Cálculo de Múltiplas Variáveis - Conteúdo e Exercícios

CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS Aula 03 Revisando Integrais Funções vetoriais e de várias variáveis Onde estamos 0908 Apresentação da Ementa e Professora 1608 Recordando Limites e Derivadas 2308 Recordando integrais Funções vetoriais e de várias variáveis 3008 Funções vetoriais e de várias variáveis FALTA DE ENERGIA 0609 Aula de 3008 Exercícios de fixação 1309 Integrais Múltiplas 2009 Integrais Múltiplas 2709 Exercícios de Fixação e Correção 0410 AV1 1110 Vista de prova reavaliação 1810 Campos vetoriais Integrais de linha em campos escalares e vetoriais 2510 Operadores diferenciais Teorema de Green 0111 Exercícios e correção 0811 AV2 2211 Vista de prova reavaliação 2911 Av3 0612 Vista de prova Integral 1 2 3 4 5 6 Retomando Integrais Integrais definidas Propriedades Regra da Substituição Funções Vetoriais Limites de Funções Vetoriais 4 Funções Vetoriais e de Várias Variáveis Introdução Aplicações 8 Vetor Posição Operações com Funções Vetoriais Definição 9 Para treinar em casa 𝒂 𝒕 𝒕𝟐 𝟓 𝒕𝟑 𝟏 𝒕 𝒕𝟑 𝒕𝟐 𝟏 𝟓 𝒃 𝒕 𝒕𝟐 𝟓 𝒕𝟑 𝟏 𝒕 𝒕𝟑 𝒕𝟐 𝟏 𝟓 𝒄 𝒕 𝒕𝟐 𝟓 𝑿 𝒕𝟑 𝟏 𝒊 𝒋 𝒌 𝒕 𝒕𝟐 𝟓 𝒕𝟑 𝟏 𝟎 𝟓𝒊 𝟓𝒕𝟑𝒋 𝒕 𝒕𝟓 𝒌 10 Limites Definição Limites Tarefa Limite continuidade Limite Continuidade Uma função vetorial de várias variáveis nada mais é do que duas ou mais funções de várias variáveis em um vetor onde essas funções são as duas componentes do vetor Assim para duas funções temos Fx y z fx y z gx y z Por exemplo Fx y z x y z 2x y 3z A notação que a gente usa para funções vetoriais de várias variáveis é F Rn Rm X x₁ x₂ xₙ FX f₁X f₂X fₘX O que ela quer dizer é que temos uma função que leva n variáveis ou parâmetros em m coordenadas Isso é para mostrar que uma função vetorial de várias variáveis pode levar tantos parâmetros em tantas coordenadas quanto ela quiser Domínio Domínio de uma função é o conjunto em que essa função está bem definida certo São possíveis valores que as variáveis podem assumir E como temos mais de uma variável o domínio de uma função vetorial de várias variáveis será o conjunto interseção do domínio de cada uma das coordenadas dessa função pois isso garante que assim todas as funções coordenadas estarão bem definidas nesse conjunto E pra achar o domínio de cada função coordenada é só olhar as restrições lembrando Nas frações o denominador não pode valer 0 Dentro das raízes quadradas não pode ter número negativo O valor dentro de um logaritmo tem que ser estritamente positivo 15 Você entendeu Então vamos ver Qual o domínio da função ao lado Temos uma raiz quadrada logo a parte interna deve ser maior ou igual a zero Não temos restrição logo podemos colocar qualquer real Fazendo a intersecção temos o domínio da função 16 Sempre falamos de derivadas como uma função f que tinha como derivada uma f No caso de funções vetoriais de várias variáveis a derivada da função vai ser uma matriz a Matriz Jacobiana Essa matriz é composta nas LINHAS pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis e nas COLUNAS teremos as derivadas parciais em relação a mesma VARIÁVEL de cada uma das diferentes funções Observe Derivada da Função Vetorial Agora basta calcular todas as derivadas das funções Exercícios Determine a matriz jacobiana da função abaixo ft sent² e²t e²t cost sen2t f₁ sent² f₂ e²t e²t f₃ cost sen2t Jf f₁t f₂t f₃t 2t cost² 2e²t 2e²t sent sen2t 2cost cos2t Determine a matriz jacobiana da função abaixo Fx y z x² xyz y cos z f₁ x² xyz y cos z Jf f₁x f₁y f₁z f₁x 2x yz f₁y xz cos z f₁z xy y sen z JF 2x yz xz cos z xy y sen z O próximo teorema mostra que as fórmulas de derivação para funções reais têm suas equivalentes para as funções vetoriais A integral definida de uma função vetorial contínua rt pode ser definida da mesma forma que para a função real exceto que a integral resulta em um vetor Mas podemos expressar a integral de r como a integral de suas funções componentes f g e h como segue e também Se rt 2 cos t i sen t j 2t k então Parametrização de Curvas 25 Parametrização de uma circunferência Parametrização de uma reta