3 44 56 3 4 242 314 56 3 212 791 D x 2y dA 11 2x²1x² x 2y dy dx INTEGRAL SOBRE OUTRAS REGIÕES Dada uma região 𝑎 𝑥 𝑏 e 𝑔𝑥 𝑦 ℎ𝑥 então 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 න න 𝑓𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 ℎ𝑥 𝑔𝑥 𝑏 𝑎 𝑆 11 xy y²y2x²y1x² dx Neste caso o calculo da integral é 𝐼 න න 𝑥𝑦 3𝑥𝑦2 5𝑦 𝑥 𝑥24𝑥 3 0 𝑑𝑦𝑑𝑥 45 Ex Calcule onde S é a região delimitada pelos gráficos de yx²4x e yx A região está no gráfico abaixo 11 x1 x² 1 x²² x2x²² 2x²² dx 11 3x⁴ x³ 2x² x 1 dx 3 x⁵5 x⁴4 2 x³3 x11 3215 Imagem da região D Mudança por coordenadas polares 1 2 EXEMPLO 2 Calcule E z dV onde E é o tetraedro sólido limitado pelos quatro planos x 0 y 0 z 0 e x y z 1 1 2 EXERCÍCIOS y 1 x² Exercícios 154 714 Calcule a integral dada colocandoa em coordenadas polares 7 D x²y dA onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5 8 R 2x y dA onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x² y² 4 e as retas x 0 e y x 9 R senx² y² dA onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro na origem e raios 1 e 3 Exercícios 157 38 Calcule a integral iterada 3 1 0 1 0 2x y dx dy dz y 2x² fx 1 x Ex 23 hx 1 x² Ex 24 x y³ x y² RESPOSTAS EXERCÍCIOS 153 1 32 3 310 5 13 sen 1 7 43 9 π3 43 1 0 x 1 fx y dy dx EXERCÍCIOS 154 1 3π2 0 4 0 fr cos θ r sen θ r dr dθ 3 1 0 x1 ½ fx y dy dx 7 12503 9 π4 cos 1 cos 9 11 π21 e⁴ 3 364 π² 15 π12 EXERCÍCIOS 157 274 1615 53 13 6528 160 16π3 4 9π8 815 a0 𝜋 0 𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 b 0 𝜋 0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥