Cálculo de Múltiplas Variáveis: Limite e Derivada

Cálculo de Múltiplas Variáveis Rosane Cordeiro Rafael Aula 02 Limite e continuidade de funções Hoje usamos o Cálculo Diferencial e Integral em várias situações por exemplo Noção intuitiva de limite Exemplo 3 Considere a função fx fracx3 x22x 2 Df R 1 Exemplo 5 Considere a função Observe que Df R 0 1 Quando se faz x aproximarse de zero por valores menores que zero as imagens desses valores de x decresce ilimitadamente Representação matemática lim 1x 2 Quando se faz x aproximarse de zero por valores maiores que zero as imagens desses valores de x cresce ilimitadamente Representação matemática lim 1x Como os limites laterais são diferentes então não existe o limite lim1x Em geral dizse que Se uma função f definida num intervalo aberto conteno o número real a exceto possivelmente em a e se a medida que x se aproxima de a pela direita e pela esquerda o valor de fx se aproxima de L escrevemos lim fx L Limites no infinito Observe ainda a função 1 Quando se faz x diminuir ilimitadamente as imagens desses valores de x aproximamse de zero Representação matemática lim1x 0 x 2 Quando se faz x aumentar ilimitadamente as imagens desses valores de x aproximamse de zero Representação matemática lim1x 0 x Esses limites são conhecidos como limites no infinito DERIVADA Definição de Derivada A derivada de uma função f em um ponto x de seu domínio é a variação instantânea de f nesse ponto isto é fx lim fa h fa h h0 A derivada fa é o valor do coeficiente angular ou inclinação da reta tangente à curva no ponto a fa Teoremas de Derivação Outras notações para derivada de uma função y fx ddx fx ou dfdx ou dydx Teorema Sejam f e g funções que têm derivadas e seja c uma constante então i ddx fx gx ddx fx ddx gx ii ddx fx gx ddx fx ddx gx Teoremas de Derivação Teoremas de Derivação Teoremas de Derivação Teoremas de Derivação Teoremas de Derivação Seja y fracx2x4x33 determine y DerivadasdeFunçõesTrigonométricas Se 𝑓 𝑥 sen 𝑥 então 𝑓 𝑥 cos 𝑥 Demonstração Faremos em sala Se 𝑓 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 então 𝑓 𝑥 sen 𝑥 Demonstração Faremos em sala Se 𝑓 𝑥 tg 𝑥 então 𝑓 𝑥 sec2 𝑥 Demonstração Faremos em sala DerivadasdeFunçõesTrigonométricas Outras funções 𝑑 𝑑𝑥 sec 𝑥 sec 𝑥 tg 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 cossec 𝑥 cossec 𝑥 cotg 𝑥 𝑑 2 𝑑𝑥 cotg 𝑥 cossec 𝑥 Exercícios em sala Regra daCadeia As regras de derivação que aprendemos até o momento não nos capacitaram a calcular a deriva de funções como o exemplo abaixo 𝐹 𝑥 𝑥3 1 Observe que 𝐹 é uma função composta De fato se tomarmos 𝑦 𝑓 𝑢 𝑢 e seja 𝑢 𝑔 𝑥 𝑥3 1 então poderemos escrever 𝑦 𝐹 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 isto é 𝐹 𝑓 𝑔 Determine Dxfx Regra daCadeia Se 𝑓 e 𝑔 possuem derivada e 𝐹 𝑓 𝑔 for uma função composta definida por 𝐹 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 então 𝐹 possui derivada e 𝐹 é dada pelo produto 𝐹 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥 𝑥 Exemplo 1 Seja 𝐹 𝑥 𝑥2 3𝑥 1 4 determine a função derivada 𝐹 𝑥 Determine Dxfx