Cronograma e Conteúdo de Aulas de Cálculo de Múltiplas Variáveis

CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Aula 2 Cronograma da Disciplina 0908 Apresentação da Ementa e Professora AULA 01 1608 Recordando Limites e Derivadas AULA 02 2308 Recordando integrais Funções vetoriais e de várias variáveis AULA 03 3008 Funções vetoriais e de várias variáveis FALTA DE ENERGIA AULA 04 0609 Aula de 3008 Exercícios de fixação AULA 05 1309 Integrais Múltiplas AULA 06 2009 Integrais Múltiplas AULA 07 2709 Exercícios de Fixação e Correção AULA 08 0410 AV1 AULA 09 1110 Vista de prova reavaliação AULA 10 1810 Campos vetoriais Int de linha em campos escalares e vetoriais AULA 11 2510 Operadores diferenciais Teorema de Green AULA 12 0111 Exercícios e correção AULA 13 0811 AV2 AULA 14 2211 Vista de prova reavaliação AULA 15 2911 Av3 AULA 16 0612 Vista de prova Onde estamos Campos Vetoriais 3 Definição Um campo vetorial em R² é uma função F D R² D R² Neste caso o campo vetorial pode ser escrito em termos de suas componentes P e Q da seguinte forma Fx y Px yi Qxyj Pxy Qxy Observe que P e Q são campos escalares ou seja funções de duas variáveis Exemplo 4 Considere o campo vetorial em R² é definido por Fx y yi xj A figura ao lado mostra F aplicado em alguns pontos Exemplo Trajetória 5 Continuidade em campos vetoriais Campo Gradiente 6 Integrais de Linha Objetivo Transformála em uma integral de uma variável Utilizada em forças que variam no caminho Então podemos calcular o trabalho nesse momento 𝑪 𝒓 𝒕 𝒙 𝒕 𝒚 𝒕 𝒛 𝒕 𝑭 𝒙 𝒚 𝒛 𝑭𝟏 𝑭𝟐 𝑭𝟑 𝑪 𝑭 𝒅𝒓 𝒂 𝒃 𝑭 𝒓 𝒓𝒅𝒕 𝒐𝒃𝒔 𝒓 𝒅𝒔 𝒅𝒕 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 7 Parametrização Para calcular a integral de linha é necessário parametrizar as curvas Uma curva possui equação cartesiana do tipo 𝐹𝑥 𝑦 𝑐 a curva é parametrizada quando 𝑥 e 𝑦 são determinados como função de 𝑡 e continuam satisfazendo a equação cartesiana Ex Um círculo de raio 𝑅 com centro na origem tem equação cartesiana 𝑥2 𝑦2 𝑅2 Uma equação paramétrica é 𝑟𝑡 𝑅𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑅𝑠𝑒𝑛𝑡 0 𝑡 2𝜋 Ex Um segmento de reta que liga dois pontos 𝐴 𝑎 𝑏 𝑒 𝐵 𝑐 𝑑 tem equação paramétrica 𝑟𝑡 𝑎 𝑏 𝑡𝐴𝐵 com 0 𝑡 1 8 Exemplo 𝑪 𝟏 𝒙𝒚𝒅𝒔 𝒔𝒆𝒏𝒅𝒐 𝑪 𝒂 𝒎𝒆𝒕𝒂𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝒅𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒙2 𝒚2 𝟏 𝟏º 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒓 𝟐º 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒓 𝒕 𝑹𝒄𝒐𝒔𝒕 𝑹𝒔𝒆𝒏𝒕 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒕 𝟏𝒔𝒆𝒏𝒕 9 3º 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑟 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑜 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 ² 𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑟𝑡 1 1 𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 න 𝑐 1 𝑥𝑦 𝑑𝑠 න 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 1𝑑𝑡 න 0 𝜋 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 1𝑑𝑡 න 0 𝜋 1𝑑𝑡 න 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 1𝑑𝑡 ቚ𝑡 0 𝜋 𝜋 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 1𝑑𝑡 0 𝜋 𝑈 𝑑𝑢 0 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 1𝑑𝑡 0 𝜋 𝑈 𝑑𝑢 0 𝜋 𝐶𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 ȁ 𝑐𝑜𝑠2𝑡2 0 𝜋 1 2 1 2 0 Retomando 𝜋 0 𝜋 EXEMPLO 1 Calcule C 2 x²y ds onde C é a metade superior do círculo unitário x² y² 1 primeiro precisamos de equações paramétricas para representar C Recordese de que o círculo unitário pode ser parametrizado por meio das equações x cos t y sen t e a metade superior do círculo é descrita pelo intervalo do parâmetro 0 t π veja a Figura 3 Portanto C 2 x²y ds 0π 2 cos² t sen t dxdt² dydt² dt 0π 2 cos² t sen t sen² t cos² t dt 0π 2 cos² t sen t dt 2t cos³ t 3₀π 2π 23 Para hoje Atividades da pasta de Cálculo 11